powerpoint 演示文稿叮咛咛

1、叮咛咛叮咛咛上课啦！上课啦！ 上课？！上课？！ 可是我还没可是我还没有想好今天怎么有想好今天怎么过呢？过呢？一、点列中四点的交比一、点列中四点的交比1、定义交比 最根本的射影不变量 定义2.1. 设P1, P2, P3, P4为点列l(P)中四点, 且P1 P2，其齐次坐标依次为a, b, a+1b, a+ 2b. 则记(P1P2,P3P4)表示这四点构成的一个交比交比. 定义为.),(214321PPPP(2.1)称P1, P2为基点对基点对， P3, P4为分点对分点对. 定理2.1. 设点列l(P)中四点Pi的齐次坐标为a+ib(i=1,2,3,4). 则.)()(),(41324231

2、4321PPPP(2.2)2、性质3、特殊情况 4、调和比5、交比的计算一、点列中四点的交比一、点列中四点的交比二、线束中四直线的交比二、线束中四直线的交比1、线束的参数表示 设a, b为线束S(p)中取定的相异二直线. 则对于任意的pS(p), 其坐标可表示为.Rba称a, b为基线基线, 为参数参数.注注1这里a, b, p均表示直线的齐次坐标. =0 a; =1 a+b; = b注注2线束的参数表示与点列的参数表示有完全相同的代数形式，因此可由点列的交比对偶得到线束的交比.课件作者：南京师大数科院周兴和二、线束中四直线的交比二、线束中四直线的交比1、线束的参数表示 定义2.3 设p1,

3、p2, p3, p4为线束S(p)中四直线，且p1p2，其齐次坐标依次为a, b, a+1b, a+2b. 则记(p1p2, p3p4)表示这四直线构成的一个交比交比. 定义为.),(214321pppp(2.5)称p1, p2为基线偶基线偶， p3, p4为分线偶分线偶. 定理2.5 设线束S(p)中四直线pi的齐次坐标为a+ib(i=1,2,3,4). 则.)()(),(413242314321pppp(2.6)2、定义注上述定义、定理与点列的交比有相同的代数结构.二、线束中四直线的交比二、线束中四直线的交比1、线束的参数表示2、定义3、交比为射影不变量 定理2.6 设线束S(p)中四直线

4、pi被直线s截于四点Pi(i=1,2,3,4). 则).,(),(43214321PPPPpppp 证明 设直线p1, p2, p3, p4的齐次坐标分别为a, b, a+1b, a+2b, 直线s的齐次坐标为c. 由Thm.1.6可以求出点Pi的坐标分别为,21211313323222121131332321ccbbccbbccbbPccaaccaaccaaP而).(),(22142113PPPPPP于是).,(),(4321214321PPPPpppp二、线束中四直线的交比二、线束中四直线的交比1、线束的参数表示2、定义3、交比为射影不变量 推论2.5 设Pi为点列l(P) 中四点, Pi

5、与不在l上的定点S连线依次为pi (i=1,2,3,4). 则).,(),(43214321ppppPPPP 证明 与定理2.6完全对偶. 定理2.6 设线束S(p)中四直线pi被直线s截于四点Pi(i=1,2,3,4). 则).,(),(43214321PPPPpppp由定理2.6和推论2.5, 立即可得下述重要结论定理2.7 交比为射影不变量.注注由定理2.7, 关于点的交比和关于直线的交比的讨论可以通过对偶的方式(或者截截与连连的方式)相互移植、相互转化. 二、线束中四直线的交比二、线束中四直线的交比1、线束的参数表示2、定义3、交比为射影不变量4、直线交比的初等几何意义(1). 斜率表

6、示 如图, 在以S(x0,y0)为束心的线束中，取定二直线x=x0, y=y0. 则直线的(负)斜率k可以作为参数来表示线束. 由定理2.5，可得 定理2.8 对于通常线束中以ki为斜率的四直线pi (i=1,2,3,4), 有.)()(),(413242314321kkkkkkkkpppp注注 容易看出，斜率参数.Rk(tan).k(1). 斜率表示 设直线pi与x轴正向的夹角为i (i=1,2,3,4). 则将ki=tani代入上式，并利用三角恒等式进行化简，可得 定理2.9 对于通常线束中以ki为斜率的四直线pi (i=1,2,3,4), 有.)sin()sin()sin()sin(),

7、(413242314321pppppppppppp其中(pi pj)表示由pi到pj的夹角.(2). 三角函数表示 定理2.8 对于通常线束中以ki为斜率的四直线pi (i=1,2,3,4), 有.)()(),(413242314321kkkkkkkkpppp 推论2.6 设pi (i=1,2,3,4)为通常线束中四直线. 则p3, p4为p1, p2夹角的内外平分线(p1p2, p3p4)=1, 且p3p4 .证明略. 本推论建立了垂直、角平分线与调和比间的关系.二、线束中四直线的交比二、线束中四直线的交比1、线束的参数表示2、定义3、交比为射影不变量4、直线交比的初等几何意义5、直线交比的

8、计算 (1). 由已知条件求交比. 方法一. 与点的交比计算完全对偶. 方法二. 以一条特殊直线截已知线束, 转化为点的交比计算. 技巧是, 取合适直线, 使截点坐标简单, 易于计算. (2). 由已知交比和其中三直线坐标, 求第四条直线. 与点列的交比对偶, 有定理2.10和推论2.7(见教材P.52-53). 上述内容不再举例, 请自学.有趣的P.52, 例2.4 例6 (P.54, Ex. 7)证明：两直线a1x2+2h1xy+b1y2=0调和分离两直线a2x2+2h2xy+b2y2=0 a1b2+a2b1-2h1h2. 证. 将已知直线方程分别写为211120yybhaxx分解1122

9、:0:0lyxlyx韦达定理111212112,(*)ahbb 222220yybhaxx分解3344:0:0lyxlyx韦达定理223434222,(*)ahbb 13241 23 4123412342414()()(,)112()()()()()l l l l (*), (*)代入化简1 22 11 220.aba bhh 解. 设内外角平分线方程为1122:0:0lyxlyx221212()0 xxyy 12121ll 2212()0 xxyy利用上题可得 例7. (P.54, Ex. 8)求两直线ax2+2hxy+by2=0所成角的内外平分线方程.,21hab所求方程为. 0)(22hyxyabhx 例8 (P.54, Ex.9)过圆的弦AB的中点O任作另外两弦CE, DF, 连结EF, CD交AB于G, H. 求证：GO=OH. 证明: 因为A, F, C, B为圆上四点, 根据教材P.52例2.4, 有).,(),(CBAFDCBAFE以直线AB截这两个线束, 得).,(),(HBAOOBAG利用交比的初等几何表