将探究性学习引入数学课堂教学

1、将探究性学习引入数学课堂教学 一道课本例题的开发利用 上海市松江二中 黄继红上海二期课改高中数学教材由“基础内容、拓展内容、探究与实践”三部分组成，教师在处理“探究与实践”内容时，很多人只是把教材中的探究内容和作业作为应用题讲一下，缺少真正意义上的探究。实质上，“探究性学习”是一种教学理念，是对以“接受性学习”为主的传统课堂教学理念的一种挑战方式，它是强调以学生的探究活动为中心的开放式学习，在此过程中应显现学生的学习主动性、自主性与创造性等。因此，高中数学“探究性学习”不应仅仅局限于教材的“探究与实践”内容，而应辐射到数学的各个分支，因为对数学的每一个问题都可以探讨研究，可以说数学学科的“探究

2、性学习”无处不有。下面是本人就“一道课本例题的开发利用”开展 “探究性学习”的一个课例。二期课改教材高中数学一年级第一学期课本P81有这样一道例题：设f(x)=x,g(x)=,p(x)= f(x)+ g(x),求p(x),并利用y= f(x)及y= g(x)的图象作出y=p(x)的图象。此题看似平常，实则内涵丰富，有着广阔的开发利用前景。经过充分思考，我以此题为基础进行延伸，挖掘原题的潜在功能，课堂实际证明效果很好。1. 课例1.1 教学目标1. 掌握关于x函数y=ux+ (uv)的图象与性质，并会利用其解决形如关于x函数y=()的有关性质。 2. 创设问题情景，通过启发、诱导，与学生一起经历

3、函数y= ux+ (uv)的图象与性质及其应用的探究过程，体验特殊一般特殊、具体抽象具体的科学探究方法，增强学生对转化、数形结合和分类讨论等思想方法的理解，培养学生观察、分析、归纳、猜想、类比、抽象、概括等逻辑思维能力。3. 在学习过程中，通过学生自主探究和合作学习相结合的方式，培养学生主动探究和合作的精神，促进班级“学习共同体”的形成。1.2 教学重点、难点重点： 函数y= ux+ (uv)的性质的发现、证明和应用。难点：形如函数y=()的最值问题的转化 。1.3 教学模式：自主探究合作1.4 学生现状 松江二中高一实验班的学生，已经学习二期课改教材高中数学一年级第一学期课本的前三章内容，掌

4、握了正比例函数、反比例函数、一次函数和二次函数的图象与性质，并学会了形如函数y=(c,ad)的图象与性质的研究方法，能应用其性质解决有关问题。为了研究方便，我和学生对假分式函数和真分式函数作了如下的定义：对于一个分式函数，若分子的次数大于或等于分母的次数，则这个分式函数称为假分式函数；反之，称为真分式函数。显然，假分式函数可以变形为一个整式函数与一个真分式函数的和。1.5 教学过程 (课堂实录)1. 复习回顾，提出课题教师：前面我们研究了分式函数y=(c,ad)的图象与性质，请各位回忆以下其研究的途径和方法。学生1：分式函数y=(c,ad)可以变形为y=m+(n)的形式，利用函数图象的平移规律

5、可知，原函数y=图象可由基本函数y=图象向左（右）、上（下）平移而得，然后类比y=的性质来研究y=的性质。教师：也就是说分式函数y=通过变形可转化为反比例函数y=研究，“转化”是数学中重要的数学思想方法，可以达到“化生为熟”的目的。同学们，你们是否考虑过若分式函数y=的分子或分母的次数升为二次，那么形如函数y=()的性质如何研究？今天我们就来研究这个问题。我们把刚才的抽象、一般问题具体化、特殊化，请看课本P81例2，可以发现函数p(x)=（）是y=()的一个特例。由此，你们能确定这个问题的探究方案吗？2. 自由辩论，确定方案学生2：我认为先研究a的情形，利用假分式函数可以变形为一个整式函数与一

