中考数学专题复习--圆

1、精选优质文档-倾情为你奉上圆知识点一、圆的有关概念1圆的定义：（1）形成性定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转形成的图形叫做圆，固定的端点叫 ，线段OA叫做 。 （2）描述性定义：平面上到定点的距离等于 的所有点组成的图形叫做圆，定点称为 ， 称为半径。2与圆有关的概念（1）弧：圆上任意两点间的 叫做弧，根据弧的大小，弧可分为 、 、 三类。（2）弦：连接圆上任意两点的 叫做弦.（3）直径：经过 的弦叫做直径。（4）等圆：能够重合的两个圆叫做等圆。在同圆或等圆中，能够重合的弧叫做 。名师提醒等弧只在等圆或同圆中存在，大小不等的圆不存在等弧。（5）圆心角

2、：顶点在 的角，叫做圆心角。（6）圆周角：顶点在 ，两边分别与圆还有另一个交点，像这样的角，叫做圆周角。知识点二、圆的有关性质1圆的对称性（1）轴对称性：圆是轴对称图形，有 条对称轴， 的直线都是它的对称轴（2）中心对称性：圆是中心对称图形，对称中心是 。名师提醒（1）在一个圆中，圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小； （2）直径是圆中最长的弦，弦不一定是直径；（3）圆不仅是中心对称图形，而且具有旋转不变性，即绕圆心旋转任意角度，所得的圆都与原来的图形重合。2圆心角、弧、弦之间的关系（1）在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧 ，所对的弦也 。（2）在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆

3、心角 ，所对的弦也 。（3）在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角 ，所对的优弧和劣弧分别 。名师提醒圆心角、弧、弦之间的三个关系的前提条件是“在同圆或等圆中”。3垂径定理及推论：（1）垂径定理：垂直于弦的直径 ，并且平分弦所对的 。（2）推论：，平分弦（ ）的直径 于弦，并且平分弦所对的 。 弦的垂直平分线经过 ，并且平分弦所对的两条弧。 平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且 另一条狐。名师提醒（1）垂径定理及其推论实质是指满足下列结论的一条直线：过圆心；垂直于弦；平分弦；平分弦所对的优弧；平分弦所对的劣弧。如果五个结论中的两个，那么可推出其余三个结论，注意解题过程中的灵活

4、运用。（2）圆中常作的辅助线是过圆心作弦的的垂线（即弦心距）。（3）垂径定理常用作计算，在半径r、弦a、弦心d和弓高h中，已知其中两个量可求另外两个量。4圆周角定理及其推论：（1）圆周角定理：在同圆或等圆中，圆弧或等弧所对的圆周角 ，都等于这条弧所对的圆心角的 。（2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆周角 ，那么它们所对的弧 。推论：同弧或等弧所对的圆周角 。推论：半圆（或直弦）所对的圆周角是 ，90°的圆周角所对的弦是 。名师提醒（1）在圆中，一条弦所对的圆心角只有一个，而它所对的圆周角有两个，这两个圆周角互补；（2）作直径所对的圆周角是圆中常作的辅助线。5圆内接四边形：（1）圆内

5、接四边形的定义：如果一个多边形的所有顶点都在圆上，这个多边形叫做 ，这个圆叫做 。（2）圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角 。名师提醒圆内接平行四边形是矩形。知识点三、确定圆的条件1不在 的三个点确定一个圆。2三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三边的 的交点，叫做三角形的 心。考点一：圆周角定理及其推论例1 、（2018陇南）如图，A过点O（0，0），C（，0），D（0，1），点B是x轴下方A上的一点，连接BO，BD，则OBD的度数是（）A15°B30°C45°D60°2. （2018·山东青岛）如图

6、，点A、B、C、D在O上，AOC=140°，点B是的中点，则D的度数是（）A70°B55°C35.5°D35°思维升华半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握。变式练习1（2018南充）如图，BC是O的直径，A是O上的一点，OAC=32°，则B的度数是（）A58° B60° C64° D68°2（2018菏泽）如图，在O中，OCAB，ADC=32°，则OBA的度数是（

