刚体的转动惯量

1、刚体的转动惯量刚体的转动惯量 刚体的转动惯量的定义是：刚体的转动惯量的定义是：一、转动惯量一、转动惯量niiirmJ12若刚体为连续体，则用积分代替求和：若刚体为连续体，则用积分代替求和：dmrJ2jM amF,比较以下两个式子：比较以下两个式子：转动惯量是表示转动惯性的量。转动惯量是表示转动惯性的量。例例1、长为长为 l、质量为质量为 m 的匀质细杆，绕与杆的匀质细杆，绕与杆垂直的质心轴转动，求转动惯量垂直的质心轴转动，求转动惯量 J。xo解：解：建立坐标系，分割质量元建立坐标系，分割质量元dxxdmxJ22121ml222lldxlmx例例2、长为长为 l、质量为质量为 m 的匀质细杆，绕

2、细杆的匀质细杆，绕细杆一端轴转动，求转动惯量一端轴转动，求转动惯量 J。解：解：xodxxdmxJ2ldxlmx02231mlJ 与刚体质量、质量分布、轴的位置有关与刚体质量、质量分布、轴的位置有关例例3：在无质轻杆的在无质轻杆的 b 处与处与 3b 处各系质量为处各系质量为 2m 和和 m 的质点，可绕的质点，可绕 o 轴转动，求：质点轴转动，求：质点系的转动惯量系的转动惯量J。解：解：221iiirmJ22)3(2bmmb211mbbb3omm2例例4、半径为半径为 R 质量为质量为 M 的圆环，绕垂直于圆环平面的圆环，绕垂直于圆环平面的质心轴转动，求转动惯量的质心轴转动，求转动惯量J。R

3、ModmdmRJ2解：解：2MRRM例例5、半径为半径为 R 质量为质量为 M 的圆盘，绕垂直于圆的圆盘，绕垂直于圆盘平面的质心轴转动，求转动惯量盘平面的质心轴转动，求转动惯量 J。rdr解：解：分割圆盘为圆环分割圆盘为圆环rdrRMdm22dmrJ2221MRRrdrRMr0222定理表述：定理表述：刚体绕平行于质心轴的转动惯量刚体绕平行于质心轴的转动惯量 J，等于绕质心轴的转动惯量等于绕质心轴的转动惯量 JC 加上刚体质量与加上刚体质量与两轴间的距离平方的乘积：两轴间的距离平方的乘积：2mdJJC 刚体绕质心轴的转动惯量最小刚体绕质心轴的转动惯量最小CJJmR221mRJC如：如：2mRJ

4、JC2221mRmR dmxJy2,dmrJz2dmxdmy22yxJJdmyx)(22zyxodmxyrdmyJx2证明：证明：定理表述：定理表述：质量质量平面分布平面分布的刚体，绕垂直于的刚体，绕垂直于平面轴的转动惯量等于平面内两正交轴的转平面轴的转动惯量等于平面内两正交轴的转动惯量之和：动惯量之和：yxzJJJ例例6、半径为半径为 R 质量为质量为 M 的圆盘，求绕直径轴的圆盘，求绕直径轴转动的转动惯量转动的转动惯量Jy。解：解：圆盘绕垂直于盘面的质心圆盘绕垂直于盘面的质心 z 轴转动的转轴转动的转动惯量为：动惯量为：221MRJzyxzJJJzyJJ21zyJ2241MRyx例例7、长

5、为长为 l、质量为质量为 m 的细杆，初始时的角速度的细杆，初始时的角速度为为 0，由于细杆与桌面，由于细杆与桌面的摩擦，经过时间的摩擦，经过时间 t 后杆后杆静止，求摩擦力矩静止，求摩擦力矩 M阻阻。lo解：解：由匀变速转动公式由匀变速转动公式: :t0t0细杆绕一端的转动惯量细杆绕一端的转动惯量231mlJ摩擦阻力矩为：摩擦阻力矩为：JM阻tml02311m2mRM,1mgm11TRM,1T2T2T2m解：解：amTgm111 （1）amT22 （2 2）JRTT)(21（3 3）221MRJ例例8 8、质量为质量为 m1 和和m2 两个物两个物体，跨在定滑轮上体，跨在定滑轮上 m2 放在

6、光放在光滑的桌面上，滑轮半径为滑的桌面上，滑轮半径为 R，质量为质量为 M，求：求：m1 下落的加下落的加速度，和绳子的张力速度，和绳子的张力 T1、T2。Ra（4 4）联立方程，求解得：联立方程，求解得：2/211Mmmgma2/)2/(21211MmmgMmmT2/21212MmmgmmT当当 M= =0 时：时：212121mmgmmTT1m2mRM,mgT(1) maTmg(2) JTR (3) /22ath (4) Ra T例例9 9、测轮子的转动惯量、测轮子的转动惯量用一根轻绳缠绕在半用一根轻绳缠绕在半径为径为 R、质量为质量为 M 的轮子上若干圈后，一端的轮子上若干圈后，一端挂一质量为挂一质量