第十一章习题课

1、第九章习题课 nnnuuuuu32111 1、常数项级数、常数项级数 常常数数项项级级数数收收敛敛( (发发散散) )nns lim存存在在( (不不存存在在) ). . niinnuuuus121级数的部分和级数的部分和定义定义级数的收敛与发散级数的收敛与发散性质性质1 1: : 级数的每一项同乘一个不为零的常数级数的每一项同乘一个不为零的常数, ,敛散性不变敛散性不变. .性质性质2 2: :收敛级数可以逐项相加与逐项相减收敛级数可以逐项相加与逐项相减. .性质性质3 3: :在级数前面加上有限项不影响级数的敛在级数前面加上有限项不影响级数的敛散性散性.性质性质4 4: :收敛级数加括弧后

2、所成的级数仍然收敛收敛级数加括弧后所成的级数仍然收敛于原来的和于原来的和. . 0lim nnu级数收敛的必要条件级数收敛的必要条件:收敛级数的基本性质收敛级数的基本性质常数项级数审敛法常数项级数审敛法正正 项项 级级 数数任意项级数任意项级数1.2.4.充要条件充要条件5.比较法比较法6.比值法比值法7.根值法根值法4.绝对收敛绝对收敛5.交错级数交错级数(莱布尼茨定理莱布尼茨定理)3.按基本性质按基本性质;,则级数收敛则级数收敛若若SSn;, 0,则级数发散则级数发散当当 nun一般项级数一般项级数4.绝对收敛绝对收敛(2) (2) 比较审敛法的极限形式比较审敛法的极限形式设设 1nnu与

3、与 1nnv都是正项级数都是正项级数,如果如果lvunnn lim,则则(1) 当当 l0时时,二级数有相同的敛散性二级数有相同的敛散性; (2) 当当0 l时，若时，若 1nnv收敛收敛,则则 1nnu收敛收敛; (3) 当当 l时时, 若若 1nnv发散发散,则则 1nnu发散发散;定义定义0,1 nnnuu.有界有界部分和所成的数列部分和所成的数列正项级数收敛正项级数收敛ns2 2、正项级数及其审敛法、正项级数及其审敛法审敛法审敛法(1) (1) 比较审敛法比较审敛法若若 1nnu收敛收敛( (发散发散) )且且)(nnnnvuuv , ,则则 1nnv收收敛敛( (发发散散) ). .

4、设设 1nnu为正项级数为正项级数,如如果果0lim lnunn (或或 nnnulim),则则级级数数 1nnu发发散散;如如果果有有1 p, 使使得得npnun lim存存在在,则则级级数数 1nnu收收敛敛.(3) (3) 极限审敛法极限审敛法(4) (4) 比值审敛法比值审敛法( (达朗贝尔达朗贝尔 D DAlembertAlembert 判别法判别法) )设设 1nnu是是正正项项级级数数,如如果果)(lim1 数数或或nnnuu则则1 时级数收敛时级数收敛;1 时级数发散时级数发散; 1 时失效时失效.(5) (5) 根值审敛法根值审敛法 ( (柯西判别法柯西判别法) )设设 1n

5、nu是正项级数是正项级数, ,如果如果 nnnulim)( 为数或为数或 , ,则则1 时级数收敛时级数收敛; ; 1 时级数发散时级数发散; ;1 时失效时失效. .定义定义 正正 、负项相间的级数称为交错级数、负项相间的级数称为交错级数. . )1()1(111nnnnnnuu 或或莱布尼茨定理莱布尼茨定理 如果交错级数满足条件如果交错级数满足条件: :( () ), 3 , 2 , 1(1 nuunn;(;() )0lim nnu, ,则则级数收敛级数收敛, , 且其和且其和1us , , 其余 项其余 项nr的绝对值的绝对值1 nnur. .)0( nu其中其中3 3、交错级数及其审敛

6、法、交错级数及其审敛法定义定义 正项和负项任意出现的级数称为任意项级数正项和负项任意出现的级数称为任意项级数.定定理理 若若 1nnu收收敛敛,则则 1nnu收收敛敛.定义定义: :若若 1nnu收敛收敛, , 则称则称 0nnu为绝对收敛为绝对收敛; ;若若 1nnu发发散散, ,而而 1nnu收收敛敛, , 则则称称 1nnu为为条条件件收收敛敛. .4 4、任意项级数及其审敛法、任意项级数及其审敛法二、典型例题二、典型例题;)1()1(:11 nnnnnnn判断级数敛散性判断级数敛散性例例1 1解解nnnnnnnnu)1(1 ,)11(21nnnn ;23cos)2(12 nnnn解解,

7、223cos2nnnnnnu ,2nnnv 令令nnvvnnnnnn221limlim11 nnn21lim , 121 ,21收敛收敛 nnn根据比较判别法，根据比较判别法，原级数收敛原级数收敛nnnnnnn122)11(lim)11(lim2 ; 10 exxnnxn11limlim ln1limexpxxx 1limexpxx ; 10 e, 01lim nnu根据级数收敛的必要条件，根据级数收敛的必要条件，原级数发散原级数发散 1).0()1()2ln()3(nnanan解解nanunnnnn1)2ln(limlim , )2ln(lim1nnna ,2,2nenn 时时从而有从而有,

