4二次型与合同变换第十五次

1、 由由A和和B，它们，它们的迹、行列式都相等，即的迹、行列式都相等，即 l l1 l l222, l l3 6 . 对于特征值对于特征值l l1 l l2 2, (2E- -A)X o，-1-110101得其基础解系得其基础解系x x1= ,x x2= . 对于特征值对于特征值l l3 6，(6 6E- -A)X o，得其基础解系得其基础解系x x3= ，1-23 由于由于A和和B，且且B是一个是一个所以所以111102 .013P-11124233Ax-200,020 ,00By例例4.4. 设矩阵设矩阵A, ,B相似，其中相似，其中求求x , y的值；的值；求可逆矩阵求可逆矩阵P，使，使P

2、-1AP=B.54,664xyxy-5.6xy对角阵，可得对角阵，可得A的特征值为的特征值为 解：解：由所给条件知矩阵由所给条件知矩阵A的的特征值为特征值为l l1 1, l l2 0, l l3 - -1, a a1, a a2, a a3是是A对应于上述特征对应于上述特征值的特征向量值的特征向量. . 容易验证容易验证a a1, a a2, a a3是是3阶方阵阶方阵A的的3个线性无关的特征向量，个线性无关的特征向量，所以所以A相似于对角阵相似于对角阵 L Ldiag(1, 0, - -1). 取取P(a a1, a a2, a a3)，则有则有P- -1 A P L L ，所以所以 A

3、= P L L P -1 1112012001100000001112012001-116002001A A 5= PL L 5P - -1 PL L P- -1=A . . 例例5.5. 设设3阶方阵阶方阵A满足满足Aa a1 1 a a1 1，Aa a2 2 o o，Aa a3 3 -a a3 3，其中，其中a a1 1(1,2,2) )T, , a a2 2(0,-1,1) )T, , a a3 3(0,0,1) )T, , 求求A和和A5. . 定理定理2 2 n阶矩阵阶矩阵A与与n阶对角矩阵阶对角矩阵 LLdiag(l l1 1 , l l2 2 , , l ln)相似的充分必要条件

4、为矩阵相似的充分必要条件为矩阵A有有n个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量. . 推论推论 若若n阶矩阵阶矩阵A有有n个相异的特征值个相异的特征值l l1，l l2， ，l ln，则则A与对角矩阵与对角矩阵 LLdiag(l l1 1 , l l2 2 , , l ln) 相似相似. . 注：注：n阶矩阵阶矩阵A与对角矩阵与对角矩阵 LLdiag(l l1 1 , l l2 2 , , l ln) 相似的充相似的充分必要条件是分必要条件是A特征方程的每个特征方程的每个k重根重根l l对应对应k个线性无关的特征个线性无关的特征向量向量，即齐次线性方程组，即齐次线性方程组(l lE-A)X=o

5、的基础解系是否有的基础解系是否有k个解，个解，亦即系数矩阵亦即系数矩阵l lE-A的秩的秩r(l lE-A)=n-k. 思考题：思考题：设设0 0 11 11 0 0Ax ， ， 问问x取何值时，矩阵取何值时，矩阵A可对角化。可对角化。解：解：201|11(1) (1)0,10EAxl llllllllll l- - - - - 得得1231,1.l ll ll l - - 由由A的特征方程的特征方程 矩阵矩阵A可对角化的充分必要条件是二重根可对角化的充分必要条件是二重根1，有，有2个线个线性无关的特征向量，即齐次线性方程组性无关的特征向量，即齐次线性方程组(E-A)X=0有有2个个线性无关的

6、解，亦即系数矩阵的秩线性无关的解，亦即系数矩阵的秩r(E-A)=1. 因为因为1 0 00 0 11010 1 01 1100 11 0 0101EAxx- - - - - 0 0 101001000 x- - - - - 于是，于是，x= -1.整理ppt6一、二次型一、二次型 二、二、二次型的秩二次型的秩 定义定义1 1 含有含有n个变量的二次齐次多项式个变量的二次齐次多项式叫做叫做n元二次型元二次型，当二次型的系数，当二次型的系数aij ( i, j=1,2, ,n)都是实数时都是实数时,称为实二次型称为实二次型. .1. 1. 二次型的定义二次型的定义21211 1121213 131

