微积分11--预备知识

1、二、实数的绝对值及其基本性质定义定义1.1的绝对值定义为的绝对值定义为是一个实数，则是一个实数，则设设xx的几何意义是：的几何意义是：绝对值绝对值 x 时时，当，当时时当当00,xxxxx.,0axaxa距离小于等于距离小于等于到原点的到原点的表示点表示点不等式不等式设设 .的距离的距离到到表示点表示点Oxx.之间的距离之间的距离与点与点则表示点则表示点而而yxyx 绝对值有以下一些基本性质：绝对值有以下一些基本性质：;0.1 x. )0(.8 yyxyx;.4xxx ;.2xx ;.5yxyx ;.6yxyx ;.7yxxy | , 0. 9axaxaxxa 若若| , 0.10axxaxx

2、axxa 若若;.32xx ;.),(bxaxba 开区间开区间区间的表示及含义：区间的表示及含义：. ),(baba和和间间类似地还有半开半闭区类似地还有半开半闭区.,bxaxba 闭区间闭区间OxabOxab.称为区间的长度称为区间的长度ab 三、区间与邻域,baba 为实数，且为实数，且设设;),axxxaxa ;),(axxaxxa OxaOxa.R),( xx端点为无限的区间表示及其含义：端点为无限的区间表示及其含义：邻域的概念邻域的概念,)(,000邻域邻域的的为为我们称我们称设设 xxO ),()(000 xxxO.)()(000的半径的半径称为称为的中心点，的中心点，称为称为其

3、中其中xOxOx .),(),()(0000000去心邻域去心邻域的的称为称为 xxxxxxxO 0 xO)(0 xO x.),(),(000000的右邻域的右邻域称为称为的左邻域，的左邻域，称为称为其中其中xxxxxx 表表示示什什么么？例例：5 . 0|2| xx为为半半径径的的空空心心领领域域？为为中中心心，以以例例13.0 x)2(5 . 0O)4 , 3()3 , 2( 一、变量与函数一、变量与函数 在某一变化过程中始终保持不变的量称为在某一变化过程中始终保持不变的量称为常量常量( (a,b,c).).在某一过程中不断变化的量称为在某一过程中不断变化的量称为变量变量( (x,y,z)

4、. .,上的一个函数上的一个函数为定义在实数集合为定义在实数集合则则应法应法与之对应，则称这个对与之对应，则称这个对，都有唯一的一个实数，都有唯一的一个实数，使得对于每一个，使得对于每一个则（也说对应规则）则（也说对应规则）如果存在一个确定的法如果存在一个确定的法集合集合属于某实数属于某实数变量变量与与设有两个变量设有两个变量DfyDxfDxyx 定义定义1.2Dxxfy , )(记作记作.称为因变量称为因变量通常称为自变量，通常称为自变量，yx1.2 函数概念 )(),()(fDxxfyyfR 即即. )( fRf 的值域，记为的值域，记为函数函数全体函数值的集合称为全体函数值的集合称为:)

5、1( 函数的两个要素函数的两个要素.)(ffD和对应法则和对应法则定义域定义域两个函数相同：定义域和对应法则都相同两个函数相同：定义域和对应法则都相同 .)( fD通常记为通常记为.的定义域的定义域称为称为 fD说明：说明：是否为函数？是否为函数？与与yxxy)2+arcsin(=2是否为相同的函数？是否为相同的函数？与与xxyxy32=.,)2(母母表表示示无无关关自自变变量量与与因因变变量量也也与与字字等等表表示示也也可可用用其其他他符符号号对对应应法法则则hgFf学学式式子子。可可换换成成其其他他的的字字母母或或数数施施用用于于表表示示将将法法则则函函数数xxfxf,)()3(?)(?)

