小学数学教师解题能力培训

1、小学数学教师解题能力培训1.还原问题2.植树问题3.方阵问题4.相遇问题5.追及问题6.火车行程问题小学数学教师解题能力培训 一个小孩子问一位老人有多少岁了，老人说：“把我的年龄加上12，再用4除，再减去15后乘10，恰好是100岁。”这位老人有多少岁呢？ 设老人有X岁，得 （X+12）41510100 X=88（10010+15）41288（岁） 专题分析专题分析 有些问题先提出一个未知量，经过一系列的运算，最后给出另一个已知量，要求求出原来的未知数量。解题时，如顺着题目的条件叙述去寻找解法时，往往有一定的困难，但是，如果改变思考顺序，从最后一个已知量出发，一步步倒着思考，那么问题容易解决，

2、这种解题的方法叫还原法或逆推法，用还原法解题的问题叫做还原问题。 建议解题方法：建议解题方法： 1.直接列式一步步倒着推算； 2.借助列表和画图来帮助解决问题。 例题分析例例1 甲、乙、丙三个人共有图书甲、乙、丙三个人共有图书90本，乙本，乙向甲借向甲借3本后，又送给丙本后，又送给丙5本，结果三个人本，结果三个人图书数相等。问甲、乙、丙三人原来各有图书数相等。问甲、乙、丙三人原来各有多少本图书？多少本图书？ 例题分析例例2植树节学校要栽植树节学校要栽102棵树苗，小强和棵树苗，小强和小明两人争着去栽，小强先拿了若干树苗，小明两人争着去栽，小强先拿了若干树苗，小明见小强拿得太多，就抢了小明见小强

3、拿得太多，就抢了10棵，小强棵，小强不肯，又从小明那里抢回来不肯，又从小明那里抢回来6棵，这时小强棵，这时小强拿的棵数是小明的拿的棵数是小明的2倍。问：最初小强拿了倍。问：最初小强拿了多少棵树苗？多少棵树苗？ 例题分析例例3一捆电线，第一次用去全长的一半多一捆电线，第一次用去全长的一半多3米，第二次用去余下的一半少米，第二次用去余下的一半少10米，第三米，第三次用去次用去15米，最后还剩米，最后还剩7米，这捆电线原有米，这捆电线原有多少米？多少米？ 例题分析例例4有一堆棋子，把它四等分后剩下一枚，有一堆棋子，把它四等分后剩下一枚，取走三份又一枚；剩下的再四等分取走三份又一枚；剩下的再四等分,还

4、剩一还剩一枚，取走三份又一枚。这样一共操作了枚，取走三份又一枚。这样一共操作了5次。次。问：原来至少有多少枚棋子？问：原来至少有多少枚棋子？例题分析例例5有甲、乙、丙三个油桶，各盛油若干有甲、乙、丙三个油桶，各盛油若干千克。先将甲桶油倒入乙、丙两桶，使它千克。先将甲桶油倒入乙、丙两桶，使它们各增加原有油的一倍；再将乙桶油倒入们各增加原有油的一倍；再将乙桶油倒入丙、甲两桶，使它们各增加原有油的一倍；丙、甲两桶，使它们各增加原有油的一倍；最后按同样的方法将丙桶油倒入甲、乙两最后按同样的方法将丙桶油倒入甲、乙两桶。这时，各桶油都是桶。这时，各桶油都是16千克。问：各桶千克。问：各桶原有油多少千克？原

5、有油多少千克？ 例题分析例例6兄弟三人分兄弟三人分24个桔子，每人所得个数个桔子，每人所得个数分别等于他们三年前各自的岁数。如果老分别等于他们三年前各自的岁数。如果老三先把所得的桔子的一半平分给老大与老三先把所得的桔子的一半平分给老大与老二，接着老二把现有的桔子的一半平分给二，接着老二把现有的桔子的一半平分给老三与老大，最后老大把现有的桔子的一老三与老大，最后老大把现有的桔子的一半平分给老二与老三，这时每人的桔子数半平分给老二与老三，这时每人的桔子数恰好相同。问：兄弟三人的现年的年龄各恰好相同。问：兄弟三人的现年的年龄各多少岁？多少岁？ 专题分析一、在线段上的植树问题可以分为以下三种情形。1.