7、）A64° B58°C32° D26°3（2018巴中）如图，O中，半径OC弦AB于点D，点E在O上，E=22.5°，AB=4，则半径OB等于（）A B2 C2D3考点二：垂径定理例1、（2018衢州）如图，AC是O的直径，弦BDAO于E，连接BC，过点O作OFBC于F，若BD=8cm，AE=2cm，则OF的长度是（）A3cm B cm C2.5cm D cm例2. （2018山东枣庄3分）如图，AB是O的直径，弦CD交AB于点P，AP=2，BP=6，APC=30°，则CD的长为（）AB2C2D8例3. 阅读下面材料：在数学课上，老师

8、请同学思考如下问题：小亮的作法如下：老师说：“小亮的作法正确”请你回答：小亮的作图依据是 思维升华垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。利用垂径定理解题，常常根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，再利用勾股定理求解。变式练习1（2018甘孜州）如图，在O中，直径CD弦AB，则下列结论中正确的是（）AAC=ABBC=BODCC=BDA=BOD2（2018枣庄）如图，AB是O的直径，弦CD交AB于点P，AP=2，BP=6，APC=30°，则CD的长为（）A B2 C2D83（2018绥化）如图，一下水管道横截面为圆形，直径为100cm，下雨前水面宽为60cm，一场大

9、雨过后，水面宽为80cm，则水位上升 cm考点三：圆内接四边形例3 （2017潍坊）如图，四边形ABCD为O的内接四边形延长AB与DC相交于点G，AOCD，垂足为E，连接BD，GBC=50°，则DBC的度数为（）A50°B60°C80°D90°思维升华求解圆内接四边形的角度问题，常将圆外的角转化为圆内去，再利用圆内接四边形的对角互补的性质求解。变式练习1（2017锦州）如图，四边形ABCD是O的内接四边形，AD与BC的延长线交于点E，BA与CD的延长线交于点F，DCE=80°，F=25°，则E的度数为（）A55°B

10、50°C45°D40°2（2018北京）如图，点A，B，C，D在O上，CAD=30°，ACD=50°，则ADB= 知识点一、点与圆的位置关系：1点与圆的位置关系点与圆的位置关系有 种。设O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则：（1）点P在圆内d r；（2）点P在圆上d r；（3） 点P在圆外d r。2过三点的圆：（1）过同一直线上三点 作圆，过 三点，有且只有一个圆；（2）三角形的外接圆：经过三角形各顶点的圆叫做三角形的 ，外接圆的圆心叫做三角形的 ，这个三角形叫做这个圆的 ；（3）三角形外心的形成：三角形 的交点，就是三角形的外心；（4）

11、外心的性质：三角形的外心到 相等。名师提醒（1）锐角三角形外心在三角形在三角形的内部；（2）直角三角形的外心是斜边的中点；（3）钝角三角形的外心在三角形的外部。3直线与圆的位置关系设O的半径为r，圆心到直线的距离OP=d，则直线与圆的位置关系有 三 种，具体如下表：位置关系相离相切相交图示rdPlOrdPlOrdPlOd与r的关系 d=r 直线与圆的交点个数 1个交点 知识点二、切线的性质和判定1切线的定义：直线与圆只有 公共点时，我们说这条直线与圆相切，这条直接叫做圆的 ，这个点叫切点。2切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的 。名师提醒根据根据切线的性质定理，在圆中遇到切线时，常常连接圆