6、(?)1(,)(:2 xffafxfxxf则则若若例例;)1()1(2 xxf解：解： 4222)()(xxxfxff ;)(2aaf .)4(有有意意义义的的自自变变量量的的集集合合一一般般定定义义域域是是指指使使函函数数.ln111的定义域的定义域例：确定例：确定xexy , 0ln10 xx且且解：只需解：只需.0exx 且且因此因此),(), 0(0| eeexxxD且且故定义域为故定义域为.)3ln(112的的定定义义域域练练习习：确确定定 xxy二、函数的表示法二、函数的表示法函数的表示法：函数的表示法：例例1 1如下表所示：如下表所示：年代世界人口增长情况年代世界人口增长情况世纪

7、世纪6020表格法、图示法和解析法（公式法）表格法、图示法和解析法（公式法）. .公元公元年份年份/t百万百万人口人口/n196019611962196319641965196619671968297230613151321332343285335634203483.24.示示的气温变化曲线如图所的气温变化曲线如图所小时小时设某天设某天化情况化情况变变记录仪记录某地的气温记录仪记录某地的气温某气象站用温度自动某气象站用温度自动例例2 2OtC0TtTP10203024 有些函数在它的定义域的不同部分有些函数在它的定义域的不同部分, ,其表达式其表达式不同，亦即用多个解析式表示函数，这类函数称不

8、同，亦即用多个解析式表示函数，这类函数称为为分段函数分段函数. . 0,0,xxxxxy当当当当,xy 取整函数取整函数,3,2,1,0,1, nnxnnxyOxyxy 例如，绝对值函数例如，绝对值函数例如例如, ,即即的最大整数的最大整数表示不超过表示不超过,xx.关系的方法称为解析法关系的方法称为解析法用解析表达式表示函数用解析表达式表示函数1 xxx注意：注意：1. 分段函数的定义域是其各段子区间的并集；分段函数的定义域是其各段子区间的并集；,:x对任意的实数对任意的实数可以证明可以证明-4-224-4-224xyOy=x有不等式有不等式2. 分段函数在其整个定义域上是一个函数，而分段函

9、数在其整个定义域上是一个函数，而不是几个函数不是几个函数. . 0201)(2xxxxxf例：例：)1(),1( ff求定义域及求定义域及; 011)1( f1)1()1(2 fKey:).2(,22211211)( xfxxxxxxxf求求例：设函数例：设函数,0015213)2( xxxxxxxfKey:)2 ,(2| xxD定义域定义域1.3 函数的几何特征一、单调性二、有界性三、奇偶性四、周期性上有定义，上有定义，在实数集在实数集设函数设函数Dxf )(定义定义1.3一、单调性.减函数统称为单调函数减函数统称为单调函数单调递增函数或单调递单调递增函数或单调递当当,21Dxx21xx 时

10、时, )()(21xfxf若若称称 )(xf为为 D上的上的单调递增函数单调递增函数 ;, )()(21xfxf若若称称 )(xf为为 D上的上的单调递减函数单调递减函数 ., )()(21xfxf若若称称 )(xf为为 D 上的上的严格单调减函数严格单调减函数 .二、有界性定义定义1.4,0 M使使,)(Mxf 称称 )(xfM 使使,)(Mxf 称称 )(xf为为D上上有界函数有界函数.在在 D上有上界上有上界. 使使,)(Mxf 称称 )(xf在在 D上有下界上有下界. ,Dx ,Dx 上有定义，上有定义，在实数集在实数集设函数设函数Dxf )(即有上界又有下界。即有上界又有下界。有界有

11、界)()(xfxf例例2xy 函数函数.), 0(内是严格单增的内是严格单增的在在 .),(内不是单调函数内不是单调函数但在但在 ;)0,(内是严格单减的内是严格单减的在在 yx2xy O11内有界，内有界，在在例如，函数例如，函数),(sin xyOxybAy aBy .所示所示轴的直线之间，如下图轴的直线之间，如下图在两条平行于在两条平行于有界函数的图形完全落有界函数的图形完全落x几何特征几何特征时无界。时无界。时有界；在时有界；在在在)1 , 1(), 11-xxxy 论的区间有关。论的区间有关。注：函数有界性与所讨注：函数有界性与所讨一一吗吗？问问题题：有有界界函函数数的的界界唯唯不唯

