概率论第7章7-3

1、第三节第三节 估计量的评选标准估计量的评选标准一、问题的提出一、问题的提出二、无偏性二、无偏性三、有效性三、有效性四、相合性四、相合性五、小结五、小结一、问题的提出一、问题的提出 从前一节可以看到从前一节可以看到, 对于同一个参数对于同一个参数, 用不用不同的估计方法求出的估计量可能不相同同的估计方法求出的估计量可能不相同, 如第一如第一节的例节的例4和例和例10. 而且而且, 很明显很明显, 原则上任何统计原则上任何统计量都可以作为未知参数的估计量量都可以作为未知参数的估计量.问题问题(1)对于同一个参数究竟采用哪一个估计量好对于同一个参数究竟采用哪一个估计量好?(2)评价估计量的标准是什么

2、评价估计量的标准是什么?下面介绍几个常用标准下面介绍几个常用标准.二、无偏性二、无偏性的一个样本，的一个样本，为总体为总体若若XXXXn,21 ,的分布中的待估参数的分布中的待估参数是包含在总体是包含在总体 X )(的取值范围的取值范围是是 12(,)( ), ( ), .nXXXEE若估计量的数学期望存在 且对于任意有则称是的无偏估计量无偏估计的实际意义无偏估计的实际意义: 无系统误差无系统误差.1 , ,)1()(121的无偏估计的无偏估计阶总体矩阶总体矩是是阶样本矩阶样本矩总体服从什么分布总体服从什么分布论论的一个样本，试证明不的一个样本，试证明不是是又设又设存在存在阶矩阶矩的的设总体设

3、总体knikiknkkkXnAkXXXXkXEkX 证证同分布，同分布，与与因为因为XXXXn,21)()(kkiXEXE 故有故有., 2 , 1,nik nikikXEnAE1)(1)(即即.k 例例1. 的无偏估计的无偏估计阶总体矩阶总体矩是是阶样本矩阶样本矩故故kkkAk ).()(1 , , , 0 , 122222即不是无偏估计即不是无偏估计有偏的有偏的是是的估计量的估计量则则均为未知均为未知若若都存在的总体都存在的总体方差方差对于均值对于均值 niiXXn 证证 niiXXn12221 ,22XA 22)( AE因为因为,22 22)()()( XEXDXE 又因为又因为,22

4、n)()( 222XAEE 所以所以)()(22XEAE 例例2,122 nn. 2是有偏的是有偏的所以所以 . , 1 2偏的偏的所得到的估计量就是无所得到的估计量就是无乘乘若以若以 nn(这种方法称为这种方法称为无偏化无偏化).)(11222 EnnnnE221 Snn 因为因为, )(1112 niiXXn, 22的无偏估计的无偏估计是是即即 S.22的估计量的估计量作作故通常取故通常取 S.),max(12, 0,0, 2121的无偏估计的无偏估计都是都是和和的样本，试证明的样本，试证明是来自总体是来自总体参数参数上服从均匀分布上服从均匀分布在在设总体设总体 nnXXXnnXXXXXX

5、 证证)(2)2(XEXE 因为因为)(2XE ,22 . 2的无偏估计量的无偏估计量是是所以所以 X的概率密度为的概率密度为因为因为),max( 21nhXXXX 其他其他, 0,0,)(1 xnxxfnn例例3xnxxXEnnhd)(01 所以所以,1 nn,1 hXnnE故有故有.),max(121的无偏估计量的无偏估计量也是也是故故 nXXXnn .),min(, 0, ., 0, 0,e1);(, 2121的无偏估计的无偏估计都是都是和和试证试证样本样本的的是来自总体是来自总体又设又设其中参数其中参数其他其他概率密度概率密度的指数分布的指数分布服从参数为服从参数为设总体设总体 nnx