7、122222323222( ,)22222nnnnnnnnf x xxa xa x xa x xa x xa xa x xa x xa x 特别地特别地, , 只含有平方项的只含有平方项的n元二次型称为元二次型称为n元二次型的标准形元二次型的标准形. .222121 122(,).nnnf x xxd xd xd x二次型的矩阵形式二次型的矩阵形式21211222( ,)4f x xxx xx ()1121221 2(,)2 1xf x xx xx 2121122122( ,)22f x xxx xx xx 12( ,)Tf x xX AX21211 112 1 213 1 311222 22

8、3 2 3222( ,)22222nnnnnnn nf x xxa xa xxa xxa xxa xa x xa x xa x ()111211212222121212( ,)()nnnnijjinnnnnaaaxaaaxf x xxx xxaaxaaa 注：12( ,)Tnf x xxX AX，其中，其中nnnnnnaaaaaaaaaA21222211121112,.nxxXx实对称矩阵称实对称矩阵称A为二次型为二次型系数矩阵系数矩阵, A的秩称为的秩称为二次型的秩二次型的秩. .若二次型若二次型 f 是是标准形标准形,即其系数矩阵是对角阵即其系数矩阵是对角阵. .,其中其中12(,)ndi

9、ag d ddL 222121 122( ,),nnnf x xxd xd xd x则则 f 的矩阵形式为的矩阵形式为XXxxxfTnL),(21例例1.1. 写出下列二次型的矩阵形式并求该二次型的秩写出下列二次型的矩阵形式并求该二次型的秩.323121232221321484363),(xxxxxxxxxxxxf-(1)23223214),(yyyyyf(2)324262 ,423A- -因因r(A)=3, 故二次型的秩等于故二次型的秩等于3.解解: : (1)二次型二次型系数矩阵及矩阵形式分别为系数矩阵及矩阵形式分别为123( ,)f x x x112312323324( ,)( ,)26

10、24,23xf x x xx x xxx-例例1.1. 写出下列二次型的矩阵形式并求该二次型的秩写出下列二次型的矩阵形式并求该二次型的秩.323121232221321484363),(xxxxxxxxxxxxf-(1)23223214),(yyyyyf(2)123(,)f y yy(2)二次型二次型系数矩阵及矩阵形式分别为系数矩阵及矩阵形式分别为000010 ,004B因因r(B)=2, 故二次型的秩等于故二次型的秩等于2.112312323000(,)(,) 010004,yf y yyy yyyy解解: : 例例2 2 已知二次型已知二次型f (x1,x2,x3)=5x12+5x22+c

11、x32-2x1x2+6x1x3-6x2x3的秩的秩为为2，求，求c 解一：解一：二次型的系数矩阵为二次型的系数矩阵为51315333Ac- - - - - |A|=0, 可推知可推知c=3. 解二：解二：r (A) = 251315315302412330129cc- - - - - - - - - - - 于是于是c-9=-6, 可推知可推知c=3.2. 2. 实对称矩阵的性质实对称矩阵的性质定理定理2 2 实对称矩阵的不同特征值对应的特征向量是正交的实对称矩阵的不同特征值对应的特征向量是正交的.定理定理1 1 实对称矩阵的特征值是实数；实对称矩阵实对称矩阵的特征值是实数；实对称矩阵A的的

12、k重特征值重特征值l li 对应对应 k个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量.实对称矩阵实对称矩阵一定可以找到一定可以找到n个线性无关的特征向量，个线性无关的特征向量，即一定可以对角化即一定可以对角化整理ppt154.4.2 合同变换与二次型的标准形1. 合同2. 用合同变换化二次型为标准形 定义定义4 4 设设A，B为为n阶矩阵，如果存在可逆矩阵阶矩阵，如果存在可逆矩阵P，使得，使得 PT TAP B成立，则称矩阵成立，则称矩阵A与与B合同合同，记为，记为A B合同关系具有如下性质：合同关系具有如下性质： 自反性自反性 对称性对称性 传递性传递性 合同变换不改变矩阵的秩合同变换不改变矩阵

