机械工程控制基础课件-第四章

1、学时：学时：4040教师：谭心、钟金豹、张文兴、邢静宜教师：谭心、钟金豹、张文兴、邢静宜学院：机械工程学院学院：机械工程学院2/86建立数学模型 分析：稳、快、准适当方法特点从 kGS分析第四章第四章 控制系统的频率特性控制系统的频率特性直接方法间接方法时域分析法频率法闭环控制的各种特性 直观，但分析高阶系统非常繁琐频率法的优点频率法的优点3/86 (1)工程实践中，不希望大量繁多计算，要求简单迅速的分析出动态性能及如何调整。 机械受到一定 的作用力时产生强迫振动，由于内反馈还会引起自激振动。振动学中的共振频率，频谱密度，动刚度，抗振稳定性等概念都可归结为机械系统在频率域中表现的特性。 (3)

2、 机械振动等与频率特性有密切的关系。 (2) 开环频率特性容易绘制或通过实验获得。本章内容本章内容4/86 (二)介绍频率特性的图形分解法 对数坐标图(Bode图法)极坐标图(Nyquist图法)(三)由频率特性曲线 传函 (四)其他有关问题：频率特性的特征量，最小相位系统等。(一)阐明频率响应与频率特性的基本概念及表示方法 基础 5/864-1. 频率特性的基本概念频率特性的基本概念一.频率响应系统对正弦信号(或谐波信号)的稳态响应。 sinj tiiix txtxe 000sinjtxtxtxe 频率响应输入：响应 瞬态不是正弦波稳态是和输入的正弦信号 相同的正弦波，但振幅和相位都与输入量

3、不同。输入的稳态响应：6/86例：机械系统如图示.当输入正弦力 时，求其位移 的稳态输出。 f tkx tcx t 11111X SkkG ScF SCSkTSSkCTk时间常数 2312222111C SCCFkX STSSTSS sinf tFt x t sinf tFt x t4-1. 频率特性的基本概念频率特性的基本概念7/861L 2222222222/sincos111/sinarctan11tTtTTF kF kF T kx tettTTTTF kF ketTTT瞬态分量稳态分量.0t 2222222222/11/11TF kF TSFTX SSTSSkTkT sinf tFt

4、x t4-1. 频率特性的基本概念频率特性的基本概念8/86所以其稳态输出 频率响应： 2201/sinarctan1sin( )sin( )kx tFtTTAFtxt 式中： 其输出谐波的幅值正比于输入谐波的幅值F，且是输入谐波频率 的非线性函数。 其输出谐波的相位与输入谐波的幅值F无关，与输入谐波频率的相位差是 的非线性函数。 0 x 4-1. 频率特性的基本概念频率特性的基本概念9/86 siniix txt 00sinxtxt 可见：频率响应是时间响应的一种特例， 是 的函数，且与系统参数k，c 有关。为了研究系统随 变化的情况，引入频率特性的概念。 0.oXFx ，4-1. 频率特性

5、的基本概念频率特性的基本概念10/86二.频率特性：类似于传函的另一种系统模型表示方式.定义：系统输出量的傅里叶变换/输入量的傅里叶变换2. 相频特性： 稳态情况下，输入不同 信号，其相位产生超前或滞后特性。 0i +4-1. 频率特性的基本概念频率特性的基本概念1. 幅频特性： 稳态情况，系统输入不同 信号时，其幅值的衰减或增大特性。0()( )( )( )jixjG jAAeSjxj 0ixAx11/86频率特性是定义在频域上的复变函数，反映了线性系统在不同频率下的特性： jemG jRjIAe 实部，实频特性 22emARI 线性系统频率特性所具有的物理含义，在系统分析和控制中具有非常重

6、要的作用。4-1. 频率特性的基本概念频率特性的基本概念 arctanmeIR 000jtjixtxt exAe 虚部，虚频特性12/86三.频率特性的求取方法 求取线性系统的频率特性，就是求其幅频特性和相频特性，主要有如下三种： 1.依据频率特性的定义求: 000/iiG SxSx SxSG Sx Sxt1L 时， 稳态时系统频率响应的幅值和相位。再根据： 00iixAx 可得。4-1. 频率特性的基本概念频率特性的基本概念t 0 xt13/86如前例： 1KG STS求得： 022sinarctan1KFxttTTt 时，由此可得： 0221arctanKATT 系统的频率特性：arcta

