M正交变换和仿射变换

1、反射反射：把空间中的点变成一个平面的对称点的：把空间中的点变成一个平面的对称点的变换，叫做反射变换，叫做反射. .PP例：对于例：对于 平面的反射平面的反射, ,xy 经过反射变成经过反射变成点点 就是下面公就是下面公式所表示的变换：式所表示的变换：( , , )P x y z点1111( ,).P x y z111,xxyyzz 1 1：反射把右手系变成左手系：反射把右手系变成左手系. .所以反射不是刚体运动所以反射不是刚体运动. .1B1CPPBAC1A2：反射也保持距离不变反射也保持距离不变. .OQ1Q1O正交变换：正交变换：保持距离不变的变换保持距离不变的变换.6 6：什么叫正交变换

2、？：什么叫正交变换？1 1：反射和刚体运动都是正交变换，以及它们：反射和刚体运动都是正交变换，以及它们的乘积都是正交变换的乘积都是正交变换. .定理定理2 2：正交变换或者是刚体运动，或者是反正交变换或者是刚体运动，或者是反射，或者是刚体运动与一个反射的乘积射，或者是刚体运动与一个反射的乘积. .2 2：正交变换把一个三角形变成跟它全等的三：正交变换把一个三角形变成跟它全等的三角形角形. .是正交变换，但不是刚体运动.ABCA B C .正交变换A B CA B C 因为和全等，所以存在刚体运动 ，ABCA B C.刚体运动ABCA B C -1记=， 那么 是一个保持不变的正交变换A B C

3、( )( ( )( ( )( ),-1同时,PPPP .这表明= 如果 保持所有的点不动，即 是一个恒等变换那么就有 = ，这和 不是刚体运动矛盾.所以 所以 不能保持所有的点不动.,( ).设 是 的动点 记=PPP由于 是正交变换，所以 的不动点都会位于的垂直平分面上.PPP由于所有 的动点都会关于垂直平分面 对称.所以 是一个关于 的反射2222222()如果 是 的另外一个动点，记=那么 的所有不动点也会位于和的垂直平分面上，所以=PPPPPPP P一个正交变换会把一个直角坐标系变到另外一一个正交变换会把一个直角坐标系变到另外一个直角坐标系个直角坐标系. .但两个直角坐标系可以同为右但

4、两个直角坐标系可以同为右手系，也可以一个是右手系另外一个是左手系手系，也可以一个是右手系另外一个是左手系. .7：正交变换的坐标表示：正交变换的坐标表示给定一个正交变换给定一个正交变换 ：求其在坐标系：求其在坐标系中的坐标表示中的坐标表示. .123 ,O e e e( , , )P x y z( ,)P x y z123 ,O e e e123,O e e e要从 的坐标求的坐标PP123 ,O e e eO1e2e3eP123,O e e eO1e2e3eP 正交变换即：即：111.O Pxeyeze 在坐标系在坐标系 中的坐标就是中的坐标就是 在坐标在坐标 系系 中的坐标中的坐标, ,P

5、123,O e e eP123 ,O e e e又因为又因为 是是 在旧坐标系中的坐标，所在旧坐标系中的坐标，所以根据坐标变换公式，有以根据坐标变换公式，有:( ,)x y zP2212223,yaa xa ya z1111213,xaa xa ya z3313233.zaa xa ya z( , , )( , , )( , , )( , , )上面的公式是说，一个坐标为的点 ，经过正交变换，变为坐标为的点，这里的和是不同的点在同一个坐标系中的坐标.x y zPx y zPx y zx y z22211213122212223222213233311 122122313212132223323

6、31311232133311,1,1,0,0,0.aaaaaaaaaa aa aa aa aa aa aa aa aa a系数满足右边的正交条件3 仿射变换仿射变换PP0P平面平面 ，正数，正数 ，空间中每一，空间中每一点点 ，在平面上都有一个垂，在平面上都有一个垂足足 . 在线段在线段 上有唯一一上有唯一一点点 ，使得，使得kP0P0P PP00|P Pk P P 到到 的对应是一个变换，叫做对于平面的对应是一个变换，叫做对于平面 的的压压缩变换缩变换， 称作压缩系数称作压缩系数. .PPk,.xxyyzkz取取 作为作为 平面，得到压缩变换的公式：平面，得到压缩变换的公式：XY平行于平面平

7、行于平面 的线段，经过压缩，长度不变，的线段，经过压缩，长度不变，而垂直于而垂直于 的线段，经过压缩，长度按比例的线段，经过压缩，长度按比例 改变改变.k仿射变换仿射变换2212223,yaa xa ya z1111213,xaa xa ya z3313233.zaa xa ya z由下面一次方程组所表示的变换由下面一次方程组所表示的变换.由于变换必须是一一的由于变换必须是一一的,所以一次项系数的行列所以一次项系数的行列式不能为零式不能为零.它把坐标为它把坐标为 的点，变为坐标为的点，变为坐标为 的点的点. ( , , )x y z( ,)x y z1112132122233132330.aa

8、aaaaaaa压缩变换和正交变换都是仿射变换压缩变换和正交变换都是仿射变换. .仿射变换的基本性质：仿射变换的基本性质：1 1：把平面变成平面：把平面变成平面. .2 2：把相交的平面，变成相交的平面，把：把相交的平面，变成相交的平面，把平行的平面变成平行的平面平行的平面变成平行的平面. .3 3：把直线变成直线，把平行的直线变成：把直线变成直线，把平行的直线变成平行的直线，把相交的直线变成相交的直平行的直线，把相交的直线变成相交的直线线. .4: 4: 在仿射变换下，线段的分比不变在仿射变换下，线段的分比不变. .2312312232,.,1231设是直线 上的三点，经过仿射变换变成直线 上

9、的三点如果要证明 =P P PllP P PPPP P P PP P 2212223,yaa xa ya z1111213,xaa xa ya z3313233.zaa xa ya z仿射变换仿射变换例题1：分别对于两个平行平面的两个反射的乘积是一个平移.例题2：分别对于两个相交平面的两个反射的乘积是一个旋转.作业作业 7，10，11复习：坐标变换复习：坐标变换123 ,O e e e旧坐标系123,O e e e新坐标系123(,)Oa a a111213121222323132333(,),(,),(,).eaaaeaaaeaee1 12 23 3.OOa ea ea e OO1e2e3e1e2e3e2212223,yaa xa ya z1111213,xaa xa ya z3313233.zaa xa ya z坐标变换公式为：坐标变换公式为：.,.( )( ( )( ( )( ),.-1-1假设 是一个正交变换，但不是刚体运动.那么 把三角形变成跟它全等的三角形设 是把三角形变成三角形的刚体运动.令 =那么 是保持不变的正交变换并且对任意的，有这表明= 所以接下来我们只需要证明是一个反射.