6、个真分式函数的和的特点，可把y=变形为y=u(x-k)+h的和，然后利用函数图象的平移规律，把原问题的研究转化为函数y= ux+性质的研究。教师：很好，a的情形确实可以达到这样的转化目的。其他情形怎么处理呢？学生3：我认为当p时，可先研究（）的性质，再利用的互倒关系，进一步研究原函数的性质。学生4：当a时，利用假分式函数可以变形为一个整式函数与一个真分式函数的和的特点，可先把原函数变形为一个常数与一个真分式函数的和，再仿造学生3的办法继续研究。教师：非常好！我们一起来回顾一下刚才三位同学提出的研究方案。（大屏幕显示研究方案）（1） 当a时，（q=0或v=0的情形比较简单，由学生自行研究）y=

7、变形y=u(x-k)+h平移y= ux+ (uv)；（2） 当p时，利用的互倒关系，转化为（1）；（3） 当a时，利用变形可转化为（2），进而转化为（1）。教师：可见，我们只需探究y=ux+ (uv)性质，就能进一步研究y=()的性质。那么如何研究y=ux+ (uv)性质呢？这是本课研究的重点。 事实上，y=ux+ (uv)是由一个正比例函数y=ux与一个反比例函数y=的和构成的函数，我们知道，正比例函数y=ux性质的研究必须分u >0和u>0讨论，反比例函数y=性质的研究必须分v >0和v<0讨论。那么，y=ux+ (uv)性质的研究须分几种情况研究呢？学生5：四种情

8、况讨论，即（1）u >0， v >0；（2）u >0 ，v<0 ；（3）u<0， v >0；（4）u<0， v<0.学生6：我认为不需要分四种讨论，因为利用图象的对称关系，可以将情形（3）与（4）的研究分别转化为（2）与（1）的情况。教师：很好，同学们能灵活应用分类讨论和转化思想将y=ux+ (uv)性质的研究归为两种情况研究。那么，如何开展（1）与（2）的研究呢？学生7：仿照课本P81例题，用图象的叠加法先作出y=ux+图象，再探究其性质。教师：当然可以，如果从解析式本身入手，不便研究其性质时，我们经常采用先描点作出草图，然后发现并证明其性质。

9、同学们，你们若从函数式入手，能得到哪些性质呢？学生8：不妨先看两个具体的函数y=x+和y= x-，由奇偶函数的定义，很容易证得这两个函数是奇函数，则它们的图象关于原点对称；由基本不等式可得y=x+（x）的值域是；因为y=x(x)是增函数、y=-在x>0和x<0时分别都是增函数，所以y=x-在x>0和x<0时也都是增函数，而且其值域是R。教师：学生8通过一般问题特殊化，让我们清晰地看到，从函数式本身入手能直接研究一些性质，当然，如果数与形相结合，那么我们对y=ux+的图象与性质研究更深入。下面就请各位利用数形结合先研究y=x+和y=x-的图象与性质，然后进一步研究y=ux

10、+的一般情况。按照课前分好的小组在组内研究，重点是研究（1）u >0， v >0；（2）u >0 ，v<0情况，有时间的小组可以研究所有情况。3. 小组学习，突破重点将全班划分为十个小组，在各小组内进行。教师引导，学生自主探究，合作学习，交流研究方法和研究成果。各组组内展开讨论，提出方法并自主探索性质，教师在学生探索的过程中进行巡视，了解学生的进展情况。发现有的组在探索的过程中遇到了困难，老师根据实际情况进行了引导，并参与了某些组的讨论。在整个过程中，同学们都能积极思考问题，参与的热情很高，提出了很多解决的思路。4 .班级讨论，展示成果要求各小组简述解决方案以及解决的思

