第2讲(导热方程、导热问题求解方法及直接积分解法)

1、第二讲 Lecture Two 导热方程及其求解方法Heat Conduction Equations and Their Solution MethodsCONTENTo 导热方程表现形式及其推导o 导热的单值性条件o 导热方程的求解方法o 齐次问题o 精确分析解法之一 分离变量法什么是导热方程？Energy Balance for Heat Conduction and Its Mathematical Form高等传热学导热方程式数学形式针对热传导过程针对特定考虑区域简化的热力学thermodynamics 第一定律温度场在时空领域内的内在联系导热方程有哪些型式？How many for

2、ms?高等传热学导热方程式导热积分方程 integral equation导热微分方程 differential equation导热变分方程variation equation高等传热学导热积分方程及其推导Heat conduction integral equation and its deductionVAdVdAq no 假设模型：Assumption Heat Source-qv, Control Volume-V, Boundary Area-A, Differential Control Volume-dV Differential Boundary Area-dAdAnqAVV

3、dVqVdVe)(VVAVdVqdAnqdVe) (导入的净热流量 + 内热源发热量 = 内能增加量按热平衡有：（针对控制容积control volume）导入的净热流量 net heat flow rate conducted 内热源发热量 heat generation of the inner source内能增加量 intrinsic energy increasing take expressions into above equation, we have：The above equation is called as integral form积分形式 of heat condu

4、ction （注意：各向同性，异性均适用）高等传热学tqVvVAdVqdAntdV)tc( 导热积分方程heat conduction integral equation 代入上式，则有： 导热积分方程（integral equation），针对物体内任意区域。将e = c t和VVAVdVqdAnqdV)e( 高等传热学导热微分方程及其推导o 曾经的推导方式是怎样？o 在具体坐标系下，对微元体(Different Element) 应用能量平衡原理o 基于导热积分方程，利用散度定理(Divergence Theorem) 推导VVAdVqdVqdivdAnqVVVVdVqdVqdVe)(0)

5、(VVdVqqe0)(Vqqe按散度定理，将对面积的积分(Surface Integral)改为对体积的积分 (Volume Integral)则积分形式成为： 或： 上式为导热能量方程的微分形式 Differential Form 去掉积分符号高等传热学0)()(VqtctVqtct)()(导热微分方程 Heat Conduction Differential Equation 注意：只适用于各向同性材料0)(Vqqe各种常物性(Constant Property)材料的导热微分方程o 稳态导热+无内热源：（椭圆型偏微分方程）（拉普拉斯方程）泊松方程） 0( 022tqtVtta21o无内热

6、源项： （抛物线型偏微分方程）o 考虑热传播速度的有限性 对于无源项情况， （双曲线型 hyperbola 偏微分方程） 是对抛物线型parabolic偏微分方程的一种修正 ttatc222211高等传热学正交坐标系正交坐标系(Orthogonal Curvilinear Coordinates)中的导热微分方程中的导热微分方程o 梯度 (gradient) 表达式在附录 3 中式（A3.4）321332211111eqHeqHeqH311iiiiextHt温度梯度：Hi称为拉梅(Lame)系数（或度规系数） （a)311iiii)qHH(xHq根据附录3式（A3.5），热流密度(heat f

7、lux)的散度： 其中，H H1H2H3 由（a) 、（b)两式及傅立叶导热定律，可得:312)(1)(iiiixtHHxHt （b)将此表达式代入导热微分方程，则：ViiiiqxtHHxHct312)(1)(Return to Content导热的单值性条件Unique Solution of Heat Conductiono 几何条件 Geometry conditiono 物理条件 Physical conditiono 时间条件 Initial conditiono 边界条件 Boundary conditionu 第一类 the first kindu 第二类 the second

8、kindu 第三类 the third kind高等传热学The Conditions on the Boundary Surface Sio 第一类 the first kind高等传热学Temperature is prescribed along the boundary surface; for the general case it is a function of both time and position and represented in the formo 第二类 the second kindThe normal derivative of temperature is

9、 prescribed at the boundary surface. It is given in the form),( trfntiio 第三类 the third kindA linear combination of the temperature and its normal derivative is prescribed at the boundary surfaces.),( trfthntiiii),(trftiReturn to Content导热方程的求解方法The Solution Methods高等传热学目前较少使用图解法实验模拟法数值解法近似分析解法分析解法No

10、w UseSeldomSoluiton GraphicSimulation Lab.Solution NumericalSolution eApproximatAnalysisExact 高等传热学精确分析解法种类Classification of the Exact Solutionso 直接积分法 Direct Integrationo 分离变量法 Variable Separation o 拉普拉斯变换法 Laplace Transformo 热源法 Heat Source Method高等传热学直接积分解法本科阶段常用的一种方法适用求解问题一维稳态导热集总参数法求解的非稳态导热高等传热

