中学物理学中的数学问题（下）

1、中学物理学中的数学问题（下）目录第十一章 中学数学思想方法在中学物理学中的应用2 1、分类讨论思想在中学物理中的应用2 2、结构图在中学物理学中的应用（选学）9 3、归纳推理在中学物理学中的应用（选学）13 4、类比推理在中学物理学中的应用（选学）23 5、数形结合思想在中学物理学中的应用31 6、反证法在中学物理学中的应用44 7.化归原则在中学物理学中的应用48第十二章 中学物理学中的近似计算541、 估算法在中学物理学中的应用542、二项式定理在中学物理学中的应用 56 第十三章 利用中学物理知识验证数学结论58 第十四章 美学与中学物理学关系探幽58 1、科学美的特点582、科学美的范

2、畴603、科学美在物理学习中的作用69 第十五章中学物理学中的哲学问题74第十六章直觉思维在物理学习中的局限性75第十七章数学与物理学关系综述（仅供中学教师参考）771.分析力学在中学物理竞赛中的应用802.利用常微分方程求解几个中学物理习题84第十一章 中学数学思想方法在中学物理学中的应用 数学作为工具学科,其思想、方法和知识始终渗透、贯穿于整个物理学习和研究的过程中,为物理概念、定律的表述提供简洁、精确的数学语言,为学生进行抽象思维和逻辑推理提供有效的方法,为物理学中的数量分析和计算提供有力工具1、分类讨论思想在中学物理中的应用 数学知识回顾：每个数学结论都有其成立的条件,每一种数学方法的

3、使用也往往有其适用范围,在我们所遇到的数学问题中,有些问题的结论不是唯一确定的,有些问题的结论在解题中不能以统一的形式进行研究,还有些问题的已知量是用字母表示数的形式给出的,这样字母的取值不同也会影响问题的解决,由上述几类问题可知,就其解题方法及转化手段而言都是一致的,即把所有研究的问题根据题目的特点和要求,分成若干类,转化成若干个小问题来解决,这种按不同情况分类,然后再逐一研究解决的数学思想,称之为分类讨论思想.当数学问题中的条件,结论不明确或题意中含参数或图形不确定时,就应分类讨论. 分类讨论思想是指在解决一个问题时,无法用同一种方法去解决,而需要一个标准将问题划分成几个能用不同形式去解决

4、的小问题,将这些小问题加以解决,从而使问题得到解决,这就是分类讨论思想. 当我们所研究的各种对象之间过于复杂或涉及范围比较广泛时,我们大多采取分类讨论的方法进行解决,即对问题中的各种情况进行分类,或对所涉及的范围进行分割,然后分别研究和求解.分类讨论解题的实质,是将整体问题化为部分问题来解决,以增加题设条件.分类讨论的原则是不重复、不遗漏.讨论的方法是逐类进行,还必须要注意综合讨论的结果,以使解题步骤完整.在中学物理中,学习、研究物理的同时也离不开数学知识的辅助,而深入系统地学习物理更是一个掌握物理学中数学方法的过程.所以,重视数理结合对于降低学习难度、培养学生学习兴趣、促进素质教育有着重要的

5、意义.一、物理学中数理之间的辩证关系数学与物理之间是抽象与具体、一般与特殊的关系.数学是一门高度抽象的科学,它完全摒弃了具体的现象;而物理学研究的是客观的物质的本质,是一门以实验为基础的自然科学.所以,当数学知识应用于物理学当中时,就必须受到客观事实,即物理规律的制约.当我们在应用数学知识表述物理概念、总结物理规律、解答物理问题时,又要注意其特殊性和局限性.二、中学物理中数理结合存在的问题：一是忽视了物理学的科学方法,忽视数学公式的推导和论证,仅记忆最后的结果;二是过分强调数学方法和数学推导,忽视对物理概念、规律、原理、公式以及物理现象等物理意义的讲解,尤其是在涉及物理公式时,不能对公式中所蕴

6、含的物理意义、表达的物理过程做深刻地阐释,而过分地把物理公式作为数学公式处理.例1 如图所示,有一轴线水平且垂直纸面的固定绝缘弹性圆筒,圆筒壁光滑,筒内有沿轴线向里的匀强磁场B,O是筒的圆心,圆筒的内半径r=0.40m.在圆筒底部有一小孔a（只能容一个粒子通过）.圆筒下方一个带正电的粒子经电场加速后（加速电场未画出）,以v=2×104m/s的速度从a孔垂直磁场B并正对着圆心O进入筒中,该带电粒子与圆筒壁碰撞四次后恰好又从小孔a射出圆筒.已知该带电粒子每次与筒壁发生碰撞时电量和能量都不损失,不计粒子的重力和空气阻力,粒子的荷质比q/m=5×107(C/kg),求磁感应强度B多