11、维过程并展示研究结果。教师：我们的探究到此先暂告一个段落。下面请各组的同学来展示一下你们的研究成果。要求用实物投影打出你们的推导过程，简述你们的解决方法、思维过程，语言要尽量简练。第一小组：（由学生9代表第一小组发言）学生9：我们的方法主要是通过先由图象叠加作出y=ux+ 的图象，接着由图象猜想函数性质，然后证明猜想正确。下面是我们组得到的探究成果。当u >0， v >0时，y=ux+ 的图象位于一、三象限的两支曲线组成，与直线y=ux和y轴无限接近不能相交； 函数y=ux+在上单调减，在（）上单调增，在（）上单调增，在（）上单调减。（单调性的证明过程投影略）教师：学生9借助“形”

12、助“数”的思想，采用猜想与证明的途径研究了情形（1）的函数的单调性，不错嘛！学生9：不过，我组研究的进程较慢，还没研究其它任务呢。教师：希望你们进一步完成你们的研究。其他小组的进展如何呢？第二小组：（由学生10代表第二小组发言）学生10：我们的方法是先判断函数y=ux+是奇函数，接着研究x>0时的图象与性质，然后根据奇函数的图象性质直接判断x<0时的性质。所以，除了得到第一组的性质外，我们发现和证明了：当u >0， v >0时，y=ux+ 的图象的两支曲线关于原点中心对称，第一象限有一最低点（），第三象限有一最高点（-）。当u >0 ，v<0时，y=ux+

13、是奇函数，它的图象的两支曲线关于原点中心对称，仍与直线y=ux和y轴无限接近不能相交，但是与（1）比较位置改变了，因为y=ux与y= 都是增函数，所以y=ux+在分别是增函数，其值域是R。（投影略）（同学和教师鼓掌）教师：学生10先借助“数”助“形”，由奇函数的判断，使得研究的工作量减少了一半。然后又借助“形”助“数”的思想，严密论证了观察猜想的结论。提高了研究的效率。第三小组：（由学生11代表第三小组发言）学生11：除了第二小组的研究成果外，我们还发现情形（1）和（2）的两个函数图象有一定关系。它们都与直线y=ux和y轴无限接近不能相交，而且正好分布于这两条直线的四个夹角内。（投影略）（没等

14、学生11说完，第四小组的学生12迫不及待地站起来）教师：学生12你就代表第四小组发言吧。学生12：其实学生11说的有点错误，（其他同学窃笑）只有当情形（1）和（2）的u相同，v互为相反数时才成立这种位置关系。（其他同学恍然大悟，掌声又一次响起来了）教师：学生11和学生12不仅探究了情形（1）和（2），还对两种不同情形作了横向探究，使清晰地看到了问题间的内在联系，但得注意条件，正如学生12所说。其他小组还有啥新成果呢？第五小组：（由学生13代表第五小组发言）学生13：听了刚才大家的发言，我试着画了y=x+,y=x-,y=-x+,y=-x-的四个函数图象，发现y=x+与y=x-的图象有共同的渐进线

15、，y=-x+与y=-x-也有共同的渐进线。这是巧合吗？教师：在一定程度上，提出问题比解决问题更难！待我们学完高二的双曲线后，我们会明白其中的道理，其实，他们是一对共轭双曲线，也就是说y=ux+（）的图象本质上是双曲线。还有问题吗？第六小组：（由学生14代表第五小组发言）学生14：老师，研究了半天，我们似乎还没解决完本课的话题。教师：学生14提醒我们看一下黑板上今天研究的课题题目（函数y=()的性质），我再一次再大屏幕上显示上课初研究方案：（4） 当a时，（q=0或v=0的情形比较简单，由学生自行研究）y= 变形y=u(x-k)+h平移y= ux+ (uv)；（5） 当p时，利用的互倒关系，转化

