粘性流体力学

1、 粘性流体力学阎超北京航空航天大学 (3.14) 第四章 边界层理论 2、边界层方程n设直匀流V平行流过一长度为l的平板，坐标系如图： n当某个y处的速度为层外自由流速(V)的99%时，该点到物体表面的距离称为边界层在该点的厚度，记为。显然 是x的函数，(x)。n设边界层很薄： (x) ln此时的二维不可压N-S方程为n V01122222222yvxuyvxvypyvvxvutvyuxuxpyuvxuutun取V和l 为特征速度和特征长度，所以x l （这里 表示两端有相同的量级），y ，x方向的速度uV，n容易推知：n连续方程中各项量级应相等：n所以：lVxu222lVxuVyu222Vy

2、ulVxuyvylVdylVv， ， 322lVxvlVyv222lVxvn根据NS方程，可以假设非定常项与惯性项同量级，可推知局部速度发生变化的时间量级为l/V,于是：n根据NS方程，压力项总是与惯性项同量级；根据边界层定义，层内粘性力与惯性力具有同一量级 ，即分别有：n便可以得到：n所以为使 l，必须使Re1，这时边界层方程才成立。22VvlVlVxp2122lVtvlVxuutu22/1eRVlln根据上述量纲估计，引入如下无量纲量：n这些无量纲量及其导数都是同一量级，将他们带入二维不可压NS方程，整理后，可得：20,/,/,/,/VpppVvRvVuulVttlyRylxxeen由上述

3、知，边界层方程成立的条件是必须使Re1，所以忽略去上方程中1/Re以上的小量，并将有量纲带回，则有边界层方程n这表明边界层内压力的法向梯度近似为零，只是x的函数:p=pe(x) ,下标e表示边界层外边缘的量。221yuxpyuvxuutu0yp0yvxunpe(x)可由边界层外无粘区的压力分布来决定。无粘区的速度只有x方向的分量Ue，则无粘区NS方程简化为：n将该式带入上述边界层方程，这样NS方程在边界层内简化为n边界条件：x0,y=0: u=v=0(固壁无滑移条件) x0,y: u(x,y,t)Ue(x,t) （外流无粘条件） x0）作用下，层内流体质点受到“逆压”和“粘性”两方面的阻滞，使

4、动能迅速损失，就会在某处耗尽所有动能而滞止下来又由于愈靠近物面，流速愈小，所以这种情形总是在物面附近首先发生一旦这种情形发生，根据连续性要求，下游流体便在“逆压”梯度作用下发生倒流两股流体相汇的结果是回流流体把从上游来的流体“挤”出物面，使边界层内流体进入流体深处这种现象称为边界层分离分离示意图n边界层定常分离点一定发生在逆压梯度区，因为在物面上速度为零，定常边界层方程简化为：n所以，存在粘性和逆压力梯度是流体发生分离的必要条件。 n可将分离点定义为紧邻壁面的顺流和倒流流体的分界点，即 n这就是普朗特的二维定常边界层分离判据。n目前，三维定常分离判据和非定常判据还在探索中。n边界层分离后会将势

5、流区向外推移很大的距离，边界层假设不再成立，边界层方程不再适用。分离实例第四章 边界层理论4、边界层方程的近似解n一般情况下，边界层方程无解析解。目前，常用3种方法得到边界层方程的近似解：相似性解、动量积分方程方法、CFD（计算流体力学）。n几个基本定义： 边界层的位移厚度 ：相比较无粘流，由于边界层的存在使自由流流线向外推移的距离（形象的说：对于无粘流动，由于边界层的存在，好像使物体增加了该厚度，而流量保持不变）： 同样，粘性引起动量的损失，也可以定义一动量损失厚度或简称动量厚度，它表示由于边界层的存在损失了该厚度的自由流流体的动量流率：01dyUue01dyUuUueen由于边界层方程与N

6、S方程相比作了一定的简化，既没有能使原方程线化也没有能使它降阶，所以在1904年发表后的几年内并没有有效的应用。直到1908年平板边界层精确解的发现，得到了阻力与来流速度的3/2幂成正比的规律。这是在流体力学发展史上，首次能够用理论方法准确地计算大雷诺数绕流问题的摩擦阻力，因此平板边界层解在边界层理论中具有特殊重要的意义。n边界层相似解法的理论依据： 由无量刚边界层方程可知，方程中不含Re数，也就是说其解不依赖Re数，所以对于两个不同Re数，但具有相同无量刚边界条件的流动，在边界层内流场图像应满足一个相似变换关系。这个原则称为Re数相似原理。第四章 边界层理论4、边界层方程的近似解n边界层相似

7、解法的典范：Blasius解： 研究均匀定常来流沿无穷长平板的流动：由于边界层很薄，外部势流区中速度处处近似等于来流速度U=Ue，势流区的压力在x方向上的梯度为零，边界层方程为： 边界条件22yVyVVxVVxxyxx0yVxVyxyUVyVVxyx，00n以边界层厚度为特征量，引入无量纲坐标n假定无量纲流向速度由无量纲变量唯一确定，即 n相应的流函数是 n由此可以得到相应的法向速度 Uxy/ fUVx xU f ffRUxVexy2n其中 。将以上速度表达式带入边界层方程后，整理得到 n这是一个关于f的三阶非线性常微分方程，这就是著名的 Blasius方程，其边界条件为： n很多人提出过不同

8、的Blasius方程解法，至今仍有人研究。现在一般使用泰勒级数展开解法/UxRex 20fff fff0001 ,n右图为Blasius方程的解。n知道了边界层内的速度分布，就可以计算出所需要的其它量，如磨擦阻力、边界层厚度、涡量等边界层重要特性。n目前只有少量流动可以用的边界层相似解法，大量的流动是非相似的。第四章 边界层理论4、边界层方程的近似解n动量积分方程方法n其基本思想是利用边界条件先给出边界层内用未知单参数表示的近似速度剖面，再利用建立起来的积分关系确定该参数沿流向的变化，从而求出整个问题的解。该方法的基础是卡门动量积分关系式n动量积分法是将引人了薄剪切层近似的动量方程、能量方程以

9、及连续方程分别沿剪切层厚度方向积分，把这些二维偏微分方程变为关于某些典型参数的常微分方程，再利用一些通过实验建立的经验关系式，最后解出这些典型参数沿流向的变化。这一方法最早是由冯卡门于1921年引人的，他得出了著名的动量积分方程。1958年，赫德（Head）对连续方程积分引入了裹入方程（entrainment），这些方程不仅可用于近似计算，也可用于定性分析。n目前，能量积分方程用得很少，不拟进一步讨论。 第四章 边界层理论专题讨论n边界层及其控制是目前国内外流体力学、空气动力学的研究热点和前沿问题。n希望同学们广泛阅读国内外有关的论文、书籍、报告等，写出论文，重点是自己的见解和感受。n推荐的方向： （1）边界层减阻：减阻方式及其效果，如仿生减阻 （2）边界层分离及其控制：包括边界层吹吸、振荡或俯仰、加装旋转体、 声激励、旋涡发生器、多段翼等等 （3）激波、边界层干扰 （4）边界层计算n建议暂时不要涉及的边界层方面的问题： 层流边界层控制、边界层转捩n高难度题目：从“哥伦比亚”号航天飞机失事谈边界层气动加热第四章 边界层理论专题讨论n建议研究方式： 参阅新出版的流体力学、空气动力学、飞行器设计等方面的书籍、刊物，刊物方