11、学特点：一般正交曲线坐标系第一类边界条第一类边界条件下一维稳态件下一维稳态导热导热无内热源无内热源ViiiiqxtHHxHct312)(1)(0)(11321dxdtHHHdxd213211CdxHHHCt通解：高等传热学边界条件：第一类边界条第一类边界条件下一维稳态件下一维稳态导热导热无内热源无内热源213211CdxHHHCt特解： 1321132121221111dxHHHdxHHHttttllxlwwwx1 常数是等温面；热流密度不仅沿导热方向x1变化，而且在等温面上也会变化。高等传热学第一类边界条第一类边界条件下一维稳态件下一维稳态导热导热无内热源无内热源 1321132121221

12、111dxHHHdxHHHttttllxlwww请由以上结果演绎出直角坐标系、圆柱坐标系和球坐标系下的表达式高等传热学第一类边界条第一类边界条件件下三种典型形状下三种典型形状无内热源无内热源时的温时的温度分布对比度分布对比 结果给你何种启示？表达成无量纲形式有什么好处？Lxttttwww1212)ln()ln(1121212rrrrttttwww21121211111rrrrttttwww大平板长圆筒壁球形壁高等传热学进一步思考进一步思考 这样的分析方法给你何种启示？上述问题在第二类边界条件时又有什么表现？上述问题在第三类边界条件时又有什么表现？上述问题在各种边界条件混合时又有什么表现？ 集总

13、热容系统非稳态导热问题The transient heat conduct problem in the lumped heat capacity systemp集总热容系统又称为集中热容系统p集总热容系统为虚拟系统、人为系统 忽略物体内各点温度的微小变化，认为物体各点温度相等，质量和热容汇总到了一点，这样的系统称为集总热容系统（Lumped Heat Capacity System）何为集总热容系统？集总参数法使用的条件 the applied condition of the Lumped Parameters methodo 集总参数法使用的条件是：Bi0o 此时反映了物体的内部热阻外部

14、热阻（表面换热热阻）o 此时物体内部的各点温度趋于一致o 集总参数法适用条件细化n 物体导热系数thermal conductivity相当大；n 物体几何尺寸非常小；n 表面换热系数surface heat convection coefficient很小集总参数法示例模型Lumped Parameters Method demonstration设物体具有发热率heat generation rate为qV（常数）的内热源 inner heat source，处于温度为tf的环境下，其边界上的平均换热系数为h（可为常数，也可随时间改变） Vq)tt (hAddtcVVf其中：、c、A、V分

15、别为物体的密度 density、比热 capacity、表面积 surface area 和体积 volume。与过去不同Whats this mean?模型的各种可能情况the possible cases of this modenCase 1: 有内热源、环境温度为常数tf = const.nCase 2: 无内热源、环境温度随时间线性变化tf = f()nCase 3: 无内热源、环境温度随时间呈周期变化tf = f()情况1：有内热源、环境温度为常数Case1: inner heat source exists, ambient temperature is constantcVhA

16、cqcVhAddvifitttt0|0设ti为物体的初始温度，过余温度 excess temperature = t - ti，则守恒方程成为：Where:I.C.：与过去不同A1R ,hcVChCRcqCRddhvh11vhqhAVCRC)1exp(1)1exp(1)(CRqhAVhvvvqhlhAVqP)1exp(1CRPh再令 let：（称为总热容量，总表面换热热阻）则：上式通解 general solution 为：结合初始条件combine I.C.可得：再引入参数introducing parameter again：结果可写成无量纲形式 non-dimensional form：

17、简化表达简化表达)1exp(1 , 0CRPh故：vvhFoBilalC2R1)exp(1vvFoBiP)exp(1vvFoBi 针对无内热源情况，若选V/A = l作为特性尺度length scale，则有：故：无内热源时：上两式说明：有热源时，物体最终达到的温度 utmost temperature 比无内热源时达到的温度高出P摄氏度 degree Celsius 。这反映了P的物理意义。 情况2：无内热源、环境温度随时间线性(linear)变化kttifkddchAcVcRhc0|0导热微分方程成为：其中，称为热惯性时间常数（Thermal inertia time constant）。

18、 结合初始条件：Transient term comes from effects of the system initial condition and the thermal inertia;第一项来自系统初始条件和热惯性的影响； Quiz steady state term is the temperature changing rule because of the disturbance. 第二项来自扰动作用下温度的变化规律。)(k)exp(bccc瞬间（transient）分量准稳态（Quiz steady state）分量解的结果及意义result and the physica

19、l meaning高等传热学tittf = ti+ kk准稳态kc)(kckf物体及环境温度随时间变化的图示时，当)(cb热惯性时间常数（Thermal inertia time constant）的物理意义？进入准稳态后，物体以相同速率跟随环境温度变化，数量上比环境温度小一恒定值bc。 0)exp(ccb可以看到，c之值越大，进入准稳态所需的时间将越长情况3：无内热源、环境温度随时间呈周期(periodical) 变化)cos(_ffftttdfccc)(1)exp()exp(1)cos()(_fiffttt)exp()11()cos(11)(22_22cfciffciftttttt)arctan(c结合初始条件