第四章套利和资产定价

1、1第四章套利和资产定价2本章简述 在第3章中我们考虑的是一个特殊的证券市场结构，即Arrow-Debreu证券市场结构。 本章从任意的市场结构出发，只作最少的假设，以探究最一般的结论。由于证券市场的重要性以及证券价格在资源配置中所扮演的关键角色，我们将重点讨论证券价格的基本性质和基本的定价原理。为之后的学习提供一个基础。3本章结构 4.1一般市场结构 4.2套利 4.3无套利原理 4.4资产定价的基本定理 4.5风险中性定价和鞅 4.6本章小结44.1一般市场结构 A 复合证券 在一般市场上绝大多数证券在不止一个状态下有支付。这些证券有时也叫复合证券复合证券(composite securit

2、y)，从概念上它们的支付都可以看成是由状态或有证券的组合产生的。记n=1，N为市场中交易的证券，每一证券有支付向量为;.,nnn1xxxnX5 那么，证券市场的结构就由支付矩阵X给定：NnNnNnxxxxxxxxxX,1 ,1 ,1,11 ,16 B 冗余证券 给定市场上的交易证券集合，它们的支付可能是相关联的。比如，可能存在一只证券j，它的支付可以表示成其他证券支付的线性组合。在这种情况下，支付矩阵X不是满秩的。令 为剔除证券j后的支付矩阵， 这里xn是证券n的支付向量。很明显，由原来N只证券的组合所生成的任意支付也可以由剔除了证券j以后的N-1只证券组合产生。jX,111NjjjxxxxX

3、7 令为所有N只证券组成的组合，而 是剔除j以后的N-1只证券的组合。已经假设xj是由其他x的线性组合。因此存在 使得 也就是说，用其他证券的支付可以复制证券j的支付。现在考虑由任意生成的支付。 括号里面的是由剔除j后的N-1只证券生成的组合。因此没有它我们也可以生成相同的支付。所以证券j也称做冗余证券冗余证券(redundant security)。j* j*jjjXx)(*jjjjjjjjXxXXx8 C 证券市场的不同描述方式 在我们对市场结构X的描述中可以只包括具有线性独立支付的证券。这就意味着X当中的证券数目不会超过。因为X是满秩的（t它的N列是独立的），它的秩必须是N和中最小者：r

4、ank（X）=minN，=N。 给定具有线性独立支付矩阵X的证券集合，我们可以形成N个线性独立的组合。记为1，N。此时我们可以把没个组合当作一个证券组合当成一个证券。它的支付矩阵是9 令H1，N，则H为（N*N）矩阵。因为各组合（即H的列向量）之间是独立的，H满秩的。由于rank(AB)minrank(A),rank(B),rank( ) rank(XH)rank(X)，于是，rank(XH)=rank(X)=N。因而X也是满秩的，为N。用这些组合作为基本单元，可以生成这些组合的组合。特别的，可用这些组合来复制原始证券。H可逆。它的逆矩阵为1XHHNNNXxxxxX,111111H10 那么

5、，这样我们就复制出了原始证券。同样容易证明原证券的任意组合都能这样复制： 我们可以做出如下总结：如果不存在摩擦，独立组合1，N提供 了一个市场的等价描述。1HXX11HXXHHX11 D 生成 现在考虑rank(X)=N=的特殊情形。那么X就是一个秩为的可逆矩阵。这样就能复合证券复制所有的Arrow-Debreu证券即状态或有证券。 考虑一个复合证券的组合。 的支付向量是X。定义1为1的列向量,其第个元素为1,其他均为0.为了复制状态或有证券的支付,必须有 当X可逆时,我们只要选择 定理4.1 当且仅当具有独立支付的证券数等于状态数时证券市场是完全的。 在这种情况下，我们称经济中的不确定性可以

6、由市场中的证券生成（生成（span）1X11 X124.2套利 记证券的价格向量为S=S1;SN，支付矩阵为X。把从X到S的映射称做资产定价关系资产定价关系(assert pricing relation)或资产定价模型资产定价模型(assert pricing model)。 考虑一个交易证券的组合，=1，N。它在0期的价值为 ，在1期的支付向量为X。证券或组合可能在未来某一状态带来负的支付。负的未来支付也叫做责任责任(liability)。称未来支付非负，即X0的组合具有有限责任有限责任(limited liability)。TS13 定义4.1 将满足下列条件的组合称做套利套利(arbi

7、trage)或套利机会套利机会(arbitrage opportunity)： (1) 0 (2)X0 (3)至少有一个不等式严格成立。 上面定义的套利可以分为三种类型： 第1类套利： 0且X=0 第2类套利： =0且X0 第3类套利： 0TSTSTSTS14 第1类套利允许参与者获得收益而不承担任何未来责任。第1类套利的一个主要特征就是它的支付没有任何不确定性。第2类套利中，组合的初始投资为0却得到正的未来支付。初始投资为0的组合也叫做套利组合套利组合(arbitrage portfolio)。第3类套利由第1类套利和第2类套利结合而成。例子见P54。15 上面定义的套利只依赖于交易证券的支

8、付和价格，而又假定所有参与者都知道这些支付和价格。这意味着：第一：套利不依赖任何私有信息。特别地，套利依赖于证券在每一状态下的支付，但不依赖每一状态发生的可能，而私有信息一般是相对于后者。第二，如果存在套利机会的话所有人都可以利用这些套利机会(在无摩擦的假设下)。164.3无套利原理 定理4.2在市场均衡中不存在套利机会。 证明：令ck,k=1, ,K为均衡配置，S为交易证券的均衡价格，X为支付矩阵。假设市场中存在套利机会。考虑一个参与者k的套利交易。这不需要额外资源却可将他的消费提高到为 。由不满足公理， 。因此，对于参与者k来说ck不是最优的。这与均衡条件矛盾。kTkcXSc;kTkcXS