7、大（结果允许含有三角函数式）？raBOv0解析：带电粒子在磁场中作匀速圆周运动,（1）,得： （2）由于带电粒子与圆筒壁碰撞时无电量和能量损失,那么每次碰撞前后粒子速度大小不变、速度方向总是沿着圆筒半径方向,4个碰撞点与小孔a恰好将圆筒壁五等分,粒子在圆筒内的轨迹具有对称性,由5段相同的圆弧组成,设每段轨迹圆弧对应的圆心角为,则由几何关系可得： （3）有两种情形符合题意（如图所示）：aO1ROr（1） 情形1：每段轨迹圆弧对应的圆心角为 联立（2）（3）并代入值得： （4）,将数据代入(4)式得： （5）（2）情形2：每段轨迹圆弧对应的圆心角为 联立（2）（3）并代入值及数据得： （6）例2

8、如图所示,在直角坐标系的第象限和第象限存在着电场强度均为E的匀强电场,其中第象限电场沿x轴正方向,第象限电场沿y轴负方向在第象限和第象限存在着磁感应强度均为B的匀强磁场,磁场方向均垂直纸面向里有一个电子从y轴的P点以垂直于y轴的初速度v0进入第象限,第一次到达x轴上时速度方向与x轴负方向夹角为45°,第一次进入第象限时,与y轴夹角也是45°,经过一段时间电子又回到了P点,进行周期性运动已知电子的电荷量为e,质量为m,不考虑重力和空气阻力求：(1)P点距原点O的距离；(2)电子从P点出发到第一次回到P点所用的时间解析：解一：电子在第象限做类平抛运动,沿y轴方向的分速度为 .设

9、OP=h,则, 可得解二：经分析可知在第四象限中电子做匀速圆周运动,故可知OP的距离就是圆周运动的半径：由,得答案：在一个周期内,设在第象限运动时间为t3,在第象限运动时间为t2,在象限运动时间为t1,在第象限运动时间为t4在第象限有,解得 , 在第象限电子做圆周运动,周期,在第象限运动的时间为.由几何关系可知,电子在第象限的运动与第象限的运动对称,沿x轴方向做匀减速运动,沿y轴方向做匀速运动,到达x轴时垂直进入第四象限的磁场中,速度变为0.在第象限运动时间为 ,电子在第象限做四分之一圆周运动,运动周期与第周期相同,即,在第象限运动时间为,电子从P点出发到第一次回到P点所用时间为例3.如图所示

10、,两平行光滑的金属导轨MN、PQ固定在水平面上,相距为L,处于竖直方向的磁场中,整个磁场由若干个宽度皆为d的条形匀强磁场区域1、2、3、4组成,磁感应强度B1、B2的方向相反,大小相等,即B1B2B.导轨左端M、P间接一电阻R,质量为m、电阻为r的细导体棒ab垂直放置在导轨上,与导轨接触良好,不计导轨的电阻现对棒ab施加水平向右的拉力,使其从区域1磁场左边界位置开始以速度v0向右做匀速直线运动并穿越n个磁场区域(1)求棒ab穿越区域1磁场的过程中电阻R上产生的焦耳热Q；(2)求棒ab穿越n个磁场区域的过程中拉力对棒ab所做的功W；(3)规定棒ab中从a到b的电流方向为正,画出上述过程中通过棒a

11、b的电流I随时间t变化的图象；(4)求棒ab穿越n个磁场区域的过程中通过电阻R的净电荷量q.解析】(1)棒ab产生的感应电动势EBLv0,通过棒ab的感应电流I电阻R上产生的焦耳热Q()2R×(2)因为棒ab匀速穿越n个磁场区域,所以拉力对棒做的功在数值上等于整个回路中产生的焦耳热,即拉力对棒ab所做的功WQ总××n,W(3)如图所示(4)若n为奇数,通过电阻R的净电荷量q,若n为偶数,通过电阻R的净电荷量q0例4 1932年劳伦斯和利文斯设计出了回旋加速器.回旋加速器的工作原理如图所示,置于高真空中的D形金属盒半径为R,两盒间的狭缝很小,带电粒子穿过的时间可以忽

12、略不计.磁感应强度为B的匀强磁场与盒面垂直.A处粒子源产生的粒子,质量为m、电荷量为+q ,在加速器中被加速,加速电压为U.加速过程中不考虑相对论效应和重力作用.（1）求粒子第2次和第1次经过两D形盒间狭缝后轨道半径之比；（2）求粒子从静止开始加速到出口处所需的时间t；（3）实际使用中,磁感应强度和加速电场频率都有最大值的限制.若某一加速器磁感应强度和加速电场频率的最大值分别为Bm、fm,试讨论粒子能获得的最大动能E.解析：(1)设粒子第1次经过狭缝后的半径为r1,速度为v1,qu=mv12,qv1B=m解得 同理,粒子第2次经过狭缝后的半径 ,则 ,（2）设粒子到出口处被加速了n圈解得（3）