12、一不唯一!定义定义1.6三、奇偶性,Dx 且有且有,Dx 若若, )()(xfxf 则称则称 f (x) 为为偶函数偶函数;若若, )()(xfxf 则称则称 f (x) 为为奇函数奇函数. 上有定义，上有定义，在实数集在实数集设函数设函数Dxf )(说明说明:)()2(xf若若在在 x = 0 有定义有定义 ,. 0)0( f则当则当必有必有(1)奇奇,偶函数的定义域必须对称于坐标原点偶函数的定义域必须对称于坐标原点.)(xf为奇函数时为奇函数时, 0, 1e0,e1)()2( ;11ln)()1(xxxgxxxfxx-偶偶性性：例例：判判别别下下列列函函数数的的奇奇奇函数奇函数偶函数偶函数

13、.如图所示如图所示轴对称轴对称数的图形关于数的图形关于对称，而偶函对称，而偶函奇函数的图形关于原点奇函数的图形关于原点y几何特征几何特征)( xf yx)(xfO)(xfy x xyx)( xf )(xfy O)(xfx x定义定义1.7. )( ,)( )(, , , )( 为周期函数为周期函数则称则称成立成立且且恒有恒有对任意的对任意的，使得，使得非零常数非零常数如果存在如果存在内有定义内有定义在集合在集合设函数设函数xfxfTxfDTxDxTDxf . )( 0简称周期简称周期基本周期，基本周期，称为，称为满足上式的最小正数满足上式的最小正数xfT四、周期性.相同相同的两个相邻区间上图形

14、的两个相邻区间上图形图形特征：长度为图形特征：长度为T定义定义1.8.)()(, )(,)(, )()(, )(, )(, )()(1的反函数的反函数并称其为函数并称其为函数记作函数为记作函数为为自变量的函数为自变量的函数上以上以是定义在是定义在则则与之对应且满足与之对应且满足都有唯一确定的都有唯一确定的如果对每一个如果对每一个是是值域值域的定义域是的定义域是设函数设函数xfyfRyyfxyfRxxfyfDxfRyfRfDxfy .)()()1(1的值域和定义域的值域和定义域的定义域和值域分别是的定义域和值域分别是反函数反函数xfyyfx -)(),()()2(11fRxxfyyfx -常记为

15、常记为反函数反函数说明：说明：1.4 反函数xyO.)()()4(1对称对称图形关于直线图形关于直线的的的图形与其反函数的图形与其反函数函数函数xyxfyxfy )(xfy 直接函数直接函数),(abQ),(baP)(1xfy 反函数反函数xy 直线直线 .;)3(一一一一对对应应函函数数有有反反函函数数数数严严格格单单调调函函数数必必有有反反函函?), 0(?),(:2呢呢在在上有反函数吗上有反函数吗在在例例 xy由原函数可解得由原函数可解得 yyyfx22)1(21)(1将将x与与y互换互换,得反函数得反函数 212211)1(21)(1xxxxxfy11y21 y例：求例：求 的反函数及

16、其定义域。的反函数及其定义域。21)2(210122xxxxy解：解：求反函数的过程求反函数的过程)(xfy )(1yfx )(1xfy 定义定义1.9)(),(),()(),(),(gRugDxxgufRyfDuufy 已知函数已知函数.,称为中间变量称为中间变量而而称为自变量称为自变量称为因变量称为因变量其中其中uxy.)()()()(),(,)()(复合而成的复合函数复合而成的复合函数和和为由函数为由函数则称函数则称函数（空集）（空集）如果如果xguufyfDxgxxxgfygRfD .)()()(的的定定义义域域为为复复合合函函数数称称xgfyfDxgx 1.5 复合函数例例.cos)

17、(),1ln()()2(;ln)(, 1)()1(.2xxguuufyxxguuufy 其定义域其定义域可以，求出复合函数及可以，求出复合函数及复合成复合函数，若复合成复合函数，若讨论下列各组函数可否讨论下列各组函数可否解解,1)()1( uufD因因于是于是1)()( uugRfD可以复合成复合函数，可以复合成复合函数，与与所以所以xuuufln1)( 其表达式为其表达式为, 1ln xy.e,1ln1 xxxx即即定义域为定义域为,)( uugR, ,11)()2( uuuufD因因所以所以注意注意).(xgfy 复合函数复合函数故此两函数不能复合成故此两函数不能复合成,11)( uugR

