中考数学圆的综合综合题含详细答案

1、一、圆的综合真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1.如图ABABC的外接91100的直径，过点C作00的切线CM,延长BC到点D,使CD=BC,连接AD交CM于点E,若00D半径为3,AE=5,（1）求证：CM±AD：（2）求线段CE的长.【答案】（1）见解析：（2）75【解析】分析：（1）连接0C,根据切线的性质和圆周角定理证得AC垂直平分BD,然后根据平行线的判定与性质证得结论：（2）根据相似三角形的判泄与性质证明求解即可.详解：证明：（1）连接0C CM切。0于点C, Z0CE=90% AB是00的直径， ZACB=90°,CD=BC,AC垂直平分BD, AB二AD,

2、ZB=ZDTZB=Z0CB ZD=ZOCB OCIIAD ZCED=Z0CE=90° CM±AD(2)OA=OBtBC=CD1 OC=-AD2 AD=6 DE=AD-AE=1易证CDE-AACECEDEKAECE:.CE:=AExDECE=V5点睛：此题主要考查了切线的性质和相似三角形的判左与性质的应用，灵活判断边角之间的关系是解题关键，是中档题.2.等腰RtAABC和00如图放置，已知AB=BC=1,ZABC=90°,00的半径为1,圆心0与直线AB的距离为5.（1） 若AABC以每秒2个单位的速度向右移动，00不动，则经过多少时间AABC的边与圆第一次相切？（

3、2） 若两个图形同时向右移动，AABC的速度为每秒2个单位，00的速度为每秒1个单位,则经过多少时间AABC的边与圆第一次相切？（3） 若两个图形同时向右移动，AABC的速度为每秒2个单位，00的速度为每秒个单位，同时AABC的边长AB、BC都以每秒0.5个单位沿BA、BC方向增大.ABC的边与圆【答案】（1）（2）5-忑；（3）23【解析】分析：（1）分析易得，第一次相切时，与斜边相切，假设此时，AABC移至aASC,处，AC与00切于点E,连0E并延长，交BC于F.由切线长左理易得CC,的长，进而由三角形运动的速度可得答案；（2）设运动的时间为t秒,根据题意得：CC=2tfDD'=

4、t,则UD'=CD+DD'-CC'=4+t-2t二4-t,由第（1）的结论列式得出结果：（3）求出相切的时间，进而得出B点移动的距离.详解：（1）假设第一次相切时，ABC移至A8C,处，如图1,AC与00切于点E,连接0E并延长，交B'C'于F,设00与直线I切于点D,连接0D,则0E±AC,0D_L直线I,由切线长定理可知UE=UD,设CD=x,则UE二x,.ABC是等腰直角三角形， ZA=ZACB=45 ZA'C'B'=ZACB=45°, .EFU是等腰直角三角形，ZOFDM5°, .OFD也是等

5、腰直角三角形， 0D=DF, V2x+x=l,则x=72-l, .CC=BD-BC-CD=5-1-(-2-D=5近, 点c运动的时间为上VI；2则经过上迟秒，AABC的边与圆第一次相切：2(2)如图2,设经过t秒ZXABC的边与圆第一次相切，AABC移至A8U处，00与BC所在直线的图2AC与00切于点E,连0E并延长，交BC于F, CU=2t,DDH,CD三CD+DD-CC=4+t2t=4一tt由切线长定理得UE=CD=4-t,由(2)得：解得：廿5-y/2»答：经过秒AABC的边与圆第一次相切：由得C0(2+0.5)t=25t,DDH,则CD=CD+DD-CC=4+t-2.5t=

6、4-1.5t,由切线长BE理得C'EX'D'=4-1.5t,由(1)得：4-1.5t=72解得：JI血，3点B运动的距离为2八一二2羽二20二年血k点睹：本题要求学生熟练掌握圆与直线的位置关系，并结合动点问题进行综合分析，比较复杂，难度较大，考查了学生数形结合的分析能力.3.如图，人是以BC为直径的00上一点，刖_£3c于点D,过点8作00的切线，与CA的延长线相交于点F,G是AD的中点，连结CG并延长与BF相交于点F,延长&F与CB的延长线相交于点P.（1） 求证：BF二EF：（2） 求证：是00的切线：（3） 若尸G物;且00的半径长为3JI,求3