13、加速电场的频率应等于粒子在磁场中做圆周运动的频率,即当磁场感应强度为Bm时,加速电场的频率应为，粒子的动能当时,粒子的最大动能由Bm决定,解得当时,粒子的最大动能由fm决定,解得 例5 如图所示,以A、B和C、D为端点的两半圆形光滑轨道固定于竖直平面内,一滑板静止在光滑水平地面上,左端紧靠B点,上表面所在平面与两半圆分别相切于B、C.一物块被轻放在水平匀速运动的传送带上E点,运动到A时刚好与传送带速度相同,然后经A沿半圆轨道滑下,再经B滑上滑板.滑板运动到C时被牢固粘连.物块可视为质点,质量为m,滑板质量M=2m,两半圆半径均为R,板长l =6.5R,板右端到C的距离L在RL5R范围内取值.E

14、距A为S=5R,物块与传送带、物块与滑板间的动摩擦因素均为=0.5,重力加速度取g.(1) 求物块滑到B点的速度大小；(2) 试讨论物块从滑上滑板到离开滑板右端的过程中,克服摩擦力做的功Wf与L的关系,并判断物块能否滑到CD轨道的中点.解析： （1）mgs+mg·2R=mvB2 ,所以 vB=3（2）设M滑动x1,m滑动x2二者达到共同速度v,则mvB=(M+m)v mgx1=mv2 mgx2=mv2mvB2 由得v=, x1=2R, x2=8R二者位移之差x= x2x1=6R6.5R,即滑块未掉下滑板讨论：RL2R时,Wf=mg(l+L)= mg（6.5R+L）;2RL5R时,Wf

15、=mgx2+mg(lx)=4.25mgR4.5mgR,即滑块速度不为0,滑上右侧轨道.要使滑块滑到CD轨道中点,vc必须满足：mvc2 mgR 此时L应满足：mg(l+L) mvB2mvc2 则 LR,不符合题意,滑块不能滑到CD轨道中点.答案：（1） vB=3；（2）RL2R时,Wf=mg(l+L)= mg（6.5R+L）2RL5R时,Wf=mgx2+mg(lx)=4.25mgR4.5mgR,即滑块速度不为0,滑上右侧轨道.滑块不能滑到CD轨道中点.例7.如图,在场强大小为E、水平向右的匀强电场中,一轻杆可绕固定转轴O在竖直平面内自由转动.杆的两端分别固定两电荷量均为q的小球A、B；A带正电

16、,B带负电；A、B两球到转轴O的距离分别为2l、l,所受重力大小均为电场力大小的倍,开始时杆与电场夹角为（）.将杆从初始位置由静止释放,以O点为重力势能和电势能零点.求：（1）初始状态的电势能；（2）杆在平衡位置时与电场间的夹角；（3）杆在电势能为零处的角速度.【答案】（1）-3qElcos；（2）30°；（3）当<150°时,；当150°时,或【解析】 （1）初态：We=qV+(-q)V=q(V+-V-)=-3qElcos（2）平衡位置如图,设小球的质量为m,合力矩为来源:Z|xx|k.Com3qElsin-mglcos=0由此得，=30°初态：

17、We=3qElcos,Ep=mglsin，末态：,能量守恒：解得，物理学的发展依赖于数学,数学是物理学的表述形式.数学高度的抽象性,使它能够概括物理运动的所有空间形式和一切量的关系.数学以极度浓缩的语言写出了物理世界的基本结构,唯有数学才能以最终的、精确的和便于讲授的形式表达自然规律,唯有数学才能应用于错综复杂的物质运动过程之中.牛顿的代表作自然哲学的数学原理,正是采用了数学语言才对力学定律做出了科学的、有利的系统论述. 2、结构图在中学物理学中的应用数学在实际应用技术方面获得巨大的成功,数学在应用技术方面的成效是不容抹杀否定的.数学在科学活动中所发挥的实际应用作用是显而易见的,数学本身就是属

18、于一种实际应用技术性的工具,如果说没有数学也就没有科学是毫不夸张的.数学家或几何学家们为物理学家们准备了各种可供选择使用的数学公式或几何形式.公式是数学家通过抽象归纳发明的,它起到了物理学家所起不到的作用,这是数学所起到的作用.人们受到欢欣鼓舞并试图用数学手段来解决处理一切问题.数学的优美表现在形式上,数学形式化是一种必然,因为它本身就是抽象,大可不必非得存在具体内容.数学形式系统是抽象没有任何真实物质意义的表示,即不管任何物质变化作用关系内容.数学只是对现象或结果的一种定量描述,而不必管内容实质原因的.以观察和实验事实通过推导所获得到的唯一地可能来把握现象的公式,优点在于可以超脱关于产生这些

19、现象的原因,即寻找数学规律而用不着寻找原因.它的目的作用是为了实际应用,知道原因内容与不知道原因内容是没有任何区别的.1、力与物体的平衡2、匀变速直线运动3、力学连接体4、曲线运动5、万有引力定律6、功、功率和动能定理7、机械能守恒定律8、电场力的性质和能的性质9、磁场作用下物体的运动10、带电粒子在复合场中的运动11、稳恒电流12、电磁感应定律13物理实验 著名哲学家、数学家罗素就曾说过：“数学,如果正确地看它,则具有至高无上的美正像雕刻的美,是一种冷而严肃的美,这种美不是投合我们天性的微弱的方面,这种美没有绘画或音乐的那些华丽的装饰,它可以纯净到崇高的地步,能够达到严格的只有最伟大的艺术才