8、)2ln(1nnnn , 1lim nnn由于由于, 1)2ln(lim nnn.1limaunnn ,1100时时即即当当 aa原级数收敛；原级数收敛；,1110时时即即当当 aa原级数发散；原级数发散；,1时时当当 a,)11()2ln(1 nnnn原级数为原级数为,)11()2ln(lim nnnn原级数也发散原级数也发散1!4nnenn（）解解nnnnneu! nnnuu1lim nnnnne1lim nnnnnnnenne!1!1lim11 111lim nnne11111 nnnneuu而而nnuu 1所所以以eu 1又又,limeunn 所所以以0lim nnu故：原级数发散。故

9、：原级数发散。153 sin5nn（ ）解解：而而 1153nnnnnv nnnu5sin3 nnnv53 取取nnnnnnnnvu535sin3limlim 则则也也收收敛敛。故故： 15sin3nn 收收敛敛153 q155sinlim nnn 61(1)366nnnn（ ）解解nnnvv1lim ）（*6463)1(66nnnnnnn 16164nnnnnnv考考察察级级数数nnnnnnn4664)1(lim6116666)1(4limnnn 61164lim nn164 原原级级数数收收敛敛。可可知知、故故：由由(*)(*)）（收收敛敛*64161 nnnnnnv ）（非非绝绝对对收收

10、敛敛从从而而*11121 nnn解解例例2 判定下列级数是否条件收敛？是否绝对收敛？判定下列级数是否条件收敛？是否绝对收敛？12 nnun发发散散而而 111nn发发散散，所所以以 1nnu01limlim2 nnunnn又又)1(1)(2 xxxxf设设 22211)(xxxf 则则)1(0 x）上上单单调调递递减减，在在 1)( xf121111nnn（ ）1 nnuu* *故 ： 由 （） 、 （） 原 级 数 条 件 收 敛 。112 nnnn ）（收收敛敛。由由莱莱布布尼尼兹兹判判别别准准则则，*11121 nnn 非非绝绝对对收收敛敛从从而而 1111nnn解解 nnun 1发发散

11、散而而 121nn发发散散，所所以以 1nnu nnunnn 1limlim又又11211nnn（ ）nn 11n21 nnn 11lim0 nnnnun 1111211 nunn故故：原原级级数数条条件件收收敛敛。解解213.lim(0),nnnnn al la例 已知问级数是否收敛？nnan2lim 已已知知由由 1211nnnna 敛敛散散性性同同级级数数所所以以级级数数收收敛敛而而级级数数 121nn收收敛敛。故故：级级数数 1nna)0(1lim2 llnann解解14.01,2,),nnnana例已 知（且收 敛 ， 试 考 察下 列 级 数 的 收 敛 性 ：21(1)nna）（

12、1112nnna a（ ）13nnan（ ）收收敛敛 1nna0lim nna,1,0 naNnN时时，有有当当所所以以nnaa 2收收敛敛。）知知道道由由比比较较法法（推推论论211 nna）（2 1121 nnnnaaaa收收敛敛 11nnnaa13nnan（ ）nanann1 2121nan均均收收敛敛与与而而 1211nnnna收收敛敛。所所以以 1nnna221111111111115.,1,2,nnnnaaaannnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnpqnAapqBapqCapqDapq例 设则下列命题正确的是：（ ）若条件收敛，则与都收敛；（ ）若绝对收敛，则与都收敛

13、；（ ）若条件收敛，则与敛散性都不定；（ ）若绝对收敛，则与敛散性都不定；解解 111nnnnnnaaa收敛收敛收敛，此时亦有收敛，此时亦有绝对收敛，即绝对收敛，即若若，又又22nnnnnnaapaap 都收敛。都收敛。与与由级数的运算性质知由级数的运算性质知 11nnnnqp1116.0(1,2,),( 1),11nnnnnnnnanaaa例设单调递减，发散判别的敛散性。解解 , 0单调递减且有下界单调递减且有下界由题设知由题设知na 有极限。有极限。所以所以na。不妨设不妨设)0(lim llann，若若0 l 11)1(nnna 收收敛敛，交交错错级级数数则则由由莱莱布布尼尼兹兹判判别别准准则则0lim lann与题设矛盾，故与题设矛盾，故laannnnnn 1111lim11lim由由根根值值判判别别法法，有有故故1 收敛。收敛。故：故： 111nnna敛？敛？是条件收敛还是绝对收是条件收敛还是绝对收敛？如果收敛，敛？如果收敛，是否收是否收判断级数判断级数 1ln)1(nnnn例例7 7解解,1ln1nnn ,11发散发散而而 nn,ln1ln)1(11发散发散 nnnnnnn即原级数非绝对收敛即原级数非绝对收敛,ln)1(1级数级数