解析函数的级数表示

1、第四章 解析函数的级数表示§1. 复数项级数一. 复数序列的极限定义： 设为一个复数序列，其中， 又设为一个复定值. 若使得有不等式 恒成立，则称复数序列收敛于，或称以为极限，记作 或.如果对于任意复数，上式均不成立，则称复数序列不收敛或发散.定理1 设，则 定理1说明: 可将复数列的敛散性转化为判别两个实数列的敛散性.二. 复数项级数定义： 设为一个复数序列，表达式 称为复数项无穷级数.如果它们的部分和序列 有极限（有限复数），则称级数是收敛的，S称为级数的和；如果没有极限，则称级数是发散的.例1. 当时，判断级数是否收敛？定理2 级数收敛的充分必要条件是实数项级数与都收敛.定理2

2、说明: 可将复级数的敛散性转化为判别两个实级数的敛散性.定理3 （级数收敛的必要条件）若级数收敛，则.定理4 若级数收敛，则级数 一定收敛. 定义： 若级数收敛， 则称级数绝对收敛，若级数发散，而级数收敛，则称级数条件收敛.例2. 判断下列级数的敛散性：（1）；（2）；（3）.§2. 复变函数项级数一. 复变函数项级数定义： 设为区域D内的函数序列，称以为一般项的复级数 为区域D内的复变函数项级数.该级数的前n项的和 称为该级数在D内的部分和.设为区域D内的一个定点，若极限存在，则称该复变函数项级数在点收敛，为其和，即 .如果该复变函数项级数在D内处处收敛，则称该复变函数项级数在D内

3、收敛，由此所定义的函数称为和函数，记作.即 二. 幂级数定义： 形如 的复变函数项级数称为幂级数，其中与均为复常数.定理5 如果幂级数在点 收敛，则该级数在圆域内绝对收敛.推论 如果幂级数在点发散，则在区域内发散.定义：若存在圆，使得幂级数在此圆内绝对收敛，在此圆外发散，则称该圆为幂级数的收敛圆，称该圆的半径R为幂级数的收敛半径.结论： 对幂级数而言，一定存在某一圆，使得该幂级数在此圆内绝对收敛，在此圆外发散.达朗贝尔比值判别法 若 ，则幂级数的收敛半径.柯西根值判别法 若 ，则幂级数的收敛半径.例3. 求级数 的收敛半径.例4. 求级数的收敛半径.说明：达朗贝尔比值判别法与柯西根值判别法都只

4、是充分条件，而非必要条件.例5. 把函数表示成形如的幂级数.性质 (1) 幂级数的和函数在收敛圆内一定解析； (2) 在收敛圆内，幂级数可以逐项积分或求任意阶导数，所得到的幂级数在该圆内也收敛，且相应的和函数即为对幂级数的和函数进行积分或求相应阶导数所得的结果.例6 求幂级数的和函数，并计算级数 之值.§3. 泰勒级数定理6 (泰勒定理) 设函数在区域D内解析，为D内的一点，设R为到D的边界的距离，则当时，可展为幂级数 其中.称该幂级数为在区域D内以为心的泰勒级数.说明:1.复变函数展开为泰勒级数的条件要比实函数时弱得多; (想一想, 为什么?) 4.任何解析函数在一点的泰勒级数是唯

5、一的. 结论：函数在点解析的充分必要条件是在点可展成幂级数.根据结论，解析函数在点可展成泰勒 级数，其展开法分别是直接展开法和间接展开法.直接展开法是指由泰勒展开定理计算系数间接展开法是指借助于一些已知函数的展开式 , 结合解析函数的性质, 幂级数运算性质 (逐项求导, 积分等)和其它数学技巧 (代换等) , 求函数的泰勒展开式.例7将处展开为泰勒级数.例8. 将处展开为泰勒级数.例9将在z=0的邻域展开.例10. 求函数的邻域内的泰勒 展开式.例11. 例12. 求函数在的邻域内的泰 勒展开式.例13.将函数展开为的幂级数.例14.求对数函数ln(1+z)在z=0处的泰勒展开式.例15. 将函数展开为z的幂级数.§4. 洛朗级数引例 求函数的级数表示式.定理7 设函数在环域内解析，则在此环域内一定可以展成 ， 其中. C为此环域内绕的任意一条简单闭曲线. 称此级数为环域内的解析函数的洛朗级数.说明:环域内的解析函数则在此环域内一