20、能显示的那种完美的境地.一种真实的喜悦的精神,一种精神上的完备,一种觉得高于人的意识这些是至善至美的标准,能够在诗里得到,也能够在数学里得到.”总之,数学美是一种结构美,一种“简单”的美. 3、归纳推理在中学物理学中的应用英国剑桥大学数学家Little wood教授曾经提出一个有趣的论断：“在创世之前上帝只是在研究纯数学,然后他想搞点应用应该是件有意思的事情.”归纳推理分为完全归纳和不完全归纳,物理中常常用到不完全归纳,合理地运用归纳法对我们解决一些物理问题有很大帮助.运用不完全归纳的前提条件是物理的运动规律要有反复性和相似性.数学知识回顾：所谓归纳推理,就是从个别性知识推出一般性结论的推理,

21、传统上,根据前提所考察对象范围的不同,把归纳推理分为完全归纳推理和不完全归纳推理.完全归纳推理考察了某类事物的全部对象,不完全归纳推理则仅仅考察了某类事物的部分对象.并进一步根据前提是否揭示对象与其属性间的因果联系,把不完全归纳推理分为简单枚举归纳推理和科学归纳推理. 现代归纳逻辑则主要研究概率推理和统计推理. 归纳推理的前提是其结论的必要条件.首先,归纳推理的前提必须是真实的,否则,归纳就失去了意义.其次,归纳推理的前提是真实的,但结论却未必真实,而可能为假. 伟大的数学家欧拉曾说“数学这门科学,同样需要观察、实验”无独有偶,大数学家高斯也曾说过,他的许多定理都是靠归纳法发现的,证明只是一个

22、补行的手续纵观古今,科学的发展史其实也是一部观察史、一部猜想史,更是一部论证史数学的发展更是这样的科学结论的得到大致包含以下几个阶段：观察、实践推广猜测一般性结论论证结论而数学归纳法恰恰是论证结论的最佳方法这与数学大师所说的“先从少数的事例中摸索出规律来,再从理论上论证这一规律的一般性,这是人们认识自然的客观法则之一”的观点大致相同杨振宁教授说：“美国学物理的方法与中国学物理的方法不一样,中国学物理的方法是演绎法,先有许多定理,然后进行推演,美国对物理的了解是从现象出发,倒过来的,物理定理是从现象归纳出来的,是归纳法.演绎法是学考试的人用的方法；归纳法是做学问的办法.做学问的人从自己的具体工作

23、分析中抽象出定理来,这样所注意的就是那些与现象接近的东西.” 倪光炯讲：“物理学史表明,真正重要的第一流研究成果,从来不是靠演绎法推算出来的,而是靠分析归纳法”,“演绎法当然也很重要,但它的结论实际上早已隐含在大前提之中了”,认为“从战术上看,做演绎法似乎很保险,但从战略上看却不见得.”“必须记住物理学首先是一门实验科学,因此我们的研究必须首先面对现象,面对实验事实,面对原始问题.” “全部科学史还表明：当一种成熟的理论或观点已被绝大多数人所接受后,便形成所谓主流,研究中随大流或赶热门便成为了常见现象.然而自然界比人更富想象力,新的较大的发展,要求越出主流,另辟蹊径,要求抛弃一些过去的成见（或

24、偏见）,即要求一个研究者及时而坚决地改变自己原来不正确的思想.事实上,很少有人能做到这一点”. 物理学中许多普遍概念和规律都主要是用归纳推理得出的.归纳推理是解决物体与物体发生多次作用后的情况,即当问题中涉及相互联系的物体较多并且有规律时,应根据题目特点应用数学思想将所研究的问题归类,然后求出通式.常用它来研究运动规律已知,在一定条件下连续进行的、具有共同规律而具体数量特征不同的多阶段运动问题.它具体方法是先分析某一次作用的情况,得出结论；再根据多次作用的重复性和它们的共同点,把结论推广,然后结合数学知识求解；或导出联系相邻两次作用的递推关系式,再把结论推广,后结合数学知识求解.例1：把长为S

25、的平直公路分成n等份,一辆汽车从始端A由静止出发,以加速度a运动,当它达到每一等份的末端时,加速度增加a/n,则汽车到达终点B时的速度是多少？解析：设经过每一份后的速度分别以v1、v2,、,vn表示.v12=2 aS/n,v22=2 a（1+1/n ）S/n +2 aS/n,v32=2 a（1+2/n ）S/n +2 a（1+1/n ）S/n +2 aS/n,、vn2=2aS/n(2-1/n)+ 2aS/n(2-2/n)+ 2aS/n(2-3/n)+、+2aS/n(2- n /n)= 2aS/n2n- n（n+1）/2n. vn=as(3-1/n)0.5.例2 如图所示,质量为m的由绝缘材料制