6、如果两端都要植树，那么植树的棵数应比要分的段数多1，即：棵数段数1。2.如果只有一端要植树，那么植树的棵数和要分的段数相等，即：棵数段数。3.如果的两端都不植树，那么植树的棵数比要分的段数少1，即：棵数段数1。二、在封闭（圆形）线路上植树，棵数与段数相等，即：棵数=段数。专题分析共同点： 任课教师通常特别重视关于“植树问题”的三种不同类型的区分，也即所谓的“两端都种”、“只种一端”与“两端都不种”。 就上述三个类型的区分而言，任课教师通常归结为“规律的发现”，并普遍地采取了“学生独立探究（或分组探究）、反馈交流、教师总结”这样的教学方法。 就相关的数学思想而言，有不少教师突出地强调了所谓的“化

7、归思想”。 专题分析分析与思考 “植树问题”事实上涉及到了两种不同的数学活动：（1）以“植树问题”为原型引出普遍性的数学模式，然后再利用这一模式去解决各种新的问题，如路灯问题、锯树问题、爬楼问题等。（2）对于所提到的每一个问题我们又都可以区分出三种不同的情况，这也就是所谓的“两端都种”、“只种一端”与“两端都不种”。 关键：究竟何者应当被看成这一教学活动的重点？什么又是这一教学活动的真正难点？ 专题分析分析与结论1.将“三种情况”的区分以及相应的计算法则看成是一种“规律”、并要求学生牢固掌握从而就能直接加以运用恐怕不很恰当；不如说，在此真正重要的应是“一一对应”这样一个数学思想就“植树问题”进

8、行分析，这也就是指，在此真正重要的是在“间隔”与“树”之间所存在的一一对应关系。专题分析分析与结论2.所谓的“加一”、“减一”等法则又只是针对具体情况作出的适当变化从而，在此真正需要的就不是“规律的应用”；而是思维的灵活性，也即如何能够依据基本模式并通过适当变化以适应变化了的情况。 专题分析教学建议： 对于“植树问题”的教学应当区分出这样两个不同的教学要求或教学环节：（1）突出“分隔问题”，即是如何能以“植树问题”为背景帮助学生建构相应的数学模式；（2）明确引出“间隔数”与“所种树的棵数”这两者的关系，突出“一一对应”的思想，并以此为基础求解各种变化了的情况。 对于“两端都种”等三种情况的区分

9、不应过于强调，更不应将相应的计算法则看成重要的规律乃至要求学生牢牢记住从而就能不假思索地加以应用。例题分析例例1在一段路的一边每隔在一段路的一边每隔5米种一棵树，米种一棵树，两端都种，共种了两端都种，共种了100棵。这段路长多少米？棵。这段路长多少米？ 例题分析例例2 小明要到高层建筑的小明要到高层建筑的11楼，他走到楼，他走到5楼用了楼用了100秒，照此速度计算，他还需走多秒，照此速度计算，他还需走多少秒？少秒？ 例题分析例例3科学家进行一项实验，每隔科学家进行一项实验，每隔5小时做小时做一次记录，做第一次记录，做第12次记录时，挂钟时针指次记录时，挂钟时针指向向9。问第一次记录时，时针指向

10、几？。问第一次记录时，时针指向几？ 例题分析例例4在一条公园小路旁放一排花，每两盆在一条公园小路旁放一排花，每两盆花之间距离为花之间距离为4米，共放了米，共放了25盆。现在要改盆。现在要改成每成每6米放一盆，问有几盆花不必搬动？米放一盆，问有几盆花不必搬动？ 例题分析例例5 一个湖泊周围长一个湖泊周围长1800米，现每隔米，现每隔6米栽一棵柳树，每两棵柳树之间栽一棵桃米栽一棵柳树，每两棵柳树之间栽一棵桃树。问湖泊周围一共栽了多少棵柳树，多树。问湖泊周围一共栽了多少棵柳树，多少棵桃树？少棵桃树？ 专题分析学生排队，士兵列队，横着排叫做行，竖着排叫做列。如果行数与列数都相等，则正好排成一个正方形，

11、这种图形就叫方队，也叫做方阵（亦叫乘方问题）。方阵有实心和空心之分。 专题分析方阵的基本特点是： 方阵不论在哪一层，每边上的人（或物）数量都相同。每向里一层，每边上的人数就少2，每层总数就少8。 每边人（或物）数和四周人（或物）数的关系：四周人（或物）数=每边人（或物）数-14；每边人（或物）数=四周人（或物）数41。 实心方阵总人（或物）数=每边人（或物）数每边人（或物）数。 空心方阵人数（或物）数最外层每边人（或物）数2（最外层每边人（或物）数-层数2）2例题分析例例1某部队战士排成方阵进行队列训练，某部队战士排成方阵进行队列训练，另一支队伍共另一支队伍共17人加入他们的方阵，正好人加入他