9、c;17 上面的讨论说明无套利只依赖于不满足公理，这是对参与者偏好很弱的一个假设。实际上，它并不要求所有参与者都是不满足的，只要求一些或至少一个。它不依赖于经济的其他特征。由于这个原因，我们把它作为金融学的一个一般原理。18 定义4.2 无套利原理（Principle of No-arbitrage）：证券市场中不存在套利机会。 作为证券价格和支付的基本性质，无套利原理对证券价格和支付之间的关系或资产定价关系做出了限制。 从上面讨论中不存在市场套利机会依赖于两个假设：一是(至少部分)市场参与者的不满足性，二是市场无摩擦。194.4资产定价基本定理 如前所述，资产定价关系或模型指的是从证券的支付

10、X到其价格S的映射。可以写成S=V(X) (4.1) 其中，V(.)常称为定价算子定价算子(pricing operator)或估价算子估价算子(valuation operator) 无套利原理赋予了定价算子一些基本性质。20 定理4.3 (一价定律一价定律) 两个具有相同支付的证券(或组合)的价格必定相同。也就是， 如果x=y，则V(x)=V(y) (4.2) 一价定律的一个推论是，未来支付为0的证券或证券组合的价格为0：V(0)=0。 定理4.4 支付为正的证券或证券组合的价格为正。即： 如果x0,则V(x)0 (4.3) 定理4.5 给定两只证券1和2，如果证券1的支付总是大于证券2的

11、，那么证券1的价格必高于证券2的价格。即： 如果x1x2，则V(x1)V(x2) (4.4) 21 定理4.6 在一个无摩擦市场中，定价算子是递增的线性算子。也就是说，对于任意a，bR以及具有支付x，y和z=ax+by的3只证券， V(ax+by)=aV(x)+bV(y) (4.5) 这就是说V(.)是线性算子，且V(0)=0.因此 定理4.6意味着资产定价算子具有如下形式： V(x)=Tx 其中，是一个(1)的正向量。22 定理4.7 (资产定价基本定理，资产定价基本定理，Fundamental theorem of Asset prcing)证券市场中不存在套利机会的充要条件为存在0使得

12、S=(Tx) T (4.6) 证明：充分性是显而易见的。 必要性由Stiemke引理可以推出。 引理4.1 (Stiemke引理) 令X为一mn矩阵，m和n是任意的正整数， R n且，S R n。当且仅当0并满足S=(Tx) T ， 集合:-S T;X 0是空集。 见P58例题23 定理4.8 在一个完全证券市场中，状态价格向量是唯一的。 证明：令S为只交易证券的价格向量，为由它们来复制状态或有证券的组合。那么，状态的状态价格由 唯一给定。TS244.5风险中性定价和鞅 由资产定价基本定理，存在一个严格为正的状态向量可对所有交易证券定价。包括无风险债券。因此 定义1单位无风险证券投资获得的净支

13、付或收益收益率率(rate of return)，也称做无风险利率风险利率(interest rate)并记为rF 。则 TS11111r11SSrSFF或25 利率也叫货币的时间价值货币的时间价值(time value of money)。有定价关系我们有 因此我们有 (4.7) 债券的定价公式可以写成Fr11FrS11126 对于市场上的其他证券，比如说支付为 的证券n，由定价公式(4.6)可得 其中，n=2,N。定义 (4.8) 显然，q0，nnnxxx, 1;nnTnxxS,wq上的一个概率测度也可以被解释成，。因此，且qqQ1q27 将定价公式重新写成 (4.9) 这个式子有个简单的

14、解释：证券价格就是它在测度Q下的期望对无风险利率的折现。对所有证券都适用。由于这个原因，(4.9)式叫做风险中性定价风险中性定价(risk-neutral pricing)公式。而Q则被称为风险中风险中性测度性测度(risk-neutral measure)。 NnrxESxqSSFnQnnn, 1,1,1或28 需要强调的是，风险中性定价公式是对我们新定义的概率测度Q而不是实际的概率测度P取期望值。P反映的是个状态的实际概率。而Q则是由(4.8)式用状态价格定义的。它表示的是规范化的状态价格，因而它实际上已经把证券的风险考虑进去了。看P61例题。29 因为S1=1/(1+rF)且 ，资产定价

15、公式(4.9)也可以写成 注意S1和Sn是证券1和n以现在的消费品作为计量单位的价格。一般来说，我们记 以无风险债券为单位的，证券n在t期的价格，这里t=0,1。那么我们有 (4.10) 其中，t=0.如果把把不同日期的价格写成一个序列，那么我们可以把它看做是一个时间序列。11x11/xxESSnQnttntnSSS, 1,/1,tnQtnSES30 定义4.3 如果一个随机过程，z1,z2,现在的值恒等于对其未来的条件期望：zt=Etzt+1，那我们称之为鞅。 因此(4.10)式所表述的是，以债券价格为计量单位，证券价格在风险中性测度Q下是鞅。因此，Q也称做等价鞅测度等价鞅测度(equivalent martingale measure)。314.6本章小结 无摩擦市场中，N个线性独立的证券组合可以为市场结构提供一个等价描述。 当且仅当具有独立支付的证券数等于状态数时证券市场是完全的。 如果组合满足一下条件： 那么称为套利或套利机会。套利不依赖任何私有信息，并且在无摩擦的假设下，所有人都可以利用这些套利机会。 格成立。）至少有一个不等式