13、的秩 对称矩阵经合同变换仍化为对称矩阵对称矩阵经合同变换仍化为对称矩阵 定理定理4 4 任何一个实对称矩阵任何一个实对称矩阵A都合同于对角矩阵都合同于对角矩阵. 即对于一个即对于一个n阶实对称矩阵阶实对称矩阵A，总存在可逆矩阵，总存在可逆矩阵P，使得，使得PTAP L L .1 100 -1-11 1-1-1222123121 32325226fxxxx xx xx x 例例1 1. .用合同变换化二次型为标准形用合同变换化二次型为标准形上述上述2步操作相当于步操作相当于F1TAF1111123135100010001AE21101012125110010001cc- -21101012135

14、100010001rr- 101012125110010001-31100012024111010001cc- -31101012024110010001rr- -322100010000111012001cc- -322100012000111010001rr- -F1TAF1F2F2T这这2步操作相当于步操作相当于F3F3TPPT即即 PTAP=L LP=F1F2F3于是二次型的标准形为 f= y12+y22.由变量由变量y1, y2, yn到到x1, x2, xn的线性变换的线性变换记作记作 X=PY.问题问题：如何找一个可逆线性变换如何找一个可逆线性变换X=PY，使得将其代入二次型使得

15、将其代入二次型后，得到新的二次型只含变量的平方项的形式后，得到新的二次型只含变量的平方项的形式(标准标准形形) . .用合同变换化二次型为标准形用合同变换化二次型为标准形 1111211221222212nnnnnnnnxpppyxpppyxpppy现将现将X=PY代入二次型，得代入二次型，得12( ,)()()() ,X PYTTTTnf x xxX AXPYA PYYP AP Y 上式右端是关于变量上式右端是关于变量y1, y2, yn的二次型的二次型. . 2221122nnd yd yd y()11221200000 0nnndydyy yydy ,TYYL设其化成了标准形：设其化成了

16、标准形：222123121 32325226fxxxx xx xx x()111 100|123 010135 001A E 例例1 1. .用合同变换化二次型为标准形用合同变换化二次型为标准形21111 100012 -110135 001rr- 上述上述2步操作相当于步操作相当于F1TAF121101 100012110125 001cc- -31101 100012 -110024 -101rr- 101 100012110125 001-31100 100012110024101cc- -F1TAF1这这2步操作相当于步操作相当于F2F2T322100 100012 -110000 0

17、-21rr- 322100 100010 -110000 0-21cc- F1TAF1F2F2T100 100012 110024 101-这这2步操作相当于步操作相当于F3F3TPPT即即 PTAP=L LP=F1F2F3于是二次型的标准形为 f= y12+y22.整理ppt34 证明证明: : (反证反证) 设设a a1，a a2， ，a am线性相关，则其中至少有一向量可由其余向线性相关，则其中至少有一向量可由其余向量线性表示，不妨设量线性表示，不妨设a a1可由可由a a2， ，a am线性表示，即有一组数线性表示，即有一组数k2， ，km，使使 a a1k2a a2+ +kma am

18、 ，于是于是 (a a1 , a a1)= (a a1 , k2a a2+ +kma am) = (a a1 , k2a a2)+ + (a a1 , kma am) =k2 (a a1 , a a2)+ + km (a a1 , a am)=0这与这与(a a1 , a a1)0矛盾，所以矛盾，所以a a1，a a2， ，a am线性无关线性无关. . 定理定理1 1 正交向量组是线性无关的向量组正交向量组是线性无关的向量组.2.8 2.8 向量组的正交化标准化向量组的正交化标准化 定理定理2 2 对于线性无关的向量组对于线性无关的向量组a a1,a a2, ,a am，令，令则向量组则向量

19、组b b1,b b2, ,b bm是是正交向量组正交向量组. .施密特正交化方法施密特正交化方法11ba2122111(,)(,)abbabb b-313233121122(,)(,)(,)(,)ababbabbb bbb-121121112211(,)(,)(,)(,)(,)(,)mmmmmmmmmabababbabbbb bbbbb- 另外：另外：很明显，向量组很明显，向量组a a1,a a2, ,a am可由向量组可由向量组b b1,b b2, ,b bm线线性表示性表示. .11ba2122111(,)(,)abbabb b-313233121122(,)(,)(,)(,)ababba