7、D的长度.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析：（3）2迈【解析】分析：（1）利用平行线截三角形得相似三角形，'得kBFC-X06（：支kFEC-XG&C,得到对应线段成比例，再结合已知条件可得用液7（2） 利用直角三角形斜边上的中线的性质和等边对等角，得到Z取0=2旗0,结合3F是圆的切线，得到_L0A,从而得到是圆0的切线：（3） 点F作FH，4D于点H,根据前两问的结论，利用三角形的相似性质即可以求出3D的长度.详解：证明：3C是圆0的直径，BF是圆0的切线,EBLBC.又-&D_LBC,:.AD"'BE.ABFC-卜DGC,4FEC一心G

8、4C,BFCFEFCF DGCG、AGCGBFEFDGAGTG是AD的中点，DG-AGg BF二EF；(2)连接AO,AB. BC是圆0的直径， ZB&C二900,由得：在RtA胡月中，F是斜边3F的中点, AF=FB=EFf可得ZFBA=AFAB,又-OA=OBeZABO=ZBAO, BE是圆0的切线， Z£80=90 ZFB/4+Z>480=90% ZFAB+ZBA0=9ff9即ZFA0=90:.必_L04, 刖是圆0的切线;(3)过点F作FH_L加于点H,：bd±ad9fh±ad,FH11BC,由（2）,知乙FBA二ZBAF,BF=AF.:BF

9、二FG,AF=FG.AFG是等腰三角形. FH±AD, AH二GH,:DG=AG. DG=2HGHGDG2BD,BFWADfZFBD=90 四边形3DHF是矩形， -BD=FH.FH11BCAHFG-4DCG,FH_HG|BDCD2 。的半径长为3八2t ,BC=6迈、:.BD二、BC=2-2点睛：本题考查了切线的判立、勾股左理、圆周角定理、相似三角形的判左与性质结合已知条件准确对图形进行分析并应用相应的图形性质是解题的关键.4.已知A(2,0),B(6,0),CBJLx轴于点B,连接AC画图操作:（尺规作图，保留作图痕迹）（i）在y正半轴上求作点P,使得Z APB=Z ACB理解应

10、用：（2）在（1）的条件下,若tanZAPB=,求点P的坐标当点P的坐标为时，zAPB最大求点P的坐标拓展延伸:<3）若在直线y=2x+4上存在点P,使得zAPB最大,3 AB x【答案】图形见解析（0,2）,（0,4）（0,273）萼3,126）/5【解析】试题分析：（1）以&C为直径画圆交y轴于P,连接、PB,汨6即为所求：（2）由题意&C的中点4（4,4）,以K为圆心4K为半径画圆，交y轴于P和P.易知P（0,2）,P（0,6）:当0K与y轴相切时，Z4处的值最大，（3）如图3中，当经过的园与直线相切时，ZAP8最大.想办法求出点P坐标即可解决问题：试题解析：解：(

11、1)%心如图所示:图11A3如图2中，ZAPB=ZACBftanZ>4CB=tanZAPB=-一一T&(2,0),52BC(6,0),8C=8,AC(6,8),：.AC的中点K(4,4),以K为圆心AK为半径画圆，交y轴于P和巴易知P(0,2),"(0,6)当OK与y轴相切时，为阳的值最大，此时力二於4AC二&BC-JaCI-ABJ®C®4书),K(4,2ifll),P(0,2就-故答案为：(0,2-3)-0),交y轴于交(0, 4)ON _0M - NM、PKl 41rHp(3)如图3中，当经过的园与直线相切时，力朗最大直线y=x+4交x轴