7、n221jTKG jeT4-1. 频率特性的基本概念频率特性的基本概念2.由传函中的S变换为 来求取。jSj如上例：22111KKG jj Tj TT因此有： 22221emKAG jRIT arctanarctanmeILG jTR 结果一致4-1. 频率特性的基本概念频率特性的基本概念 22,1eKRT 221mK TIT 1KG STS15/86 实际上，这种求取系统频率特性的方法，一般是先将传递函数按其零点和极点化为基本环节的串联形式，然后依据复函数的幅值和相位与各构成环节的幅值和相位的关系，可方便求得频率特性。4-1. 频率特性的基本概念频率特性的基本概念16/86 2156SG S

8、SS试求其幅频特性和相频特性解： 123SG SSS零点：Z=-1极点：122,3SS 12211/ 221/ 211/ 21 1/ 414SSA取 ，得系统的频率特性为：Sj123jG jjj例： 1arctanarctanarctan23qiiG j 2221149qiiAAG j4-1. 频率特性的基本概念频率特性的基本概念17/863.用试验方法求取： 对于那些难以用传函或微分方程等数模描述的系统，就无法用上面两种来求取频率特性。但，基于线性系统对输入谐波信号的响应其输出仍为同 的谐波信号这一特性和频率特性的一些概念，可通过试验的方法获得系统的频率特性。 试验求取系统频率特性，就是改变

9、输入谐波信号的 ，并测出与此相应的输出信号的幅值和相位，然后求出对应频率下两种信号的幅值比和相位差，以此做出它们分别与频率的关系曲线，从而就获得系统频率特性的表达式。4-1. 频率特性的基本概念频率特性的基本概念18/86四.频率特性分析的特点：dLSdtSjdjdtF传递函数频率特性微分方程 在控制系统中往往注重的是反应系统性能的几个重要特征量，而非输出响应。 所以希望直接由：数学模型 系统性能的特征量，如 ,sptM频率特性4-1. 频率特性的基本概念频率特性的基本概念19/86图解分析法，主要特点：(1)对单入-单出系统，用频域分析法比用时域分析法更容易一些，如：判稳及稳态储备(方便地)

10、，进行参数选择或系统校正。(2)对许多复杂的机械系统，往往需要获得动柔度或动刚度。 当用解析法无法求得系统的微分方程或传函时，就无法求得动态性能，此时，可用实验方法建立频率特性。4-1. 频率特性的基本概念频率特性的基本概念20/86在输入端加上 和 相同，但 不同的力的谐波信号， 。 记录相应的位移(变形)的稳态输出，则相应于不同 可求出 与 。即得iFsiniFFt0/ixjxj 0jG jxe (/)m N1G j动柔度动刚度( )w4-1. 频率特性的基本概念频率特性的基本概念21/86 0ixSG S x S 所以，其也是一种频谱分析，对某些频带中具有的噪声干扰采用频谱分析法，可抑制

11、噪声对分析结果的影响。(3)系统的频率特性 单位脉冲响应的傅里叶变换当 ,1iix ttxj0iXjG jXj 0XjG jFt4-1. 频率特性的基本概念频率特性的基本概念22/86局限性表现在：(1)图形所确定的简单、实用的分析方法，是以工程的近似性为代价的，但对多数工程应用还是适应的。(2)只适用于线性定常系统，主要是单变量。对时变、非线性则不能直接应用，对多变量应用也十分复杂。4-1. 频率特性的基本概念频率特性的基本概念n151页 1-7题作业作业24/86频率分析法的基础是画出线性系统频率特性的图形。4-2. 频率特性的图示方法之一频率特性的图示方法之一极坐标图极坐标图实频特性与虚

12、频特性幅频特性与相频特性表现方式有多种： 相应的图形表示也有不同的方法，常用的极坐标图对数坐标图25/86极坐标图是反映频率响应的几何表示。G jOA OA G j:0 G jG j规定：从正实轴开始逆时针旋转为正。4-2. 极坐标图极坐标图 当给定频率为 时，其 在复平面上表示一个向量 ，向量 的端点坐标就是 的实部和虚部。当 时， 是 的复变函数，是一种变换。 作为一个矢量，其端点在复平面相对应的轨迹 极坐标图。(Nyquist曲线)26/861.比例环节： 00G jKAG jKG j 2.积分环节：11G jjj 0,0 位于虚轴下半轴，由无穷远 原点,具有恒定的相位滞后。一、典型环节