26、成的球与质量为M=19m的金属球并排悬挂.现将绝缘球拉至与竖直方向成=60°的位置自由释放,下摆后在最低点与金属球发生弹性碰撞.在平衡位置附近存在垂直于纸面的磁场.已知由于磁场的阻尼作用,金属球将于再次碰撞前停在最低点处.求经过几次碰撞后绝缘球偏离竖直方向的最大角度将小于45°. 【分析】因绝缘球与金属球每次碰撞后,其速率将减小,从而使其偏离竖直方向的最大角度在减小.而每次两球碰撞后,绝缘球的速率是有规律性的变化,要求解本题题设条件下的碰撞次数,关键在于归纳出绝缘球在每次碰撞后的速率变化规律. 【解析】方法1根据多次作用的重复性和它们的共同点,把结论推广

27、,然后结合数学知识求解.设小球m的摆线长度为l,绝缘球第一次碰撞前的速度为v0,碰撞后绝缘球与金属球的速度分别为v1、V1,设速度向左为正,小球m在下落过程中与M相碰之前满足机械能守恒： ,     m和M碰撞过程满足：mv0=MV1+mv1 ,    ,   联立、得：, 由于v1<0,说明绝缘球被反弹,而后绝缘球又以反弹速度的大小和金属球M发生碰撞,设第二次碰撞后绝缘球与金属球的速度分别为v2、V2,满足： m|v1|=MV2+mv2 ,  由、解得：, 整理得：,

28、 同理第三次碰撞后绝缘球的速率v3为：, 由以上归纳推理得到第n次碰撞后绝缘球的速率为vn, 所以：, 经过第n次碰撞后绝缘球偏离竖直方向的最大角度将小于45°,则, 联立、代入数据解得,（081）n=0586, 当n=3时,碰撞后绝缘球偏离竖直方向的最大角度将小于45°. 方法2导出联系相邻两次作用的递推关系式,再把结论推广,后结合数学知识求解. 设在第n次碰撞前绝缘球的速度为vn-1,碰撞后绝缘球、金属球的速度分别为vn和Vn-1,由于碰撞过程中动量守恒,碰撞前后动能相等,则mvn-1=MV

29、n+mvn , , 解得, 由以上归纳推理得到第n次碰撞后绝缘球的速率为vn, 再利用方法1的求解可得到结论. 小结：该题除了考查碰撞中的动量守恒定律以及能量守恒定律外,还运用了归纳推理寻找通项公式,即绝缘小球每一次碰撞前与碰撞后的动能关系,从而找到了绝缘小球每次碰后的动能与初动能的关系.找不到这个通项关系,而使用递推法解题的计算量会非常大.在解决某些物理过程比较复杂的具体问题时,常从特殊情况出发,归纳出一般情况下的猜想,然后用数学归纳法加以证明,从而确定我们的猜想是正确的.此类题要求注意在书写上的规范,以便于找出其中的规律. 例3 我们在火车站常看到载重列车启动

30、时,机车要往后倒退一下,目的是使各节车厢之间的挂钩都离开一段距离,以便于启动,这是因为机车和车厢与铁轨之间的最大静摩擦力大于它们之间的动摩擦力,若机车不倒退直接启动,启动以后机车和车厢与铁轨之间的摩擦力由静摩擦力变为动摩擦力,当列车加速到一定的速度后,列车的机车就必须减少牵引力使列车匀速直线运动,资源不能得到充分的利用,所以载重列车常常采用我们所见到的启动方式启动.今有一列载重列车,若它不倒退以恒定的牵引力直接启动,机车的牵引力能带动49节车厢（不含机车）,那么它利用倒退后用同样大小的恒定牵引力启动,该机车启动59节同样质量的车厢以后,恰好做匀速直线运动,已知机车与各节车厢的质量均为m,机车和

31、各节车厢与铁轨之间的动摩擦力为mg,假设机车倒退后,各节车厢之间的挂钩离开相同的距离s,机车加速后,每拉动一节车厢的瞬间可近似地认为满足动量守恒定律的条件.求：（1）每一节车厢与铁轨之间的最大静摩擦力？（2）列车采用机车倒退的方式启动后做匀速直线运动的速度？（最终结果可以用根式表示） 解：（1）设每节车厢所受最大静摩擦力为fm,机车的牵引为为F,直接启动时,有 F=（49+1）fm（1）当采用倒退方式启动时,有F=（59+1）mg （2）.由、两式可得：fm=1.2mg （3）（2）设第一节车厢被拉动前,机车的速度为V1,被拉动后,机车的速度为V1由动能定理有（4）由动量守恒定律有（5）由 、

32、得（6）设第二节车厢被拉动前,机车的速度为V2,被拉动后,机车的速度为V2,由动能定理有 （7）由动量守恒定律有（8）由 、得 （9）.同理可得 （10）由不完全归纳法得 （11） （12）即列车采用倒退的方式启动后做匀速直线运动的速度为 ： 例4在高能物理研究中,粒子回旋加速器起着重要作用,如图甲为它的示意图.它由两个铝制D型金属扁盒组成,两个D形盒正中间开有一条窄缝.两个D型盒处在匀强磁场中并接有高频交变电压.图乙为俯视图,在D型盒上半面中心S处有一正离子源,它发出的正离子,经狭缝电压加速后,进入D型盒中.在磁场力的作用下运动半周,再经狭缝电压加速.如此周而复始,最后到达D型盒的边缘,获得