12、于M(-3,.4_3一上.12"-,厂八9PKMK3V55V MP 是切线，二 MP?二 WM3,二 MP=3 $,作.p (匹 3,座)55PK±勿于A：0/VIIPK,点睹：本题考查了一次函数综合题、直线与圆的位置关系、平行线的性质、切线的判左和性质、勾股定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线解决问题，学会构造辅助圆解决最大角问题，属于中考压轴题.5-(1)问题背景如图，BC是00的直径，点A在00土，AB=AC,P为BmC上一动点(不与B,C重合)，求证:JJPA二PB+PC-小明同学观察到图中自点A出发有三条线段AB,AP,AC,且AB二AC,这就

13、为旋转作了铺垫.于是，小明同学有如下思考过程：第一步：将APAC绕着点A顺时针旋转90。至AQAB（如图）：第二步：证明Q,B,P三点共线，进而原题得证.请你根据小明同学的思考过程完成证明过程.（2） 类比迁移如图，00的半径为3,点A,B在00±,C为00内一点，AB二AC,AB_LAC,垂足为A,求0C的最小值.（3） 拓展延伸如图，00的半径为3,点A,B在00±,C为00内一点，AB=yAC,AB，AC,垂足为A,则0C的【答案】（1）证明见解析；（2）0C最小值是3血-3；（3）【解析】试题分析：（2）将PAC绕着点A顺时针旋转90。至QAB（如图），只要证明aA

14、PQ是等腰直角三角形即可解决问题；（2）如图中,连接0%将4OAC绕点0顺时针旋转90。至AQAB,连接OB,0Q,在BOQ中，利用三边关系泄理即可解决问题；（3）如图构造相似三角形即可解决问题.作AQ±0A,使得AQ=|oA,连接0Q,4BQ,0B.由QAB-OAC.推出BQ二一0C,当BQ最小时，0C最小；3试题解析：（1）将PAC绕着点A顺时针旋转90。至ZsQAB（如图）；图 BC是直径，.N BAC=90°,TAB 二 AC, Z ACB 二 Z ABC由旋转可得 Z QBA=Z PCA, Z ACB=Z APB 二 45° ,PC 二 QB, ZPCA

15、+ZPBA二180°,ZQBA+ZPBA二180°，/.Q,BP三点共线， ZQAB+ZBAP=ZBAP+ZPAC=90%/.QP2=AP2+AQ2=2APSQP二加LAP二QB+BP二PC+PB, 72AP=PC+PB.将ZsOAC绕点A顺时针旋转90。至ZxQAB,连接OB,0Q,（2）如图中，连接OA.图AB±ACJ-ZBAC=90°/由旋转可得QB二0C,AQ二0A,ZQAB=ZOAC,/.ZQAB+ZBAO=ZBAO+Z0AC=90°,在RtAOAQ中，OQ二3,A0=3,/.在ZxOQB中，BQ20Q-OB二3返-3,即0C最小值是

16、33；(3)如图中，作AQ_L0A,使得AQ=4oA,连接OQ,BQ,0B.图。QAAB,：ZQAO=ZBAC=90°,ZQAB=ZOAC,/=,OAAC34QAB-OAC,BQ=-OC,3当BQ最小时，0C最小，易知0A=3,AQ二4,0Q=5,BQ>OQ-OB,0Q>2,BQ的最小值为2,3 3,0C的最小值为-x2=-，4 23故答案为了2【点睹】本题主要考查的圆、旋转、相似等知识，能根据题意正确的添加辅助线是解题的关键.6如图1,四边形ABCD是正方形，点E是边BC上一点，点F在射线CM上,ZAEF=90°,AE=EF,过点F作射线BC的垂线，垂足为H,

17、连接AC.试判断BE与FH的数量关系，并说明理由:(2)求证:ZACF=90"；如图2若EC=4, Z CEF=15%求尿的长.连接AF,过A,E,F三点作圆,【答案】(DBE/FH”：理由见解析证明见解析ae=2h【解析】试题分析：由AABE竺aEHF(SAS)即可得到BE二FH(2)由可知AB二EH,而BOAB,FH二EB.从而可知FHC是等腰直角三角形，ZFCH为45°,而ZACB也为45°,从而可证明(3)由已知可知ZEAC=30。，AF是直径，设圆心为0,连接E0,过点E作EN_LAC于点N,则可得ECN为等腰直角三角形，从而可得EN的长，进而可得AE的