13、的一、典型环节的Nyquist图图1( )A 090 G SK 1G SS27/86一、典型环节的一、典型环节的Nyquist图图3.微分环节： 090A 位于虚轴正半轴，由原点 无穷远，具有恒定的相位超前。 G SSG jj28/864.一阶惯性环节 2211arctanATT 10110204590T以 为圆心，以 为半径的一个正实轴下的半圆。可见 ， ，低通滤波的性能。存在相位滞后， ， ，最大 。102j，12 A 90 11G STS222211111TG jjj TTT A29/865.一阶微分环节(导前环节) 221arctanATT 101204590T 始于点 ，平行于虚轴，

14、在第一象限的一条垂线。1, 0 j一、典型环节的一、典型环节的Nyquist图图 1G STS1G jj T 30/866. 二阶振荡环节 222012nnnG SSS令n2112G jj一、典型环节的一、典型环节的Nyquist图图2222nnnG jj 222222222121414j 31/86 222221142arctan1A 00111020-90-180n 始于点 ，与虚轴交点处的频率 ，幅值 ，相位1, 0 jn2190 取值不同， 的Nyqwist图的形状也不同。G j32/86在振荡环节中，谐振频率 和谐振峰值 很重要。当 时， 在频率为 处出现峰值。rrM 0dAd222

15、21014 A0.707r即：得：谐振频率：21 2rn221r只有当 才有意义21 200.70733/86谐振峰值： 2121rMA 21 2arctan 当0rnrM ，在 上引起振荡。n谐振频率：21 2rn34/867. 延时环节cossin1jjG jeje 滞后常数 1A 单位圆，随着 ，顺时针沿单位圆转无穷多圈。0 0ixtx tt sG Se一、典型环节的一、典型环节的Nyquist图图二二.Nyquist图的一般作图方法图的一般作图方法35/86 在工程应用中，频率特性极坐标图主要用于分析系统的稳定性，只要有大致的图形就可进行稳定性分析，因此，往往是依据确定的几个特征点(一

16、般为 ， 的点，与虚实轴的交点等)大致地描述频率特性的图形形状。036/86由典型环节Nyquist图的绘制，大致可归纳一般作图方法如下： (1)写出 和 表达式； (2)分别求出 和 时的 ； (3)求与实轴的交点 ; (4)求与虚轴的交点 ; (5)必要时画出中间几点; (6)勾画出大致曲线。G j0 A 0mIG j0eRG j二二.Nyquist图的一般作图方法图的一般作图方法 例1：已知系统的开环传递函数 , 试绘制其Nyquist图。 1KKGSS TS 221eKTRG jT 解：频率特性： 222211111111jTjKG jKjjTjjTjTjKTKjTT 221mKIG

17、jT 1221190arctanriiriiKAAATT 000-KT09018038/860eRG j0mIG j令与虚轴交点与实轴交点唯一解 表明系统的极坐标曲线仅与虚，实轴交于原点。大致画图：低频段 ：曲线是过点 ，且与虚轴平行的渐近线趋于无穷远点。高频段 ：曲线是在第三象限内沿实轴正方向趋于坐标原点。0 0,KT j例2：已知开环系统的传函： 试绘制其极坐标图。1212121221 2122222222212121111111111111111T jT jjKG jKjT jT jjT jT jT jT jjKTTK TTjTTTT 1211KKGSS TST S 1222221221

18、 222221211111emK TTRTTKTTITT 解： 222212121190arctanarctanKATTTT 000090270)(21TTK40/86代入所以与实轴交于点高频段：在第二象限内逆虚轴方向趋于坐标原点。令 ，求与虚轴的交点。 交于坐标原点令 ，求与实轴的交点。 0eR 0mI 0, 0j21 21TT 1 212eKTTRTT1 212, 0KTTjTT大致画图 低频段：渐近线是过实轴上 点且平行于虚轴的直线。12, 0K TTj 例3：开环系统的传递函数： 试绘制其Nyquist曲线。 21KKGSSTS 222222111111111Tjj jKG jKjjT

