半导体中载流子的统计分布

1、3.4 杂质半导体的载流子浓度杂质半导体的载流子浓度3.5 一般情况下的载流子统计分布一般情况下的载流子统计分布3.6 简并半导体简并半导体n载流子：运载电荷的粒子。n载流子的产生：n1)本征热激发： 概念的理解：电子与相互作用，部分电子获得能量，到达高能态。 过程的理解：电子从价带到导带，电子-空穴对，电场作用下导电。n杂质电离： 施主给导带提供电子-导带电子导电，n型导电 受主接受价电子-价带空穴，p型导电。n与载流子产生相反的过程：载流子的复合 1. 电子空穴对的复合 2. 杂质能级的复合n载流子的产生与复合形成了动态平衡：由此建立了“热平衡状态”。在热平衡状态下，导电的电子和空穴称为“

2、热平衡载流子”或“载流子”载流子的浓度是热激活的，即因温度的升高而增加。本章需要的两个基础知识：1.量子态按能量的分布2.电子在允许的量子态中的分布。n在半导体的允带中，有N个准连续的能级。其密度很大，间隙很小。为表示其密度的大小，需要用物理量表示。状态密度n定义：量子态、状态密度n1. 量子态：最多只能容纳一个电子的状态。n2. 状态密度：能带中，能量在E+dE之间有dZ个 量子态，则状态密度为：dEdZEg/)(n物理意义：量子态按能量分布的状态。1.固体的宏观尺寸相对于微观粒子来说是极大的，其形状将不会影响固体的微观性质。因此，人为地选取一个有对称性的形状以便分析。n传统地，人们选取的形

3、状为立方体，边长为L，体积为V，粒子数为N。电子在长度为L的势阱中运动，形成驻波。驻波波长与L相关，取值为 = L/n，波矢k与波长成倒数关系。而能带中的允许能量状态(能级状态)用波矢k表示，因此有), 2, 1, 0(/xxxnLnkn在k空间，一个一维代表点占的长度为1/L。一个三维代表点占的体积为1/L3,，即1/V。反之，单位k体积的代表点数目为V，即能量状态数目为V，因此，量子态密度为2V。(每个能量状态2个电子)n在波矢k的空间，一个确定的波矢由一个整数点(nx, ny ,nz)决定，该点代表一个允许的能量状态。因此，代表点数与能量状态的数目对应。n在导带底部k=0处，能量(k)可

4、近似表示为：*222)(ncmkhEkEn以k为半径作球，其球面为能量(k)的等能面，考虑以k+dk为半径，形成的另一个等能面之间的球壳+dE,其体积为4k2dk，量子态密度是2V，量子态数是dkkVdZ242n两式解得：dEEEhmVdZcn2/132/3*)()2(4n导带底能量状态密度为2/132/3*)()2(4)(cncEEhmVEgn同理，价带顶部：n实际的半导体材料硅和锗，等能面是旋转椭球。有效质量分别是mt, mt, ml，且对称的量子态有s个(硅中s=6， 锗中s=4)。用导带底电子状态密度有效质量mdn表示。*222)(pvmkhEkEn价带项能量状态密度为2/132/3*

5、)()2(4)(EEhmVEgvpvn上式的关系为抛物线：电子能量越高，状态密度越大。n1. 费米分布函数n热平衡状态下电子按能量大小服从费米统计分布。一个量子态被 一个电子占据的几率是：)exp(11)(0TkEEEfFnEF是费米能级，与温度导电类型、杂质含量等有关。n费米能级的确定：对于碱金属，电子总数为N，被电子占据的量子态用Ei表示，由电子数守恒：NEfii)(统计理论认为，费米能级是系统的化学势TFNFE费米能级的含义：n在绝对零度，所有电子将占満费米能级以下的低能级，高能级为空。外加一个电子，只能占据费米能级，即导致内能增加EF。n在一个开放式系统，保持系统稳定的条件是自由能最小