33、最大速度,由导出装置导出.已知正离子的电荷量为q,质量为m,加速时电极间电压大小为U,磁场的磁感应强度为B,D型盒的半径为R.每次加速的时间很短,可以忽略不计.正离子从离子源出发时的初速度为零,求（1）为了使正离子每经过窄缝都被加速,求交变电压的频率（2）求离子能获得的最大动能（3）求离子第1次与第n次在下半盒中运动的轨道半径之比.B甲SB乙解析：使正离子每经过窄缝都被加速,交变电压的频率应等于离子做圆周运动的频率.正离子在磁场中做匀速圆周运动,由洛仑兹力提供向心力又,解得所以（2）当离子从D盒边缘离开时速度最大,此时离子做圆周运动的半径为D盒的半径有，离子获得的最大动能为（3）离子从S点经电

34、场加速1次后,以速度v1第1次进入下半盒,由动能定理解得,离子从S点经电场加速3次后,以速度v3第2次进入下半盒解得, 离子经电场加速（2n1）次后,第n次进入磁场同理可得,所以（n = 1, 2, 3 ）例5 制备纳米薄膜装置的工作电极可简化为真空中间距为d的两平行极板,如图甲所示,加在极板A、B间的电压作周期性变化,其正向电压为,反向电压为,电压变化的周期为2r,如图乙所示.在t=0时,极板B附近的一个电子,质量为m、电荷量为e,受电场作用由静止开始运动.若整个运动过程中,电子未碰到极板A,且不考虑重力作用.（1）若,电子在02r时间内不能到达极板A,求d应满足的条件；（2）若电子在02r

35、时间未碰到极板B,求此运动过程中电子速度随时间t变化的关系；（3）若电子在第N个周期内的位移为零,求k的值.解析：（1）电子在0T时间内做匀加速运动加速度的大小 位移 在T-2T时间内先做匀减速运动,后反向作匀加速运动加速度的大小 ,初速度的大小 ,匀减速运动阶段的位移 依据题意 解得 （2）在2nT(2n+1)T,(n=0,1,2, ,99)时间内加速度的大小a2=,速度增量v2=-a2T(a)当0t-2nt<T时,电子的运动速度v=nv1+nv2+a1(t-2nT)解得v=t-(k+1)nT ,(n=0,1,2, ,99)(b)当0t-(2n+1)T<T时,电子的运动速度v=(

36、n+1) v1+nv2-a2t-(2n+1)T解得v=(n+1)(k+1)T-kl,(n=0,1,2, ,99)（3）电子在2(N-1)T(2N-1)T时间内的位移x2N-1=v2N-2T+a1T2电子在(2N-1)T2NT时间内的位移x2N=v2N-1T-a2T2,由式可知v2N-2=(N-1)(1-k)T,由式可知 v2N-1=(N-Nk+k)T,依据题意 x2N-1+ x2N=0,解得例6.光滑的水平地面上,有一辆车,车内有一个人和N个铅球,系统原来处于静止状态.现车内的人以一定的水平速度将铅球一个一个地向车外抛出,车子和人将获得反冲速度.第一过程,保持每次相对地面抛球速率均为v ,直到

37、将球抛完；第二过程,保持每次相对车子抛球速率均为v ,直到将球抛完.试问：哪一过程使车子获得的速度更大？解析：设车和人的质量为M ,每个铅球的质量为m .由于向量的方向落在一条直线上,可以假定一个正方向后,将向量运算化为代数运算.设车速方向为正,且第一过程获得的速度大小为V1，第二过程获得的速度大小为V2 .第一过程,由于铅球每次的动量都相同,可将多次抛球看成一次抛出.车子、人和N个球动量守恒.0 = Nm(-v) + MV1 ,得：V1 = v 第二过程,必须逐次考查铅球与车子（人）的作用.第一个球与（N1）个球、人、车系统作用,完毕后,设“系统”速度为u1 .值得注意的是,根据运动合成法则

38、,铅球对地的速度并不是（-v）,而是（-v + u1）.它们动量守恒方程为：0 = m(-v + u1) +M +(N-1)mu1,得：u1 =第二个球与（N -2）个球、人、车系统作用,完毕后,设“系统”速度为u2 .它们动量守恒方程为：M+(N-1)mu1 = m(-v + u2) +M+(N-2)mu2 ,得：u2 = + 第三个球与（N -2）个球、人、车系统作用,完毕后,设“系统”速度为u3 .铅球对地的速度是（-v + u3）.它们动量守恒方程为：M+(N-2)mu2 = m(-v + u3) +M+(N-3)mu3得：u3 = + + 以此类推（过程注意：先找uN和uN-1关系,