6、XXXnnZXXXXXxxfX 证明证明)(XE因为因为,)( XE. 的无偏估计量的无偏估计量是是所以所以 X例例4, ),min( 21的指数分布的指数分布服从参数为服从参数为而而nXXXZn ., 0, 0,e);(min其他其他概率密度概率密度xnxfnx ,)( nZE 故知故知,)( nZE. 的无偏估计量的无偏估计量也是也是所以所以 nZ 由以上两例可知由以上两例可知,一个参数可以有不同的无一个参数可以有不同的无偏估计量偏估计量.三、有效性三、有效性. , ,212121有效有效较较则认为则认为更密集更密集的附近较的附近较的观察值在真值的观察值在真值相同的情况下相同的情况下在样本

7、容量在样本容量如果如果和和的两个无偏估计量的两个无偏估计量比较参数比较参数 n 由于方差是随机变量取值与其数学期望的由于方差是随机变量取值与其数学期望的偏离程度偏离程度, 所以无偏估计以方差小者为好所以无偏估计以方差小者为好.),()( ,),(),(212121222111有效有效较较则称则称若有若有的无偏估计量的无偏估计量都是都是与与设设 DDXXXXXXnn .,1有效有效较较的无偏估计量的无偏估计量时时试证当试证当nZXn 证明证明,)( 2 XD由于由于,)( 2nXD 故有故有,)( 22nZD 又因为又因为,)( 2 nZD故有故有 ,1时时当当 n),()(XDnZD . 有效

8、有效较较的无偏估计量的无偏估计量故故nZX 例例6 (续例续例4) . ,2, ,max124122121有效有效较较时时现证当现证当计量计量的无偏估的无偏估都是都是和和中已证明中已证明在例在例 nXXXnnXn证明证明)(4)( 1XDD 由于由于,3)(42nXDn hXnnDD1)( 2 ,12hXDnn ,1)( nnXEh 又因为又因为例例7 (续例续例3)xxnXEnnhd)(102 ,22 nn22)()()(hhhXEXEXD ,)2()1(22 nnn,)2(1)( 22 nnD故故 ),()( , 212 DDn 所以所以又又 .12有效有效较较 四、相合性四、相合性. ,

9、),(, ,),(2121的相合估计量的相合估计量为为则称则称依概率收敛于依概率收敛于时时当当若对于任意若对于任意的估计量的估计量为参数为参数若若 nnXXXnXXX 例如例如 ,)( )1( ,的相合估计量的相合估计量阶矩阶矩的的总体总体阶矩是阶矩是样本样本由第六章第二节知由第六章第二节知kkXEkXkk .),(),( ,),(212121的相合估计量的相合估计量是是的矩估计量的矩估计量则则函数函数为连续为连续其中其中进而若待估参数进而若待估参数 nnnAAAgggg . 1 11 , :2122122估计量估计量的相合的相合都是总体方差都是总体方差中心矩中心矩及样本的二阶及样本的二阶样本

10、方差样本方差量量的相合估计的相合估计是总体均值是总体均值样本均值样本均值试证试证 niiniiXXnBXXnSX证明证明 由大数定律知由大数定律知, , 0 , 11lim 1 niinXnP有有. 1 1的相合估计量的相合估计量是是所以所以 niiXnX例例8 niiXXnB122)(1 又又 niiiXXXXn122)2(1 niiXXn1221,22XA )(2是样本二阶原点矩是样本二阶原点矩A由大数定律知由大数定律知, , )(12122XEXnAnii依概率收敛于依概率收敛于 , )(11XEXnXnii依概率收敛于依概率收敛于 222 XAB 故故 )()(22XEXE 依概率收敛于依概率收敛于,2 . 22的相合估计量的相合估计量是是所以所以 B , 11lim nnn又又 . 1 222的相合估计量的相合估计量也是也是所以所以 BnnS 五、小结五、小结估计量的评选的三个标准估计量的评选的三个标准 无偏性无偏性有效性有效性相合性相合性 相合性是对估计量的一个基本要求相合性是对估计量的一个基本要求, 不具备不具备相合性的估计量是不予以考虑的相合性的估计量是不予以考虑的. 由最大似然估计法得到的