6、。自由能的变化为 dF = - SdT PdV + dN。一个N个粒子的系统，增加一个粒子后，系统热力学量发生变化的是：在温度不变，也不做功的条件下，系统中增加一个电子引起的自由能变化等于化学势，即费米能级。n粒子数N变为N+1，熵S，内能U，自由能F，假设体积不变。因此，TFNFET不为0时，有EF的上下均有空能级，供外来电子填充，而填充到EF的几率为f(EF)=1/2，为平均值。从统计平均的角度考虑， EF为外来电子填充的平均能量。当-F=5k0T时，电子填充的几率 f()=0.007当-F =-5k0T时，电子填充的几率 f()=0.993nT=300K时，k0T=0.026eV, So

7、, c-F k0Tn因exp(E-EF)/k0T1, 作近似)exp()exp(100TkEETkEEFFn费米分布近似为：TkETkETkETkEEFFBAeeee)TkEEexp()TkEEexp(/)E(fFF00000011n为能量的负指数关系。对于空穴：TkEFFBeTkEETkEEEf0)exp()exp(1/1)(100n能量在+d的量子态数为dZ，每个量子 态被电子占据的几率为f()，因此，能量在+d范围被电子占据的几率为f() dZ= f() gc() dE。即电子数为 dEEgEfdNcB)()(n单位实空间的电子数密度为： )(0TkEEexp)E(fFB2/132/3*

8、)()2(4)(cncEEhmVEgdEEETkEETkEEhmdEEETkEEhmVdNdnccFcncFn2/10032/3*2/1032/3*)(exp()exp()2(4)(exp()2(4有效状态密度有效状态密度n将能量从导带底Ec积分，得到导带电子浓度n0。32/30*00)2(2exphTkmNTkEENnncFccnNc被称之为“有效状态密度”。值得注意的是n1) 导带的电子浓度n0仅与导带底能级Ec和费米能级有关，与导带其他能级无关。故将导带看成是量子态均集中在导量子态均集中在导带底带底Ec能级，状态密度为能级，状态密度为Nc 。n2)有效状态密度不是常数，而是温度的函数。实

9、际上，温温度越高，电子的分布范围宽，电子实际占据的导带能级越度越高，电子的分布范围宽，电子实际占据的导带能级越高高，电子占据的导带量子态越多，等效的状态密度越大。TkEEexp)E(fFcc0非简并半导体空穴浓度非简并半导体空穴浓度n热平衡状态下，空穴浓度p0vvEEvdEVEgEfp)()(1 0n与电子的空穴有类似结论：32/30*00)2(2)exp(hTkmNTkEENppvFvv)exp()(0TkEEEfFvv非简并半导体空穴浓度非简并半导体空穴浓度n当E-EFk0T时，可近似地用经典的玻耳兹曼分布函数表示。此时，导带中的本征电子极少，占据实际的能级后，能量基本不相同，故为非简并；

10、而当E-EF k0T时，不能再用玻耳兹曼近似，而必须用量子的费米分布函数，此时导带中有大量的电子，为简并情况。n利用施主掺杂的方式，可以提高导带中的电子浓度，电子浓度的提高，使费米能级上升，电子分布从非简并向简并过渡。大量杂质的重施主或重受主掺杂均会使半导体成为“简并半导体”。n总之，导带电子浓度低的，总之，导带电子浓度低的，E-EFk0T，为为“非简并非简并半导体半导体”，浓度高的，浓度高的， E-EF k0T，为为“简并半导体简并半导体”。讨论公式讨论公式3-19和和3-24n温度的影响：nT 0K：Nc0, exp(-A/T)0, 则n00.nT增大，Nc增大，exp(-A/T)增大，T

11、很大时，exp()1.n对n0贡献大的项？TkEENnFcc00exp)exp(00TkEENpFvvn取ln(n0),则ln(n0)=C+3/2ln(T)- A/Tn基于上面公式，可以得出结论：EF增大，Ec-EF越小，n0越大；EF-Ev越大，p0越小。但两者乘积不变。费米能级对导带和价带载流子浓度的影响费米能级对导带和价带载流子浓度的影响)exp(00TkEENpFvvTkEENnFcc00exp4. 载流子浓度乘积载流子浓度乘积n0p0n在在非简并非简并情况下，不管费米能级如何，对于任一给定的情况下，不管费米能级如何，对于任一给定的半导体材料，在给定温度下的电子、空穴浓度的乘积总半导体