19、jTjj jjTjKKTjTT 2222211emKRTKTIT 2221180arctanKATT 解：000018027042/86令 ,表明曲线与虚轴交于原点。 00emRI （唯一解） 可见：曲线处于复平面的第二象限内逆虚轴方向趋于原点。 对照eg1.，曲线形状相识，由于引入了一个积分环节，又增加了一个 的旋转。 90例4.已知开环系统的传递函数： (且 )试绘制其Nyquist曲线图。 1211KK TSGSS T S12TT12122221 21222222211111111111K T jT jjG jKT jjT jjT jT jjKTTK TTjTT 1222221 2222

20、111emK TTRTKTTIT 221222121190arctanarctanK TATTT 解：00009090)(21TTK44/86令 得唯一解： 只交于原点 00emRI 12000emRK TTI 由图可知：由于一阶微分环节的引入，相位角 的非单调变化，使极坐标曲线发生了弯曲。表明曲线处于复平面的第四象限内在 时，:0 45/86综上所述可知：系统的开环频率特性一般可表示为： 12120.11 .1.11 .2.KjjG jjT jT j 0 型系统型系统型系统极坐标图的形状是由组成环节(或结构)决定的。二二.Nyquist图的一般作图方法图的一般作图方法46/86(1)系统极坐

21、标曲线的起点(对应于 )与积分环节的个数 有关.当 时，(0型)， ,则其极坐标曲线起始于实轴上的K;000G jK当 时， 则 表明其曲线起于某坐标轴的某方向上无穷远处10/G jKj090G jG j ，特点归纳特点归纳当 时，在低频段，曲线渐进于与负虚轴平行的直线。当 时，在低频段， 负实部比虚部阶数更高的无穷大12G j47/86(2).对于实际系统，一般有 ，此时极坐标曲线的终点(对应于 )都是复平面的坐标原点。nm nm且 .0.9090G jmnnm nm且 .9090G jmnnm 常数(3). 中包含有一阶微分环节时，因为相位非单调下降，所以曲线将发生弯曲。看书131页表4.

22、2.1 常见的Nyqwist图，举例说明上述总结。 G S4-3. 频率特性的图示方法之二频率特性的图示方法之二对数坐标图对数坐标图 对数坐标图(伯德Bode图)：是将幅值对频率的关系和相位对频率的关系分别画在两张图上，用半对数坐标纸绘制，频率坐标按对数分度，幅值和相角坐标则以线性分度。幅频特性的坐标图： 分贝(dB):n(dB)=20lgN若 ,则称为 为十倍频程，以”dec. “(decade)表示。211012相频特性的坐标图：49/86采用伯德图的优点：(1)由于频率坐标按对数分度，故可合理利用纸张，以有限的纸张空间表示很宽的频率范围。(2)由于幅值采用分贝为单位，故可简化乘除运算 加

23、减运算。(3)幅频特性往往用折线近似曲线，系统的幅频特性用组成该系统各环节的幅频特性折线叠加使得作用非常方便。4-3. 对数对数坐标图坐标图50/861.比例环节 G SK其对数幅频特性和相频特性为： 20lg20lg0LAKG j 一一. 典型环节的典型环节的Bode图图G jKL(w)/dB0w1101000.120lgK51/862.积分环节 1G SS 120lg20lg20lg90LA 每当频率增为10倍时，对数幅频特性就下降20dB。所以在整个频率范围内是一条 的直线。20/kdB dec 一一. 典型环节的典型环节的Bode图图11G jjj L(w)/dBw0.011 10 1

24、000.14020-20-20dB/dec52/86二重积分：2211G jj 20lg40lg180LA 21G SSL(w)/dB0.1w0.011101004020-20-40dB/dec-4053/863.微分环节 G SS 20lg20lg90LA 一一. 典型环节的典型环节的Bode图图G jjL(w)/dB0.1w0.011101004020-2020dB/dec4054/864.一阶惯性环节 11G STS 2222120lg20lg20lg 11arctan()LATTT 在低频段. 很小在高频段.近似于积分环节. 0.0TLdB 20lgLT 一一. 典型环节的典型环节的B