12、心和切点，即可得垂直关系。3切线的判定（1）定义判定：和圆只有 公共点的直线是圆的切线；（2）数量关系：圆心到直线的距离等于 的直线是圆的切线；（3） 判定定理：经过半径的 且 这条半径的直线是圆的切线。名师提醒在切线的判定中，当直线和圆的公共点标出时，用判定定理证明；当公共点未标出时，一般可证圆心到直线的距离d=r来判定相切。4切线长定理：（1）切线长定义：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间 的长叫做这点到圆的切线长。（2）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的 相等，并且圆心和这一点的连线平分 的夹角。知识点三、三角形的内切圆（1）与三角形各边都 的圆，叫做三角形的内切圆，内

13、切圆的圆心叫做三角形的 。（2）三角形内心的形成：是三角形三条 的交点。（3）三角形内心的性质：三角形内心到三角形各 的距离相等，内心与每一个顶点的连接线平分 。名师提醒（1）不管是是锐角三角形、直角三角形，还是钝角三角形，它们的内心都在三角形内部；（2）若ABC三边为a、b、c，面积为S，内切圆半径为r，则；若ABC为直角三角形，C=90°，则。知识点四、圆和圆的位置关系圆和圆的位置关系有 种，若O1半径为R，O 2半径为r，圆心距为d，且R>r，则：（1）O 1 与O 2 外离 ；（2）O 1 与O 2 外切 ；（3）O 1 与O 2相交 ；（4）O 1 与O 2内切 ；（

14、5）O 1 与O 2内含 。名师提醒（1）两圆相离（无公共点）包含外离和内含两种情况，两圆相切（有唯一公共点）包含外切和内切两种情况；（2）同心圆是两圆的圆心相同，此时d=0。知识点五、反证法假设命题的结论 ，从这个假设出发，经过推理论证得出 ，由矛盾判定假设 ，从而肯定命题的结论成立，这种证明命题的方法叫反证法。名师提醒（1）反证法证题的关键是提出命题的结论不成立，即假设所证结论的反面成立，通过推理论证得出的矛盾，可以与已知相矛盾，也可以与定义、公理、定理相矛盾，从而肯定原命题成立。考点一：切线的性质例1 （2018昆明）如图，AB是O的直径，ED切O于点C，AD交O于点F，AC平分BAD，

15、连接BF（1）求证：ADED；（2）若CD=4，AF=2，求O的半径变式练习1（2018眉山）如图所示，AB是O的直径，PA切O于点A，线段PO交O于点C，连结BC，若P=36°，则B等于（）A27°B32°C36°D54°3（2018北京）如图，AB是O的直径，过O外一点P作O的两条切线PC，PD，切点分别为C，D，连接OP，CD（1）求证：OPCD；（2）连接AD，BC，若DAB=50°，CBA=70°，OA=2，求OP的长考点二：切线的判定例1（2018黄石）如图，已知A、B、C、D、E是O上五点，O的直径BE=2，B

16、CD=120°，A为的中点，延长BA到点P，使BA=AP，连接PE（1）求线段BD的长；（2）求证：直线PE是O的切线例2、如图，AB=AC，D为BC中点，D与AB切于E点.求证：AC与D相切.例3、如图，ABCD是正方形，G是BC延长线上一点，AG交BD于E，交CD于F。求证：CE与CFG的外接圆相切. 触雷警示切线的判定方法（1）“连半径，证垂直”：若直线与圆有公共点，则连线圆心与交点得到半径，证明半径与直线垂直；（2）“作垂直，证等径”：若未给粗直线与圆的公共点，则过圆心作直线的垂线段，证明垂线段的长度等于半径。在判定时，必须说明“是半径”或“点在圆上”，这是最容易犯错的地方。

17、变式练习1（2018无锡）如图，矩形ABCD中，G是BC的中点，过A、D、G三点的圆O与边AB、CD分别交于点E、点F，给出下列说法：（1）AC与BD的交点是圆O的圆心；（2）AF与DE的交点是圆O的圆心；（3）BC与圆O相切，其中正确说法的个数是（）A0B1C2D32（2018怀化）已知：如图，AB是O的直径，AB=4，点F，C是O上两点，连接AC，AF，OC，弦AC平分FAB，BOC=60°，过点C作CDAF交AF的延长线于点D，垂足为点D（1）求扇形OBC的面积（结果保留）；（2）求证：CD是O的切线考点三：点与圆、直线与圆的位置关系例1、（2018湖北）如图，在O中，AB为直