18、,)()( gRfD, 2sin,e3, xvvuyu以及以及个函数个函数由由例如例如非空是必要的，非空是必要的，中要求中要求定义定义)()(9 . 1)1(gRfD.e2sin xy复合构成复合函数复合构成复合函数复复合合函函数数否否则则，函函数数不不能能复复合合成成(2)可以由多个函数复合构成复合函数可以由多个函数复合构成复合函数.)1(sin)4(;ln)3();3ln(sin)2();5tan()1(:2222xxyxyxyxy- 合过程合过程例：写出下列函数的复例：写出下列函数的复Key:22221,sin,)4(;ln,)3(; 3,sin,ln)2(; 5tan)1(xxwwvv

19、uuyxvvuuyxwwvvuuyxuuy 与与与与与与与与复合函数分解到每个函数都是由基本初等函数的四则复合函数分解到每个函数都是由基本初等函数的四则运算所得的函数即可。运算所得的函数即可。例例. )(,)1(xfxxf求求设设 解解,1)(xxuu 令令.)1()(2 xxf)1()1()(2 uuuf即即于是于是.)1(2 ux则则).(),()(),(,2)(,)(:2xxfxfxffxxxfx 求求已已知知例例 xxxf222)()( 42)()(xxfxff 222)()(xxfxf xxx2)(22)( 解解)(1),1(,1)(xffxfxxf 和和求求三、已知三、已知.tan

20、, 1,ln)2( ; 1,)1(2xvvuuyeuuyx 域：域：成的复合函数并求定义成的复合函数并求定义二、求给定函数复合而二、求给定函数复合而)4();12(ln)3();arctan()2(;log)1(:222xxyeyxyxa 合过程合过程一、写出下列函数的复一、写出下列函数的复练习练习45lg2xxy 1.6 初等函数一、基本初等函数二、初等函数三、隐函数1常数函数常数函数.,为常数为常数CCy 一、基本初等函数一、基本初等函数( (必须掌握函数的图象与定义域必须掌握函数的图象与定义域 ) ) 常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和

21、反三角函数称为三角函数和反三角函数称为基本初等函数基本初等函数.).,(其定义域为其定义域为,如图如图OxyCy .轴的直线轴的直线它是一条平行于它是一条平行于x2 2幂函数幂函数.,是实数是实数 xy .的的不不同同而而相相异异定定义义域域随随 .)1 , 1(), 0(点点图形均经过图形均经过内有定义，并且内有定义，并且总在总在取何值，取何值，不论不论 xy特征：特征：11yOxxy 3xy xy 3xy 2xy 11yOx2 )0( xy21 1 3 3指数函数指数函数),1, 0( aaayx).,( 其其定定义义域域为为为严格单减函数，为严格单减函数，时，时，当当xaya 10为严格

22、单增函数，为严格单增函数，时，时，当当xaya 11yOxx10 x2x 101xex e1x 21axaxeeaxlnln4 4对数函数对数函数).1, 0(log aaxya.的反函数的反函数指数函数指数函数xay )., 0( 其定义域为其定义域为1yOxx21logxe1logx101logx10logxelogx2log5 5三角函数三角函数正弦函数正弦函数xysin ).,( 定义域均为定义域均为Oxxysin 2yxycos 2 xycos 余弦函数余弦函数.2最小正周期均为最小正周期均为正切函数正切函数xxxycossintan xxxysincoscot 余切函数余切函数.Z

23、,2 kkxx定义域均为定义域均为.最小正周期均为最小正周期均为Oxxytan 2yxycot 2 232.Z, kkxx定义域为定义域为正割函数正割函数xxycos1sec xxysin1csc 余割函数余割函数.2最小正周期均为最小正周期均为.Z, kkxx定义域为定义域为.Z,2 kkxx定义域为定义域为Oxxysec 2yxycsc 2 23弧度弧度2360o .:是以弧度为单位的是以弧度为单位的三角函数的自变量三角函数的自变量注意注意x关系是：关系是：弧度与度数之间的换算弧度与度数之间的换算.1801o 弧度弧度或或弧度弧度或或1801o 6 6反三角函数反三角函数xyarcsin)