16、为（1）；（6） 当a时，利用变形可转化为（2），进而转化为（1）。学生14：其实我们已经研究好了。5.课堂小结，呈现表格教师：我们这节课主要研究y=ux+ (uv)的图象与性质，并利用恒等变形及图象变换规律将形如函数y=()的性质研究转化为y=ux+解决。刚才大屏幕显示的是转化结构图。下面请大家重点小结y=ux+ (uv)的图象与性质，要求以表格。学生15：设计如下表格由学生15用投影展示自己的表格，在大家的合作下，经过几次修改，形成如下表格。教师：请大家填写表格。解析式y=ux+ (uv)图象（双曲线）u >0， v >0u >0 ，v<0u <0 ，v>

17、;0u <0 ，v<0定义域值域对称中心渐进线单调性教师：在我们探究本课题的过程中都用到了哪些的数学思想方法？学生16：函数y=变形为y=ux+研究。教师：实际上应用了转化的思想。y=ux+四种情况的研究也化归为两种讨论。学生17：在上述转化之前，我们对各种情形进行了分类讨论。教师：不错，当遇到的问题比较复杂，不能一次性研究，可以选择某一标准进行分类研究，这是一种很重要的数学思想。学生18：在探究y=ux+的性质时，我们使用图象的直观作用。教师：实际上就是数形结合的思想。有没有注意到解决问题的其他方法呢？学生（很多学生回答）：要注意抽象问题具体化和一般与特殊的思考。教师：同学们的体

18、会很深刻，这对于我们今后的学习是有帮助的。课后请进一步落实今天的知识，围绕课题自编题目，加强应用。下课。2.对教学案例的反思2.1关于教学内容的思考分式函数y=(c,ad)和y=()是两个常见函数，曾经在全国高考试卷中多次考查过这两个函数模型的性质，但几乎没有哪一版本教材或辅导书对它作过专门研究，而每一届的高三学生在解决有关这两类函数性质的问题时，大多感到无头无绪。作为高一学生，若不给予科学研究方法的指导学习这两类函数，则情况更是不堪设想。上海二期课改高中数学教材高一年级第一册课本P81例题2：设f(x)=x,g(x)=,p(x)= f(x)+ g(x),求p(x),并利用y= f(x)及y=

19、 g(x)的图象作出y=p(x)的图象，给了我很大的启发。经过充分思考，结合我的教学对象市重点中学实验班高一学生，决定：在我的课时计划中增加两节“探究性学习”内容，也就是这两类分式函数性质的探究。通过实践，效果确实很好。本课例是第二课时。知识经济时代，人们把知识分成是什么、为什么、怎么样、谁知道四类。其中是什么、为什么的知识通常称为"编码的知识"。随着计算机技术的不断完善，这类知识中的绝大多数会编成码，输入计算机。怎么样、谁知道的知识，无从编码，通常称为"难于表述的知识"。未来的学校教育将主要不是讲授编码知识，而是教给学生难于表述的知识，也就是教给学生如

20、何学习。为此，我确定本课例的设计目的：本课教学不仅仅是课本知识的一个补充，更应是学生如何探究函数性质的一次体验，所以将科学研究方法论和数学思想方法的学习作为作为本课教学的重要内容。2.2关于教学方法的思考美国著名数学教育家波利亚指出：“思想是从学生头脑中产生出来的，教师仅仅起着一个助产婆的作用”。教师的角色，应从知识的传播者转为学生主动学习、主动探索的指导者和促进者。著名数学特级教师马明在一次研究课后的点评中指出：“教学过程是一个数学的文化过程，是育人的过程，是学生自主学习、自主探索、合作交流、实践创新的过程，学生是学习的主人，他们在这个过程中享受到一次参与后成功的喜悦，情感领域得到丰富的发展。而教师适时介入，成为学生学习的组织者、引导者和合作者。我们反对告诉教育、复制教育。”为此，在认真钻研教材、课标的同时，我们应更新教学理念，改革课堂教学模式，真正确立以学生为主体的课堂教学观，提高课堂教学质量。本课以“自主探究合作”为模式就是作为改革传统课堂教学的一次实践。2.3值得总结的几个特点1. 主题与主线突出本课以学生自主探究作为主题。探究内容不仅是函数y= ux+ (uv)的