12、材料，在给定温度下的电子、空穴浓度的乘积总是恒定的。是恒定的。)exp()exp(0000TkENNTkEENNpnnpgvcvcvcn上式不仅适用于本征半导体，而且适用于含杂质半导体。)exp()()2( 4032/3*32000TkETmmhkpngpnn代入NcNv的值，得到：3.3 本征半导体的载流子浓度本征半导体的载流子浓度n本征半导体的特征：nT=0 K，导带量子态为空，价带电子占满。nT0 K，导带电子浓度 = 价带空穴浓度。00pnn本征半导体的电中性条件：本征半导体的电中性条件：)exp()exp(00TkEENTkEENFvvFccn由此求出费米能级)ln(432)ln(2

13、2*00npvccvvcFimmTkEENNTkEEEEn根据n0p0的乘积和等式n0=p0，可以算出n0。)2exp()(02/100TkENNpnngvcinni被称之为本征载流子浓度，与所含杂质无关， 适用于杂质半导体材料。上式还可以表示为：)exp()exp(00TkEENTkEENnvivicci具体的数值：具体的数值：n在300K时，ni=1.5*1010cm-3.n Eg mn* mp* Nc(cm-3) NvnGe 0.67eV 0.56m0 0.37m 1.05*1019 5.7*1018nSi 1.12eV 1.08m0 0.59m 2.8*1019 1.1*1019)2e

14、xp()(1082. 402/34/32*0*15TkETmmmngnpin本征载流子浓度在室温附近，纯硅的温度每升高8K，载流子浓度增加1倍，纯锗每升高12K，增加1倍。尤其是当温度更高时，本征激发占主要地位，载流子的急剧变化，使器件不能正常工作。硅的极限温度为 520K；锗的极限温度为370K(100C)；砷化镓达720K。本征半导体在室温不能正常工作!作业，作业，P81：1、3、5、7看图知数据看图知数据n看图方法：n查出27度时硅的载流子浓度：1.5*1010查出1000K时GaAs的载流子浓度：3.4 杂质半导体的载流子浓度杂质半导体的载流子浓度n1 杂质能级上的电子和空穴。n以施主

15、能级为例。施主杂质提供的能级密度为ND。n在某个温度下，部分施主杂质电离部分未电离。 已经电离的施主能级密度是 n+D 未电离的施主能级密度是 ND= n+D+nD 与导带能级不同的是，每个能级只能提供一个电子。电子占据施主能级的几率是(未电离)：)exp()21(11)(0TkEEEfFDDn同理，空穴占据受主能级的几率(未电离)是)exp()21(11)(0TkEEEfAFAn导带电子主要由电离施主杂质引起，已电离浓度)exp(21)(1 0TkEENEfNnFDDDDD)exp(21)(1 0TkEENEfNpAFAAAAn已电离受主浓度讨论讨论n在上面表达式中，反映的是杂质能级与费米能

16、级的相对位置，若ED - EFk0T，施主能级远在费米能级之上， 2exp-(ED-EF)/k0T-0，及nD+=ND； 反之，若ED=EF，施主能级接近费米能级。 则，nD+=(1/3)ND， 三分之一的电子电离。 若EDND:n费米能级将低于最初T = 0K的值。即EFND，第二项为负。由于强电离，温度升高使费米能级逐渐靠近本征能级。在图3-10中，禁带的大小随温度变化。温度增加，禁带减小。300K时，Eg=1.12eV。掺杂的n型：EF靠近Ei。施主杂质全部电离时，n0=ND。温度上升，载流子浓度将保持这一温度不变，显示出与温度无关。此区域为“饱和区”。室温时杂质基本电离，更关心的是未电