24、1( 反反正正弦弦函函数数Oxxyarcsin 2y11 2 ,1 , 1 定义域为定义域为.2,2 值域为值域为xyarccos)2( 反余弦函数反余弦函数,1 , 1 定义域为定义域为., 0值域为值域为Oxxyarccos 2y11 xyarctan)3( 反正切函数反正切函数),( 定义域为定义域为.2,2 值域为值域为Oxxyarctan 2y2 xycotarc)4( 反反余余切切函函数数),( 定义域为定义域为.), 0(值域为值域为Oxxycotarc 2y二、 初等函数 由基本初等函数经过由基本初等函数经过有限次有限次四则运算和四则运算和有限次有限次复合，并且在其定义域内具有

25、复合，并且在其定义域内具有统一统一的解析表达式，的解析表达式，这样的函数统称为这样的函数统称为初等函数初等函数. ., 1ln2 xy例如，例如，,ecossinxxy xylnarcsin 都是初等函数都是初等函数 分段函数分段函数一般不是一般不是初等函数。初等函数。但例如但例如: : y但但0, xx0, xx为初等函数为初等函数. .,2xy 可表示为可表示为),0(e,ln xxxxx例如例如，因为因为)(ln)()(ln)(ee)()(xfxgxfxgxgxf ),01(e)1()1ln(11 xxxxx.)0(elnsinsin均为幂指函数均为幂指函数 xxxxx所以幂指函数也是初

26、等函数所以幂指函数也是初等函数., 0)(),)(),()()(称之为幂指函数称之为幂指函数其中其中是初等函数是初等函数的函数的函数形如形如 xfxgxfxfxg.)(的函数称为显函数的函数称为显函数形如形如xfy DxxfxF , 0)(,(则必有恒等式则必有恒等式1=+yx2)1()(xxfy- .)(=0=),(称为隐函数称为隐函数上的函数上的函数所确定了一个定义在所确定了一个定义在由二元方程由二元方程xfyDyxF,2xy ,ln xy ,12arcsin2xxy 01 2 -xy例如例如22)1(xy 隐函数可显化隐函数可显化 0),( exyeyxFy隐隐函函数数不不易易显显化化三

27、、隐函数三、隐函数.确定隐函数确定隐函数注：不是任意方程都能注：不是任意方程都能0422 yx例：例：1.7 简单函数关系的建立一、简单函数关系的建立(自学)二、经济学中常见的函数关系二、经济学中常见的函数关系1.1.总成本函数、总收入函数和总利润函数总成本函数、总收入函数和总利润函数 生产和经营活动中，人们所关心的问题是生产和经营活动中，人们所关心的问题是产品产品的成本、销售收入（又称为收益）和利润的成本、销售收入（又称为收益）和利润 产品的成本产品的成本就是生产产品的总投入，它包括固就是生产产品的总投入，它包括固定成本（又称为不变成本）和可变成本定成本（又称为不变成本）和可变成本 销售收入

28、销售收入是指产品出售后所得的收入，而利润是指产品出售后所得的收入，而利润就是收入扣去成本后的余额就是收入扣去成本后的余额.称为经济变量称为经济变量和利润和利润，收入，收入通常把成本通常把成本LRC的单增函数；的单增函数；总成本是产量总成本是产量 x；即即乘积，乘积，与销售单价与销售单价是销售量是销售量总收入总收入PxxRPxxR )()().()()()(xCxRxLxL 即即，等于总收入减去总成本等于总收入减去总成本总利润总利润 )(xC总成本总成本 a固定成本固定成本可变成本可变成本管理费管理费, ,维修费维修费原料费原料费, ,劳力费劳力费,x记产品产量为记产品产量为. 3,20 例例P

29、2.2.需求函数与供给函数需求函数与供给函数需求函数需求函数(demand),)(bPaPfQdd-线性需求函数线性需求函数 为最大销售价。为最大销售价。求量，求量，为价格为零时的最大需为价格为零时的最大需baa/供给函数供给函数(supply)(supply)。其中其中线性供给函数线性供给函数0,)( dcdPcPfQss-,的的价价格格称称为为均均衡衡价价格格使使得得sdQQ .0P记为记为, 0,ba其中其中它是价格的单调减少函数它是价格的单调减少函数它它 是价格的单调增加函数是价格的单调增加函数.直接相关直接相关场供给量和产品的价格场供给量和产品的价格产品的市场需求量与市产品的市场需求量与市例例. .2504501500500数数求该产品的