18、径，AC为弦过BC延长线上一点G，作GDAO于点D，交AC于点E，交O于点F，M是GE的中点，连接CF，CM（1）判断CM与O的位置关系，并说明理由；（2）若ECF=2A，CM=6，CF=4，求MF的长思维升华直线与圆的位置关系：设O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d,则：直线l和O相交dr；直线l和O相切d=r；直线l和O相离dr。变式练习1（2018湘西州）已知O的半径为5cm，圆心O到直线l的距离为5cm，则直线l与O的位置关系为（）A相交B相切C相离D无法确定2（2018泰州）如图，AB为O的直径，C为O上一点，ABC的平分线交O于点D，DEBC于点E（1）试判断DE与O的位置关系，

19、并说明理由；（2）过点D作DFAB于点F，若BE=3，DF=3，求图中阴影部分的面积考点四、三角形的外接圆与圆心例1（2018绥化）如图，ABC是半径为2的圆内接正三角形，则图中阴影部分的面积是 （结果用含的式子表示）思维升华正三角形的外心，内心，重心，垂心重合，正三角形的内切圆半径、外接圆半径和它的高的比为1：2：3。变式练习1（2018临沂）如图在ABC中，A=60°，BC=5cm能够将ABC完全覆盖的最小圆形纸片的直径是 cm2（2018镇江）如图，AD为ABC的外接圆O的直径，若BAD=50°，则ACB= °3（2018黄冈）如图，ABC内接于O，AB为O

20、的直径，CAB=60°，弦AD平分CAB，若AD=6，则AC= 考点五、三角形的内切圆与圆心例5 （2018威海）如图，在扇形CAB中，CDAB，垂足为D，E是ACD的内切圆，连接AE，BE，则AEB的度数为 思维升华三角形内切圆与内心的性质有：（1）三角形的内心到三角形三边的距离相等；（2）三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角。在解答有关问题时，要注意这些性质的应用。变式练习1（2018烟台）如图，四边形ABCD内接于O，点I是ABC的内心，AIC=124°，点E在AD的延长线上，则CDE的度数为（）A56°B62°C68°D78

21、76;2（2018长沙）如图，在ABC中，AD是边BC上的中线，BAD=CAD，CEAD，CE交BA的延长线于点E，BC=8，AD=3（1）求CE的长；（2）求证：ABC为等腰三角形（3）求ABC的外接圆圆心P与内切圆圆心Q之间的距离知识点一、正多边形和圆1正多边形：各边相等， 也相等的多边形是正多边形。2圆内正多边形：顶点都在同一 上的正多边形，就做圆内正多边形，每一个正多边形都有一个外接圆。3正多边形的中心、半径、中心角和边心距：（1）正多边形的中心：正多边形的外接圆的 叫正多边形的中心。（2）正多边形的半径：正多边形的外接圆的 叫正多边形的半径，一般用字母R表示。（3）正多边形的中心角：

22、正多边形每边所对的 叫正多边形的中心角，正n变形的中心角为。（4）正多边形的边心距：正多边形的中心到正多边形的一边的 叫做正多边形的边心距，一般用r表示。名师提醒（1）正多边形的有关计算，一般是放在一个等腰三角形或一个直角三角形中进行，根据半径、边心距、边长、中心角等之间的边角关系作计算，以正三角形、正方形和正多边形为主；（2）每一个正n边形都被它的半径分成n个全等的等腰三角形，被它的半径和边心距分成2n个全等的直角三角形。知识点二、弧长与扇形面积O的半径为R，弧长为l，圆心角为n°，扇形的面积为S扇，则有如下公式：（1） 弧长公式： 。（2）扇形的面积公式： 。名师提醒（1）扇形的