18、长，得到半径，得到晶所对圆心角的度数，从而求得弧长试题解析：(i)BE=FH.理由如下： 四边形ABCD是正方形ZB=90 FH±BC-ZFHE=90°又ZAEF二90°ZAEB+Z昭二“90°”且ZBAE+ZAEB=90° ZHEF=ZBAE/.ZAEB=ZEFH又TAE=EF ABE旻ZxEHF(SAS) BE=FH(2)T48£旻4EHF BC二EH,BE=FH又TBE+EOEC+CH二BE二“CH” CH=FHZFCH二45。,ZFCM=45°VAC是正方形对角线,ZACD=45°ZACF=ZFCM+ZAC

19、D=90°(3)AE=EF,/.AEF是等腰直角三角形AEF外接圆的圆心在斜边AF的中点上设该中点为0-连结E0得ZA0E=90。过E作EN_LAC于点NRtAENC中，EC=4,ZECA=45%EN=NC=272RtAENA中，EN=272又.ZEAF=45°ZCAF=ZCEF=15°(等弧对等角) ZEAC=30° AE二4旋RtAAFE中，AE=4ji=EF,/.AF=8AE所在的圆0半径为4,其所对的圆心角为ZA0E=90°屋=2ti4-(90律360°)=2n考点：1、正方形；2、等腰直角三角形；3、圆周角定理：4、三角函数

20、7.如图，过。0外一点P作00的切线PA切。0于点A,连接P0并延长，与00交于C、D两点，M是半圆CD的中点，连接AM交CD于点N,连接AC、CM(1)求证:CM=MN.MA；(2)若NP=3O°,PC=2,求【答案】(1)见解析：(2)CM二2迈【解析】【分析】(1) 由CV二DM知ZC4M=ZDCM,根zCMA二ZNMC据证AAMC-ACMN即可得:(2) 连接0A、DM,由直角三角形PA0中ZP=30。知0A=gpO=*(PC+CO)，据此求得0A=0C=2,再证三角形CMD是等腰直角三角形得CM的长.【详解】(l)V00中，M点是半圆CD的中点，,-CM=DM,ZCAM二乙

21、DCM,又-ZCMA=ZNMC,:.AAMCXMN,CMAMg；1aq即CM?=MNMA；MlVCAt(2)连接。4、DM>叩人是0。的切线，/.ZPAO=90%又”=30o,.04=_LP0=±(PC+CO),22设00的半径为r,:PC=2、.二*(2+尸)'解得：r=2,又-必是直径，:ZCMD=90°,CM=DM,K跖是等腰直角三角形，二在RtACMD中，由勾股定理得二0KP2GW2=(2r):二16,则CM?=8,/.CM=2>/2【点睛】本题主要考查切线的判左和性质，解题的关键是掌握切线的性质、圆周角定理、相似三角形的判定和性质等知识点&am

22、p;已知AC=DC,AC±DC,直线M/V经过点A,作DB±W,垂足为B,连结CB.感知如图，点久8在CD同侧，且点3在AC右侧，在射线上截取二能连结出可ilEABCD'ECA.从而得出EC=BCe1ECB=90进而得出ZABC=度：探究如图，当点&、B在CD异侧时，感知得出的Z46C的大小是否改变？若不改变，给出证明：若改变，请求出迎的大小.应用在直线M/V绕点A旋转的过程中，当ZBCD二30。，时，直接写出BC的长.【答案】【感知】：45：【探究】：不改变，理由详见解析；【拓展】：BC的长为W+1或护-1.【解析】【分析】感知证明BCD"AEC