17、离的成分。 当 ED-EFk0T时：)exp(20TkEENnFDDD消去EF：)exp()(20TkENNNnDCDDD得到：)exp()2(0TkENNDNDnDCDDDDFCCNTkEEN)exp(0利用前面的公式：施主全部电离的标准是：施主全部电离的标准是：90%32/3*00)2(lnln)23()1(hmkNDTTkEnDD (4) 过渡区过渡区)exp()exp()exp()exp(00000TkEEnTkEETkEENTkEENniFiFFcciccin本征条件下： ni = n0 =p0, EF = Ei )exp()exp()exp()exp(000000TkEEnTkEE

18、NpTkEEnTkEENnFiiFVVFiiFcC反过来：n特点：施主全电离，电离浓度为ND。 本征激发部分起作用：n0=ND+p0n全电离的饱和区与本征激发之间的区域称之为过渡区。过渡区的费米能级过渡区的费米能级 非本征情况下，电中性方程是：00pNnD 导带中的电子由施主和价带共同提供。 将前面n0和p0的2个方程代入，得到)(20TkEEshnNiFiD利用上式可以求出费米能级：)2(10iDiFnNTshkEE过渡区的载流子浓度：过渡区的载流子浓度：n利用n0和p0的联立方程消去p0 ：20000inpnpNnD解得：2/1220)41(12DiDNnNn12/12220)41(12D

19、iDiNnNnp载流子浓度的讨论：载流子浓度的讨论：n过渡区载流子浓度根据本征激发的强度分为三种情况计算：n1)当NDni时，4ni2/ND2ni可以看出，此时的过渡区接近饱和区：例：当T = 300K时，硅的ni=1.5*1010cm-3，若ND =1016cm-3，则p0=2.25*104cm-3，n0 =1016cm-3，浓度高的电子被称之为多数载流子，空穴被称之为少数载流子。少数载流子在半导体器件工作中起重要作用。n2)当ND=ni时24)41 (42122/1222/12220DiDiDiDNnNnNnNnn3)当NDni, 且ND2/4ni2ND/2。iiDiiDnnNpnnNn2

20、2002,00VCFEEEpn作业作业P82：9,11,13,15, 18n本征激发温度的高低与掺杂施主浓度的含量有关。n当掺杂浓度较低时，本征激发的作用温度较低。n例如：NDNA： 的n型半导体。n(1)在温度很低时，施主电离很弱，受主能级被电子填满。认为p0(空穴)=0，pA(杂质)=0。n施主杂质同时提供电子给导带和受主能级。其表达式为：)exp(211)(000TkEENNNnnNnNFDDADDAD消去分母，解得)exp(210)853(2)(4)(22/120TkENNDCCNNNNNNNnVDCACACn讨论：T0 K时，EFED,即费米能级与施主能级重合；)2ln(0AADDF

21、NNNTkEE留住了NA，失去了n0)exp(2)()exp(000TkEENNNTkEENnFDDADFCC温度如何影响？1)极低温度时，NDNAn0, ED-EFk0T:)exp(21)(1 0TkEENEfNnFDDDDDnND- NA 2NA时，费米能级在施主能级之上。n从下面公式可以看出，电离施主浓度比占:1/3n所有已经电离的电子全部跃迁到受主能级。nND- NA= 2NA时，费米能级又与施主能级重合。n为何如此？n2)在低温下，施主浓度比受主浓度大得多，即NANCNA时，受主浓度NA可以忽略。n(3) 温度升高使和得即EF降低到ED之下，并满足ED-EFk0T。施主全电离 ，得到：n此时受主能级被完全填充，受主杂质不能忽略，其结果相当于补偿作用。导带电子浓度与温度无关，半导体进入饱和区。费米能级为ADNNn0)ln(0CADiFNNNTkEEn(4)温度再上升，使ND-NA与ni接近，本征激发不可忽略。电中性方程为DANpNn00n与n0p0 = ni2联立解得n到达本征区时，