25、ode图图11G jjTL(w)/dB0.1Tw0.01T1/T10/T-20-20dB/dec高频高频低频低频55/86 其幅频特性的伯德图可用上述两条直线组成的折线近似表示，如图的渐近线。当 时， 转角频率由图可知，有低通滤波器的特性。当 时，输出衰减 ，滤掉输入信号的高频部分。低频段，输出能较准确地反映输入。1TT1TTL(w)/dB0.1Tw0.01T1/T10/T-20-20dB/dec高频高频低频低频56/86渐近线与精度曲线间的误差：可作出误差修正曲线最大误差发生在转角频率 处，-3dB。 或 处所以可在 间对渐进线进行修正T 0edB0.110TT在低频段：在高频段： 2220

26、lg 10eT 2220lg20lg 1eTT10T0.1TL(w)/dB0.1Tw0.01T1/T10/T-20-20dB/dec高频高频低频低频57/86 arctan()T 001-45T-90 对称于点 ，且 时， 45T，-0.1T 0 1090T ，相频特性：58/865.一阶微分环节 1G STS 2220lg20lg 1arctan()LATT 1TT转角频率 一阶微分环节与惯性环节的对数频率特性呈镜像关系对称于 轴。一一. 典型环节的典型环节的Bode图图1G jjT59/866.二阶振荡环节 222222(01)22nnnnnnG SSSG jj (取 )n 2222211

27、42arctan1A 一一. 典型环节的典型环节的Bode图图2112j60/86 222220lg20lg14LA 当 时 低频渐近线：0dB水平线当 时振荡环节的转角频率实际曲线随 的不同而不同.n (0),0LdBn 2(1),20lg40lg40lg40lgnL Tn 高频渐近线，始于点 ，斜率为 的一直线,0n40/dB dec一一. 典型环节的典型环节的Bode图图根据不同的 和 值，可作出误差修正曲线，可在范围内修正，可得较精确的曲线。0.1 1061/86渐近线与精确的对数幅频特性曲线间的误差 ，不仅与 有关，且与 有关， , 处 或附近峰值越高，误差 .,e n1一一. 典型

28、环节的典型环节的Bode图图当 时，当 时，112222,20lg14e 2222,40lg20lg14e 62/86 22arctan1 0.0.0.1.90.180n 相频特性：一一. 典型环节的典型环节的Bode图图对称于点（1， ）9063/86如前述：谐波振荡 (只有当 才存在)21 2rn00.707当 时，谐波峰值当 或略小于此值时，其幅频与相频特性曲线在低频段近似直线，对测振仪器的设计很有好处，设计时选此 。可使仪器在线性段工作。,rnrn或离越远,.0.rrMM 0.707r2121rM一一. 典型环节的典型环节的Bode图图64/867.延时环节 SG Se 20lg20l

29、g10()LAdB 相频特性随 线性 在线性坐标中， 是一条直线；但对数相频特性是一曲线。 一一. 典型环节的典型环节的Bode图图jG jeL(w)/dB0.11100.1w110 二二.一般系统一般系统Bode图的作图方法图的作图方法65/8622211222111211121qieeeilnenmnnnmnkjjjG jTjjTTjT j 则： 2222211222221120lg20lg 120lg1220 lg20lg 120lg12quillillmnnnmnLkTT 系统幅频特性的Bode图可由各典型环节的幅频特性Bode图叠加得到，系统的相频特性Bode图亦可由各典型环节的相频

30、特性Bode图叠加得到。对于一般系统：66/86步骤：(1)把系统传函化为标准式(即：惯性，一阶微分，振荡，二阶微分环节中的常数项化为1);(2)确定频率特性 ;(3)找出各环节的转角频率 以使确定渐近线;(4)做出各环节的对数幅频渐近线；G jT(5)根据误差修正渐近线 精确曲线;(6)对各环节的对数幅频特性叠加，叠加后的曲线垂直移动20lgk;(7)画出每个环节的对数相频曲线，把所有的相频特性在相同的频率下相加 系统的对数相频特性曲线。67/8668/86例：设开环系统传函： 210322sG Ss sss 化为标准形式27.51311222jG jjjjj 频率特性：27.513( )1