12、们的方阵，正好使横、竖各增加一排，现在共有多少名战使横、竖各增加一排，现在共有多少名战士？士？例题分析例例2某校五年级学生排成一个方阵做操，某校五年级学生排成一个方阵做操，最外一层的人数为最外一层的人数为60人。这个方阵共有五人。这个方阵共有五年级学生多少人？年级学生多少人？ 例题分析例例3小华观看团体操表演，他看到的表小华观看团体操表演，他看到的表演队伍中的一个方阵变成一个正三角形实演队伍中的一个方阵变成一个正三角形实心队伍，他估计队伍中的人数大约在心队伍，他估计队伍中的人数大约在30至至50人之间，你能告诉他到底有多少人吗？人之间，你能告诉他到底有多少人吗？ 例题分析例例4明明用围棋子摆成

13、一个三层空心方明明用围棋子摆成一个三层空心方阵，如果最外层每边有围棋子阵，如果最外层每边有围棋子14个，明明个，明明摆这个三层空心方阵共用了多少个棋子摆这个三层空心方阵共用了多少个棋子?例题分析例例5 120个棋子摆成一个三层空心方阵，个棋子摆成一个三层空心方阵，最内层每边有多少个棋子？最内层每边有多少个棋子？ 例题分析例例6一个街心花园如右图所示。它由四一个街心花园如右图所示。它由四个大小相等的等边三角形组成。已知从每个大小相等的等边三角形组成。已知从每个小三角形的顶点开始，到下一个顶点均个小三角形的顶点开始，到下一个顶点均匀栽有匀栽有9棵花。整个花园中共栽多少棵花？棵花。整个花园中共栽多少

14、棵花？专题分析 小王从甲地到乙地，小张从乙地到甲地，两人在途中相遇，实质上是小王和小张一起走了甲、乙之间这段路程。 如果两人同时出发， 甲的速度时间+乙的速度时间（甲的速度+乙的速度）时间 那么：路程甲走的距离+乙走的距离即：相遇路程速度和相遇时间。 例题分析例例1 一辆公共汽车和一辆小轿车同一辆公共汽车和一辆小轿车同时从相距时从相距360千米的两地相向而行，千米的两地相向而行，公共汽车每小时行公共汽车每小时行35千米，小轿车每千米，小轿车每小时行小时行55千米，几小时后两车相距千米，几小时后两车相距90千米？千米？例题分析例例2 小张从甲地到乙地步行需要小张从甲地到乙地步行需要36分钟，小王

15、骑自行车从乙地到甲地需分钟，小王骑自行车从乙地到甲地需要要12分钟分钟.他们同时出发，几分钟后两他们同时出发，几分钟后两人相遇？人相遇？ 例题分析例例3 小明回家，距家门小明回家，距家门540米，妹妹米，妹妹和小狗一齐向他奔来，小明每分钟行和小狗一齐向他奔来，小明每分钟行50米，妹妹每分钟行米，妹妹每分钟行40米，小狗每分钟行米，小狗每分钟行200米，小狗遇到小明后用同样的速度米，小狗遇到小明后用同样的速度不停地往返于小明和妹妹之间。当小明不停地往返于小明和妹妹之间。当小明与妹妹相遇时，小狗一共跑了多少米？与妹妹相遇时，小狗一共跑了多少米？ 例题分析例例4一列货车早晨一列货车早晨6时从甲地开往

16、乙地，时从甲地开往乙地，平均每小时行平均每小时行45千米，一列客车从乙地千米，一列客车从乙地开往甲地，平均每小时比货车快开往甲地，平均每小时比货车快15千米，千米，已知客车比货车迟发已知客车比货车迟发2小时，中午小时，中午12时时两车同时经过途中某站，然后仍继续前两车同时经过途中某站，然后仍继续前进，问：当客车到达甲地时，货车离乙进，问：当客车到达甲地时，货车离乙地还有多少千米？地还有多少千米？ 例题分析例例5 甲、乙、丙三人行路，甲每分钟甲、乙、丙三人行路，甲每分钟走走60米，乙每分钟走米，乙每分钟走50米，丙每分钟米，丙每分钟走走40米。甲从米。甲从A地，乙和丙从地，乙和丙从B地同时地同时

17、出发相向而行，甲和乙相遇后，过了出发相向而行，甲和乙相遇后，过了5分钟又与丙相遇，求分钟又与丙相遇，求A、B两地间的路程。两地间的路程。 例题分析例例6 小张、小明两人同时从甲、乙两小张、小明两人同时从甲、乙两地出发相向而行，两人在离甲地地出发相向而行，两人在离甲地40米处米处第一次相遇，相遇后两人仍以原速继续第一次相遇，相遇后两人仍以原速继续行驶，并且在各自到达对方出发点后立行驶，并且在各自到达对方出发点后立即沿原路返回，途中两人在距乙地即沿原路返回，途中两人在距乙地15米米处第二次相遇。甲、乙两地相距多少米？处第二次相遇。甲、乙两地相距多少米？ 专题分析 有两个人同时在行走，一个走得快，一