23、面积公式与三角形的面积公式十分相似，可把扇形想象成曲边三角形，把弧长看作底，r看作底边上的高；（2）弧长公式与扇形的面积公式都可进行变形；（3）原公式中涉及的角都不带单位；（4）扇形的两个公式可根据已知条件灵活进行选择；（5）圆中的面积计算常见的是求阴影部分的面积，常用的方法有：已知规则图形面积的和与差；割补法；等积变形法；平移法；旋转法等。知识点三、圆柱和圆锥1如图：设圆柱的高为h，底面半径为R，则有：（1）S圆柱侧= ；（2）S圆柱全= ；（3）V圆柱= 。2如图：设圆锥的母线长为l，底面半径为R，高为h，则有：（1）S圆锥侧= ；（2）S圆锥全= ；（3）V圆锥= 。 考点一：正多边形和

24、圆例1 （2018温州）小明发现相机快门打开过程中，光圈大小变化如图1所示，于是他绘制了如图2所示的图形图2中六个形状大小都相同的四边形围成一个圆的内接正六边形和一个小正六边形，若PQ所在的直线经过点M，PB=5cm，小正六边形的面积为cm2，则该圆的半径为 cm例2（2018河北）如图1，作BPC平分线的反向延长线PA，现要分别以APB，APC，BPC为内角作正多边形，且边长均为1，将作出的三个正多边形填充不同花纹后成为一个图案例如，若以BPC为内角，可作出一个边长为1的正方形，此时BPC=90°，而=45是360°（多边形外角和）的，这样就恰好可作出两个边长均为1的正八

25、边形，填充花纹后得到一个符合要求的图案，如图2所示图2中的图案外轮廓周长是 ；在所有符合要求的图案中选一个外轮廓周长最大的定为会标，则会标的外轮廓周长是 变式练习1（2018资阳）如图，ABCDEF为O的内接正六边形，AB=a，则图中阴影部分的面积是（）A B（ C D 2（2018贵阳）如图，点M、N分别是正五边形ABCDE的两边AB、BC上的点且AM=BN，点O是正五边形的中心，则MON的度数是 度3（2018宜宾）刘徽是中国古代卓越的数学家之一，他在九章算术中提出了“割圆术”，即用内接或外切正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积，设圆O的半径为1，若用圆O的外切正六边形的面积S来近似估计圆

26、O的面积，则S= （结果保留根号）考点二：与弧长有关的计算例1、 （2018沈阳）如图，正方形ABCD内接于O，AB=2，则的长是（）A B C2 D例2（2018盐城）如图，图1是由若干个相同的图形（图2）组成的美丽图案的一部分，图2中，图形的相关数据：半径OA=2cm，AOB=120°则图2的周长为 cm（结果保留）思维升华求弧长时，只要分别求出弧所对的圆心角和所在圆的半径即可。求半径时，要综合应用所学知识解题，代入公式时，n不带度数。变式练习1（2018大连）一个扇形的圆心角为120°，它所对的弧长为6cm，则此扇形的半径为 cm2（2018永州）如图，在平面直角坐标

27、系中，已知点A（1，1），以点O为旋转中心，将点A逆时针旋转到点B的位置，则的长为 考点三：扇形面积与阴影部分面积例1（2018德州）如图，从一块直径为2m的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形，则此扇形的面积为（）A m2Bm2Cm2D2m2例2（2018济南）如图1，一个扇形纸片的圆心角为90°，半径为6如图2，将这张扇形纸片折叠，使点A与点O恰好重合，折痕为CD，图中阴影为重合部分，则阴影部分的面积为（）A6- B6-9 C12- D 思维升华计算扇形的面积有两个公式：和 ，其中n是圆心角所对应的角度数，l是扇形的弧长，r是扇形的半径长，在求解扇形面积时，注意选用合理的公式 。变式练习1（2018成都）如图，在ABCD中，B=60