31、1222SG SSSSS310469/8617.5Gj21Gjj513T（一阶微分） 2223220lg7.520lg 120lg20lg 120lg13222L3245112211213GjjjGjjjGj27.51311222jG jjjjj五个典型环节32()n振荡412T（惯性）转角频率 注：lg20.15, lg20.3, lg30.48, lg7.50.87520lg7.5 17.571/86 若需要获得精确的特性曲线，可按各典型环节的修正值，对渐进线加以修正，一般来讲，可在每一转折频率处附近低于和高于 的10倍频率处加以修正 精确曲线。 真正画Bode图时，并不需要画出各环节伯德

32、图，可根据静态的放大倍数和各环节时间常数直接画出整个系统Bode图。T72/86直接绘制系统的对数幅频特性的步骤：1、 标准形式，并写出其频率特性；2、确定各环节的 ，并由小 大标在横坐标轴上；3、计算20lgk，横坐标上找 ，纵坐标为20lgk的点；4、过该点作斜率为 的斜线，后每遇到一个 就改变一次斜率。原则是：如遇惯性环节斜率增加 ，遇一阶微分斜率增加 ，遇振荡斜率增加 ，二阶微分斜率增加 。 T G ST120/dB dec20/vdB dec20/dB dec40/dBdec40/dB dec73/86作作 业业作业：绘制系统 的开环Bode图。 231250102sG Ssss例题

33、：绘制系统 的开环Bode图。 24 0.250.5520.052sG Sss五种典型环节的时域、频域曲线见书144页表4.2.2 4.4 最小相位系统与非最小相位系统最小相位系统与非最小相位系统 这里引入最小相位的概念，主要是想说明一下幅频特性和相频特性间的关系。 在S右半面上既无极点，又无零点的传递函数，称为最小相位传递函数，否则为非最小相位传函。 具有最小传递函数的系统，称为最小相位系统。 74/88 环节 幅频 相频22111202090901020090110400180211020090.102009011020090niimiijjTTjTjjnnjTjmm /dB dec 75

34、/88 对于相同阶次的基本环节，当频率 时，最小相位的基本环节造成的相移是最小的，对于最小相位系统，知道了系统幅频特性，其幅频特性就唯一确定。:0 例：设有下列两个系统，其中120TT1112221111T jT jGjGjT jT j(1为最小相位系统) (2为非最小相位系统)2211222211TGjGjT两个系统幅频特性相同76/88而其相频特性分别为：112212arctanarctanarctanarctanGjTTGjTT 其相频特性Bode图：77/88 为了确定是不是最小相位系统，需检查对数幅频特性曲线中高频渐近线的斜率，也需要检查 时的相角。若 时， 幅频特性渐近线的则系统就

35、是最小相位系统。即：最小相位系统，幅频特性和相频特性之间具有确定的单值对应关系。而对于非最小相位系统， 。 20/knm dB dec 90nm 90mn 78/88故起动性能差，响应慢，所以在要求相应 的系统中，应尽量避免采用非最小相位系统。22121T STS11 TS非最小相位系统，多是有 延时环节 不稳定的导前环节和二阶微分环节 不稳定的惯性环节和振荡环节1 TS2221T STS79/88 SG Se例： 210322SG SS SSS 时， 204 160/904 1270kdB dec 对照检查，可知系统是最小相位系统80/8814mn4.5 频率特性的性能指标频率特性的性能指标

36、 如图示，频域性能指标是用系统的频率特性曲线在数值和形状上某些特征点来评价系统的性能的。1.零频幅值A(0)2.复现频率 ，与复现带宽3.谐振频率 及相对谐振峰值4.截止频率 和带宽 M0 MrMrb0 b81/881. 零频幅值A(0)它表示 时，系统输出幅值/输入幅值。若A(0)=1，则输出幅值能完全准确地反映输入幅值。A(0)越接近于1，系统稳态误差 越小A(0)与1相差的大小 反映了系统的稳态精度 0sse82/882.复现频率 与复现带宽 若事先规定一个 允许误差， ：幅频特性与A(0)之差第一次达到 时的频率。当 时，输出不能准确“复现”输入， ：复现带宽根据 越大，则表明系统能以规定精度复现输入信号的频率越宽；若 给定，