18、个走得慢，当走得慢的在前，走得快的过了一些时间就能追上他.这就产生了“追及问题”。实质上，要算走得快的人在某一段时间内，比走得慢的人多走的路程，也就是要计算两人走的路程之差。 如果设甲走得快，乙走得慢，在相同时间内， 甲的速度时间-乙的速度时间（甲的速度-乙的速度）时间 那么：追及路程甲走的距离-乙走的距离即：追及路程速度差追及时间。 例题分析例例1 姐姐放学回家，以每分钟姐姐放学回家，以每分钟60米的米的速度步行回家，速度步行回家，12分钟后妹妹骑车以每分钟后妹妹骑车以每分钟分钟240米的速度从学校往家中骑，经米的速度从学校往家中骑，经过几分钟妹妹可以追上姐姐？过几分钟妹妹可以追上姐姐？ 例

19、题分析例例2小轿车的速度比面包车速度每小小轿车的速度比面包车速度每小时快时快6千米，小轿车和面包车同时从学千米，小轿车和面包车同时从学校开出，沿着同一路线行驶，小轿车比校开出，沿着同一路线行驶，小轿车比面包车早面包车早10分钟到达城门，当面包车到分钟到达城门，当面包车到达城门时，小轿车已离城门达城门时，小轿车已离城门9千米，问千米，问学校到城门的距离是多少千米？学校到城门的距离是多少千米？ 例题分析例例3 小张从家到公园，原打算每分小张从家到公园，原打算每分钟走钟走50米。为了提早米。为了提早10分钟到，他分钟到，他把速度加快，每分钟走把速度加快，每分钟走75米米.问家问家到公园多远？到公园多

20、远？ 例题分析例例4 上午上午8点零点零8分，小明骑自行分，小明骑自行车从家里出发，车从家里出发，8分钟后，爸爸骑分钟后，爸爸骑摩托车去追他，在离家摩托车去追他，在离家4千米的地千米的地方追上了他方追上了他.然后爸爸又立即回家，然后爸爸又立即回家，到家后又立刻回头去追小明，再追到家后又立刻回头去追小明，再追上小明的时候，离家恰好是上小明的时候，离家恰好是8千米，千米，这时是几点几分？这时是几点几分？ 例题分析例例5小张从甲地到乙地，每小时小张从甲地到乙地，每小时步行步行5千米，小王从乙地到甲地，千米，小王从乙地到甲地，每小时步行每小时步行4千米千米.两人同时出发，两人同时出发，然后在离甲、乙两

21、地的中点然后在离甲、乙两地的中点1千米千米的地方相遇，求甲、乙两地间的距的地方相遇，求甲、乙两地间的距离。离。 例题分析例例6甲、乙、丙三人骑自行车旅行，甲、乙、丙三人骑自行车旅行，出发时约好到某地集合。甲、乙两人出发时约好到某地集合。甲、乙两人早上早上6时一起从家中出发，甲每小时时一起从家中出发，甲每小时行行15千米，乙每小时行千米，乙每小时行12千米，丙千米，丙因早上有事，到因早上有事，到8时才从家里出发，时才从家里出发，下午下午6时，甲、丙同时到达某地。问：时，甲、丙同时到达某地。问：丙在何时追上乙？丙在何时追上乙？ 专题分析 在简单的行程问题以及稍复杂的行程问题（相遇问题和追及问题）中

22、，是把运动的人或物体都看作是一个质点的运动，人或物体本身的长度不再考虑。如果我们在研究物体运动的过程中，既考虑由于运动而涉及路程、速度和时间的关系，又涉及运动物体本身的长度，那么就出现一种特殊的行程问题火车过桥问题。例题分析例例1 一座大桥长一座大桥长640米。一列火车车米。一列火车车身长身长260米，以每秒米，以每秒20米的速度行驶，从米的速度行驶，从火车上桥到离桥共需要多少秒？火车上桥到离桥共需要多少秒？ 例题分析例例1 一座大桥长一座大桥长640米。一列火车车米。一列火车车身长身长260米，以每秒米，以每秒20米的速度行驶，从米的速度行驶，从火车上桥到离桥共需要多少秒？火车上桥到离桥共需要多少秒？ 例题分析例例2一列客车通过一列客车通过840米长的大桥需要米长的大桥需要52秒，用同样的速度穿过秒，用同样的速度穿过640米长的隧道米长的隧道需要需要44秒。求这列客车的速度及车身长秒。求这列客车的速度及车身长度各是多少？度各是多少？例题分析例例3某人沿着铁路边的便道步行某人沿着铁路边的便道步行,一列客一列客车从身后开来，在身旁通过的时间