39、再看uN和v的关系,不要急于化简通分）,uN的通式已经可以找出：V2 = uN = + + + + 即：V2 = ,我们再将式改写成：V1 = 不难发现,式和式都有N项,每项的分子都相同,但式中每项的分母都比式中的分母小,所以有：V1 V2 .结论：第一过程使车子获得的速度较大.例7.一倾角为45°的斜面固定于地面,斜面顶端离地面的高度h01m,斜面底端有一垂直于斜面的固定挡板.在斜面顶端自由释放一质量m0.09kg的小物块（视为质点）.小物块与斜面之间的动摩擦因数0.2.当小物块与挡板碰撞后,将以原速返回.重力加速度g10 m/s2.在小物块与挡板的前4次碰撞过程中,挡板给予小物块

40、的总冲量是多少？解法一：一次次计算,得到结果设小物块从高为h处由静止开始沿斜面向下运动,小物块受到重力,斜面对它的摩擦力和支持力,小物块向下运动的加速度为a,依牛顿第二定律得 得：设小物块碰撞后沿斜面向上运动的加速度大小为a, 依牛顿第二定律有 得：小物块第一次下滑到最低点时 得 小物块第一次沿斜面向上运动的最距离为 小物块第二次下滑到最低点时 得 小物块第二次沿斜面向上运动的最距离为小物块第三次下滑到最低点时 得 小物块第三次沿斜面向上运动的最距离为小物块第四次下滑到最低点时 得 以沿斜面向上为动量的正方向.按动量定理,碰撞过程中挡板给小物块的冲量为 总冲量为 代入数据：I得 N·

41、s 解法二：设小物块从高为h处由静止开始沿斜面向下运动,到达斜面底端时速度为v.由功能关系得 v=4m/s 以沿斜面向上为动量的正方向.按动量定理,碰撞过程中挡板给小物块的冲量 设碰撞后小物块所能达到的最大高度为h,则 同理,有 式中,v为小物块再次到达斜面底端时的速度,I为再次碰撞过程中挡板给小物块的冲量.由式得 式中 由此可知,小物块前4次与挡板碰撞所获得的冲量成等比数列,首项为 总冲量为 由 得 代入数据得 N·s 解法三：设小物块从高为h处由静止开始沿斜面向下运动,小物块受到重力,斜面对它的摩擦力和支持力,小物块向下运动的加速度为a,依牛顿第二定律得 设小物块与挡板碰撞前的速

42、度为v,则 以沿斜面向上为动量的正方向.按动量定理,碰撞过程中挡板给小物块的冲量为 由式得 设小物块碰撞后沿斜面向上运动的加速度大小为a, 依牛顿第二定律有 小物块沿斜面向上运动的最大高度为 由式得 式中 同理,小物块再次与挡板碰撞所获得的冲量 由式得 由此可知,小物块前4次与挡板碰撞所获得的冲量成等比数列,首项为 总冲量为 由 得 代入数据得 N·s 巩固练习： 1一个质量为M的雪橇静止在水平雪地上,一条质量为m的爱斯基摩狗站在该雪橇上.狗向雪橇的正后方跳下,随后又追赶并向前跳上雪橇；其后狗又反复地跳下、追赶并跳上雪橇,狗与雪橇始终沿一条直线运动.若狗跳离雪橇时雪橇的速度

43、为V,则此时狗相对于地面的速度为V+v（其中u为狗相对于雪橇的速度,V+v为代数和,若以雪橇运动的方向为正方向,则V为正值,u为负值）.设狗总以速度v追赶和跳上雪橇,雪橇与雪地间的摩擦忽略不计.已知v的大小为5m/s,u的大小为4m/s,M=30kg,m=10kg.（1）求狗第一次跳上雪橇后两者共同速度的大小.（2）求雪橇最终速度的大小和狗最多能跳上雪橇的次数.（供使用但不一定用到的对数值：lg2=0301,lg3=0447） 答案：（1）2m/s；（2）狗最多能跳上雪橇3次,雪橇最终得速度大小为V4=5625m/s. 2如图所示,一排人站在沿x轴的水平轨道旁,原点O两侧的

44、人的序号都记为n（n=1,2,3）.每人只有一个沙袋,x0一侧的每个沙袋质量为m=14kg,x0一侧的每个沙袋质量m=10kg.一质量为M=48kg的小车以某初速度从原点出发向正x方向滑行.不计轨道阻力.当车每经过一人身旁时,此人就把沙袋以水平速度u朝与车速相反的方向沿车面扔到车上,u的大小等于扔此袋之前的瞬间车速大小的2n倍.（n是此人的序号数） （1）空车出发后,车上堆积了几个沙袋时车就反向滑行？ （2）车上最终有大小沙袋共多少个？答案：（1）3；（2）11.不完全归纳法的应用能够很好的培养学生的运算能力、观察能力和逻辑思维能力.在解决物理问题中运用不完全归纳法的一般步