20、bbb bbb- 向量组向量组b b1,b b2, ,b bm也可由向量组也可由向量组a a1,a a2, ,a am线性表示，因为：线性表示，因为：112211(,)(,)abab ba-2313231111122121(,)(,)(,)(,(,)(,)a ba bab bbbabaaab b-1211222112111(,)(,)(,)(,)(,),)mmmmabaaabababbab bbbb- 例例1 1已知向量组已知向量组a a1=(1,1,1,1)T, a a2=(3,3,-1,-1)T, a a3=(-2, 0, 6, 8)T,线性无关，试将它们正交化、标准化线性无关，试将它们正

21、交化、标准化. .解解: :(1)(1)先先利用施密特正交化方法将向量组正交化，即令利用施密特正交化方法将向量组正交化，即令b1=a1=(1, 1, 1, 1)T=(3, 3, -1, -1)T=(2, 2, -2, -2)T =(-1, 1, -1, 1)T (-2, 0, 6, 8)T412-(1, 1, 1, 1)T1632-(2, 2,-2,-2)T 2122111abbabbb-（， ）（ ， ）313233111222ababbabbbbbb-（， ）（，）（ ， ）（，）(1, 1, 1, 1)T44-此时此时 b b1, b b2, b b3 为正交组为正交组. .1111|2

22、Tbb （1,1,1,1）2221|2Tbb （1,1,-1,-1）333|12Tbb （-1,1,-1,1）(2)(2)再将再将正交化后的向量组标准化，即令正交化后的向量组标准化，即令此时此时 1, 2, 3 即为所求标准正交组即为所求标准正交组. .说明：说明：求标准正交组的过程为求标准正交组的过程为先正交化，再标准化先正交化，再标准化. .整理ppt394.4.3 正交变换与二次型的标准形1. 正交变换2. 正交变换化二次型为标准形例如，单位矩阵例如，单位矩阵E为正交矩阵为正交矩阵. -cossinsincoscossinsincosQQT10.01E 定义定义6 6 如果如果n阶实矩阵

23、阶实矩阵A满足满足 ATA=E 或或 AATE，则称，则称A为为正交矩阵正交矩阵.1.1. 正交矩阵正交矩阵cossinsincosQ-再如，矩阵再如，矩阵也为正交矩阵也为正交矩阵. 正交矩阵的概念正交矩阵的概念 1A为正交矩阵的充要条件是为正交矩阵的充要条件是A-1=AT； 2. 正交矩阵的逆矩阵是正交矩阵；正交矩阵的逆矩阵是正交矩阵； 3. 两个正交矩阵的乘积是正交矩阵；两个正交矩阵的乘积是正交矩阵； 4. 正交矩阵是满秩的且正交矩阵是满秩的且|A|=1或或-1； 5. A为正交矩阵的充分必要条件是其列为正交矩阵的充分必要条件是其列(行行)向量组是标准向量组是标准正交向量组正交向量组. （

24、证明见下页）（证明见下页）正交矩阵的性质正交矩阵的性质 性质性质5 5 设设A为为n阶实矩阵，则阶实矩阵，则A为正交矩阵的充分必要条件是其为正交矩阵的充分必要条件是其列列(行行)向量组是标准正交向量组向量组是标准正交向量组. 证明：证明：设设A (a a1，a a2， ，a an)，其中其中a a1，a a2， ，a an为为A的列向的列向量组，则量组，则AT的行向量组为的行向量组为a a1T，a a2T， ，a anT，于是于是T1TT212T( ,)nn A A111TTT11121TTT21222TTT12nnnnnn 显然，若显然，若A为正交矩阵，则为正交矩阵，则a a1，a a2， ，a an为标准正交向量组；为标准正交向量组；若若a a1，a a2， ，a an为标准正交向量组，则为标准正交向量组，则A为正交矩阵为正交矩阵.A的行向量