微积分基本定理(选修2-2)

1、1.6微积分基本定理复习：复习：定积分的定义定积分的定义n1( )lim( )nbiaibaf x dxfn定积分的性质定积分的性质1212(1)( )( ) ()(2) ( )( )( )( )(3)( )( )( ) ( cb)bbaabbbaaabcbaackf x dxkf x dxkf xfx dxf x dxfx dxf x dxf x dxf x dx a为常数c被积函数被积函数积分变量积分变量积分区间积分区间,ba积分上限积分上限积分下限积分下限A( )baf x dx问题问题. 利用定义计算利用定义计算:dxx211 思考思考:你能求出上述和式的值吗？你能求出上述和式的值吗？

2、.11)21(1112 , 1 121nninixninininn ，每个小区间的长度为，个小区间等分成个分点，把区间上等间隔地插入，首先，在111111)(),2,1(11 innnixfSSniniiiii则其次，取12121111)1 (11 nnnnxnifSSniniin再次，利用定义计算定积分利用定义计算定积分21xdx3221( )2xF xx4(2)2F1(1)2F32(1)F(2)F n1n2ninnxOy2xy 利用定义计算定积分利用定义计算定积分112011limlim1111lim1132313nnniniSSfnnnnx dx231( )3xF xx33111(1)(

3、0)10333FF( )?baf x dx ( )( )令 F xf x( )( )( )baf x dxF aF b即牛顿即牛顿莱布尼兹公式（莱布尼兹公式（NewtonNewtonLeibniz FormulaLeibniz Formula）。）。简记：简记： 连续函数连续函数 f(x),若，则若，则( )( )f xF x( )( )( )baf x dxF bF a( )( )f xf x由于 F(x)+C，F(x)+C也是的原函数，其中c为常数。其中 叫做 一个原函数( )F x( )f x( )( )( )( )bbaaf x dxF bF aF x微积分基本定理微积分基本定理牛顿牛

4、顿莱布尼兹莱布尼兹思考思考. 根据微积分基本定理你认为求定积分的一根据微积分基本定理你认为求定积分的一 般步骤：般步骤：1.由求导公式和运算法则从反方向上求由求导公式和运算法则从反方向上求F(x);2.求积分上限和积分下限函数值之差求积分上限和积分下限函数值之差.nx1nnx 1x1lnxasin xcos xsin x cos xxexalnxaaxec0函数函数f(x)导函数导函数f(x)回顾：基本初等函数的导数公式回顾：基本初等函数的导数公式logax ln x被积被积函数函数f(x)原函数原函数F(x)新知：基本初等函数的原函数公式新知：基本初等函数的原函数公式ccxnx111nxn

5、sin xcos x sin xcos xxalnxaaxexe1xln x例例1. 计算下列定积分：计算下列定积分：（1） （2） 0cos xdx00sinsinsincoscos)sin00 xdxxx（解： 312xdx231231()22|918xxxdxx 解：( )( )|( )( )bbaaf x dxF xF bF a502210141(2)(3)sinxdxdxxxdx（ ）练习练习5012- 2例例 计算下列定积分计算下列定积分 原式原式33221111()dxdxdxdxxx333322221111=3x3x=3x3x解解:32211(3-)xdxx32211()3,(

6、 )xxxx 3 33331111176|(31 )()313xx 求求下下列列定定积积分分： (1)12(x22x3)dx； (2)0(cos xex)dx； (3) 02 (1-2sin2x2)dx. 练习练习解解析析 (1) 12 (x22x3)dx 12x2dx122xdx123dx x33|21x2|213x|21253. (2) 0 (cos xex)dx0cos xdx0exdx sin x|0ex|01e1. (3)1-2sin2x2cosx， 一点通一点通当原函数不易求时，可将被积函数适当变形当原函数不易求时，可将被积函数适当变形后再求解后再求解. 20sin )cos=si

7、n|sinsin012xxx 由于(原式例例3：计算下列定积分计算下列定积分2sin xdx20sin xdx0sin xdxxxsin)cos(解：2)0cos()cos(|cossin) 1 (0oxxdx2)cos()2cos(|cossin)2(22xxdx0)0cos()2cos(|cossin)3(2020 xxdx我们发现：我们发现：定积分的值可取正值也可取负值，还可以是定积分的值可取正值也可取负值，还可以是0 0；（1 1）当曲边梯形位于）当曲边梯形位于x x轴上方时，定积分的值取正值；轴上方时，定积分的值取正值；sinyxyxo20sin xdx（2 2）当曲边梯形位于）当曲

8、边梯形位于x x轴下方时，定积分的值取负值；轴下方时，定积分的值取负值；sinyxyxo22sin xdx（3 3）当曲边梯形位于）当曲边梯形位于x x轴上方的面积等于位于轴上方的面积等于位于x x轴下方轴下方的面积时，定积分的值为的面积时，定积分的值为0 0得到定积分的几何意义：得到定积分的几何意义：曲边梯形面积的曲边梯形面积的代数和代数和。sinyxyxo220sin xdx定积分的几何意义定积分的几何意义设设( )yf x 为为 , a b上连续函数上连续函数. .(1)(1)当当0( )( , )f xxa b 时时, ,( )baf x dx 为曲线为曲线0( ),yf xxa xb

9、 y 围成的面积围成的面积. .(2)(2)当当0( )( , )f xxa b 时时, ,( )baf x dx 为曲线为曲线0( ),yf xxa xb y 围成的面积的相反数围成的面积的相反数( (负面积负面积).).(3)(3)一般情形一般情形: :( )baf x dx 为曲线为曲线( )yf x 在在x x轴上方的正面积与轴上方的正面积与在在x x轴下方的负面积的代数和轴下方的负面积的代数和. .abyx（2）利用定积分基本定理求定积分的关键找到被积函）利用定积分基本定理求定积分的关键找到被积函数的原函数，也就是说要找到一个函数，使它的导函数的原函数，也就是说要找到一个函数，使它的导函数等于被积函数数等于被积函数（1）微积分基本定理公式）微积分基本定理公式( )( )|( )( )bbaaf x dxF xF bF