45、骤: ( 1)在弄清楚物体所有的运动过程后,分析物体遵循的物理规律是否有相似性和反复性; (2)从最简单的单元开始分析,求出表达式; ( 3)逐步地增加单元,分析二至四个单元,逐步求出表达式; (4)仔细观察,寻找规律,写出一般表达式.爱因斯坦在1920年理论和实践中说：“经验科学的发展过程就是不断的归纳过程.”1934年物理学中的空间、以太和场的问题：“适用于科学幼年时代的以归纳为主的方法,正在让位给探索性的演绎法.” 1936年,物理学和实在：“没有一种归纳法能够导致物理学的基本概念.对这个事实的不了解,铸成了19世纪多少研究者在哲学上的根本错误.逻辑思维必然是演绎的,它以假设的概念和公理

46、为基础.”1952年,爱因斯坦给贝索的信：“从经验材料到逻辑性演绎以之为基础的普遍原理,在这两者之间并没有一条逻辑的道路.因此,我不相信,存在着通过归纳达到认识的道路,至少作为逻辑方法是不存在的.”“理论越向前发展,以下情况就越清楚：从经验事实中是不能归纳出基本规律来的.” 4.类比推理在中学物理学中的应用 类比推理在人们认识和改造客观世界的活动中具有重要意义.它能触类旁通,启发思考,不仅是解决日常生活中大量问题的基础,而且是进行科学研究和发明创造的有力工具,如同Hofstadter所说,类比推理是人类认知的核心.自从1977年Sternberg从智力测验的角度对命题类比进行研究以来,许多心理

47、学家对类比推理的机制提出了不同的看法.尤其是近年来,随着研究方法和技术的改进,有关类比推理的研究已经逐渐成为认知领域的一个热点,并取得了一些有启发意义的研究成果类比法在基础物理理论体系构建中的作用是举足轻重的,物理学史上很多重大发现、发明,往往始于类比.开普勒、麦克斯韦、爱因斯坦等许多著名科学家都曾经对类比法作出过很高的评价.类比法是一种物理的研究方法,也是一种科学方法论,还是一种非常好的教学和学习方法,在物理学的教学中具有极为重要的地位.17世纪初,当开普勒根据弟谷的观测结果来计算火星的轨道时.由于事先他计算地球轨道,发现地球的轨道是一个偏心圆（地球的轨道实际上是椭圆,因为偏心率很小被误认为

48、圆）,所以也认为火星的轨道是偏心圆,至于火星轨道中太阳的位置究竟在什么地方,开普勒只好凭借猜想,给一个位置,然后来计算火星的轨道.当时没有计算器,也没有对数表.他就这样反复设定了70次,每一次都需要大量的冗繁的无味的计算,最后改变思路,改用椭圆轨道,太阳在一个焦点上来试算,才取得成功.这项计算他总共花费了四年的功夫,留下来上万页的计算手稿.最后在他的著作中,只总结为15页的结果.经过70多次的试凑,才使这项计算给出了现今说的开普勒三定律的第一和第二定律.它既突破了从亚里士多德、托勒密直到哥白尼认定的天体运动是圆轨道和均匀速度运动的定式,又为牛顿力学的建立准备了条件.教育家瓦赫捷罗夫说得好：“类

49、比像闪电一样,可以照亮学生所学学科的黑暗角落.”在物理学的研究和发展中,无论是对单个问题的解决,还是某些新概念的建立,乃至未知领域的探究,渗透着类比思想与方法.类比法的独特性,使它对科学的发展起到积极推动作用,在物理学的研究和发展中占有重要的地位.麦克斯韦曾写道：“为了采用某种物理知识而获得物理思想,我们应当了解物理相似性的存在.利用这种类似,可以用其中之一,说明其中之二.”类比法是物理学研究中的一种重要方法.物理学研究没有固定的模式,只能在已有认识的基础上 一步一步摸索前进.在科学观测和实验手段缺乏,理论指导和感性认识不足,归纳推理和演绎推理不适用的情况下,类比法则可以充分发挥优势,启发思路

50、,提供线索,指明科学研究的方向,使研究工作少走弯路.例如,1935年日本物理学家汤川秀树把核力与电磁力相类比,提出了核子通过核力场,由一方放出粒子,另一方吸收粒子而相互作用,并且估算出这种粒子的质量.类比法是提出科学假说,作出科学预言的重要工具.在物理学的发展史上,许多重要科学假说和科学预言都是应用类比方法建立起来的,在物理学的漫长发展过程中发挥了重要作用.例如：1923年德布罗意在光的波粒二象性的启发下,把光学中费马原理与质点力学中最小作用莫泊图原理进行类比,提出一切实物粒子都具有波粒二象性的科学假说,实物粒子具有波长入=hmy,能量E=h v.1927年戴维逊革末实验证实了这一假说.再例如：在天体物理研究中,1845年法国天文学家勒维烈和英国天文学家亚当斯根据天王星轨道的理论计算值和实际测量值不一致的现象,运用万有引力定律计算了天王星轨道要素的实际数据与理论值的差数,作出了上述现象源于一颗未被发现的行星对天王星进行摄动的推测性解释,并预言了这颗未知行星的位置.1846年9月23日,柏林天文台的加勒在勒维烈预言的位置差1.的地方果然发现了这颗行星并命名为海王星.象这样用类比方法得到结论的例子还很多,如惠更斯把声现象的一些特性与光现象