23、A(S4S)即可解决问题；探究结论不变，证明BCD"AECA64切即可解决问题：应用分两种情形分别求解即可解决问题.【详解】解：【感知】，如图中，在射线上截取力£二四连结CE- ZACD=ZDBA=9(f.:.ZCDB+ZCAB=180°. ZC&8+ZCAE=180°:.ZD=ZCAE.TCD=AC,AE=BDf:.ABCD'AECA(SAS), BC二EC,乙BCD=ZECA, ZACE+ZECD=90% ZECD+ZDCS=90%即ZECB=90 ZABO45。.故答案为45【探究】不改变.理由如下：如图，如图中，在射线人“上截取力

24、£二我7连接CE,设MN与CD交于点0. ZACD=Z08/4=90%.ZAOC=ZDOB, ZD=ZEACfCD二AC. ZBCD'AECA(SAS), BC二EC、乙BCD=ZECA, ZACE+ZECD=90。， ZfCD+ZDCB=90°9即Z反方二90°g Z&BC=45°.【拓展】图 ZACD+ZABD=180.fHAfC,D,3四点共圆， -1DAB=ZDCB=30°9/.&3=BbD=、I® ,EB=AE+AB=®/ EC3是等腰直角三角形，EBBC=-如+1如图中，同法可得比公-1.

25、综上所述，BC的长为或-1.【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的判左和性质，全等三角形的判左和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题.9.如图，力是大半圆0的直径，“是小半圆M的直径，点P是大半圆。上一点，P/L与小半圆M交于点C,过点C作CD±°口于点D.（1） 求证：CD是小半圆M的切线：（2） 若力6=S点P在0上运动（点P不与两点重合），设PD=x,CD=y. 求1与丸之间的函数关系式，并写出自变量丸的取值范围； 当y=3时，求EM两点之间的距离.【答案】（2）见解析：（2）二-必+4x,0&l

26、t;%<4,EM两点之间的距离为2护或27【解析】【分析】（1） 连接CO、CM,只需证到CD_LCM.由于CD_LOP,只需证到CMIIOP,只需证到CM是、AOP的中位线即可.（2） 易证ODCCDP,从而得到CD2=DP0D,进而得到y与x之间的函数关系式.由于当点P与点A重合时x=0,当点P与点B重合时x=4,点P在大半圆0上运动（点P不与A,B两点重合），因此自变量x的取值范围为0<x<4.当y二3时，得到-x?+4x=3,求出x.根据x的值可求出CD、PD的值，从而求出ZCPD,运用勾股定理等知识就可求出P,M两点之间的距离.【详解】（1）连接。，如图所示川。是小

27、半圆M的直径,"CO=900即CO_L"NOA=OPCM/P0zMCD=zPDC,.CDOPCD10PtZPDC=90°ZMCD=90°.,即喜1CMCD经过半径CM的外端，且缪/：.直线CD是小半圆M的切线./_ULcd_L，-乙OCP二LODC二乙CDP=90°乙OCD=90°-乙DCP=LP-40DCT如9CDOD'DP=CDOf=DP-ODo1PD=xfilf=y90P二严二4. .y-x(4-X)=-*+4x当点P与点4重合时，x=0：当点口与点B重合时，x=4点P在大半圆°上运动(点P不与人两点重合)，

28、0<x<4y与X之间的函数关系式为y/%自变量%的取值范围是。vxv4.当y=3时，-/+4x=3解得刁=1/2=3I华二1时，如图2所示图2在RSCDP中,VPD=1,CD=y/3CD ,tanzCPD= 乙CPD=60°NOA=OPf:.N尸是等边三角形 AM-OM ?1_£力oPM=yl'PO一Q=a/4:2.2B.口当=3时,如图3所示,图3同理可得乙CPD=30°OA=OP LOAP=乙APO=30°.I0B=60°过点P作PH±/IB,垂足为，连接PM,如图3所示PHPH.Psir/OH=-=X-,阳二2、B同理0H=2在RtAMHP中，MH=4,PH=2,f3PM=+PH2=j42+(2®2=v综上所述，当y=3时，P,M两点之间的距离为23或27【点睛】考查了