全国高中数学联赛试题及解答6

1、1990年全国高中数学联赛第一试(10月14日上午8001000)一选择题(本题满分30分，每小题5分)1设(，),则(cosa)cosa，(sina)cosa，(cosa)sina的大小顺序是A(cosa)cosa<(sina)cosa<(cosa)sinaB(cosa)cosa<(cosa)sina <(sina)cosa C(sina)cosa<(cosa)cosa<(cosa)sina D(cosa)sina <(cosa)cosa<(sina)cosa2设f(x)是定义在实数集上的周期为2的函数，且是偶函数，已知当x2,3时，f(x)=

2、x，则当x2,0时，f(x)的解析式是( )Af(x)=x+4 B f(x)=2-x C f(x)=3|x+1| D f(x)=2+|x+1|3设双曲线的左右焦点是F1、F2，左右顶点是M、N，若PF1F2的顶点P在双曲线上，则PF1F2的内切圆与边F1F2的切点位置是( ) A在线段MN内部 B在线段F1M内部或在线段NF2内部 C点M或点N D不能确定的4点集(x，y)|lg(x3+y3+)=lgx+lgy中元素个数为( ) A0 B1 C2 D多于25设非零复数x、y满足x2+xy+y2=0，则代数式+的值是( ) A21989 B1 C1 D以上答案都不对6已知椭圆+=1(a>b

3、>0)通过点(2，1)，所有这些椭圆上满足|y|>1的点的集合用阴影表示是下面图中的( )二填空题(本题满分30分，每小题5分)1设n为自然数，a、b为正实数，且满足a+b=2，则 +的最小值是 2设A(2，0)为平面上一定点，P(sin(2t60°)，cos(2t60°)为动点，则当t由15°变到45°时，线段AP扫过的面积是 3设n为自然数，对于任意实数x，y，z，恒有(x2+y2+z2)2n(x4+y4+z4)成立，则n的最小值是 4对任意正整数n，连结原点O与点An(n，n+3)，用f(n)表示线段OAn上的整点个数(不计端点)，试求

4、f(1)+f(2)+f(1990)5设n=1990，则 (13C+32C33C+3994C3995C= 68个女孩与25个男孩围成一圈，任何两个女孩之间至少站两个男孩，则共有 种不同和排列方法(只要把圆旋转一下就能重合的排法认为是相同的)三(本题满分20分)已知a，b均为正整数，且a>b，sin=，(其中0<<)，An=(a2+b2)nsinn求证：对于一切自然数n，An均为整数四n2个正数排成n行n列a11 a12 a13 a14 a1na21 a22 a23 a24 a2na31 a32 a33 a34 a3na41 a42 a43 a44 a4nan1 an2 an3

5、an4 ann其中每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，并且所有公比相等已知a24=1，a42=，a43=，求a11+a22+ann五设棱锥MABCD的底面为正方形，且MA=MD，MAAB，如果AMD的面积为1，试求能够放入这个棱锥的最大球的半径第二试(10月14日上午10301230)一(本题满分35分)四边形ABCD内接于圆O，对角线AC与BD相交于P，设三角形ABP、BCP、CDP和DAP的外接圆圆心分别是O1、O2、O3、O4求证OP、O1O3、O2O4三直线共点 OOABCDP1OOO234F二(本题满分35分)设 E=1，2，3，200， G=a1，a2，a100E且G具有下

6、列两条性质： 对任何1i<j100，恒有 ai+aj201； ai=10080试证明：G中的奇数的个数是4的倍数且G中所有数字的平方和为一个定数三(本题满分35分)某市有n所中学，第i所中学派出Ci名代表(1Ci39，1in)来到体育馆观看球赛，全部学生总数为Ci=1990看台上每一横排有199个座位，要求同一学校的学生必须坐在同一横排，问体育馆最少要安排多少横排才能够保证全部学生都能坐下1990年全国高中数学联赛(解答)第一试一选择题(本题满分30分，每小题5分)1设(，),则(cosa)cosa，(sina)cosa，(cosa)sina的大小顺序是A(cosa)cosa<(s

7、ina)cosa<(cosa)sinaB(cosa)cosa<(cosa)sina <(sina)cosa C(sina)cosa<(cosa)cosa<(cosa)sina D(cosa)sina <(cosa)cosa<(sina)cosa (1990年全国高中数学联赛)解：(，)Þ0<cos<sin<1， (cosa)cosa<(sina)cosa；(cosa)sina<(cosa)cosa；选D 2设f(x)是定义在实数集上的周期为2的函数，且是偶函数，已知当x2,3时，f(x)=x，则当x2,0时，f(

8、x)的解析式是( )Af(x)=x+4 B f(x)=2-x C f(x)=3|x+1| D f(x)=2+|x+1|解 设x2,1,则x+42,3,于是f(x+4)=x+4，但f(x)= f(x+4)=x+4 (x2,1)，又设x1,0)，则x(0,1,故f(x)=x+2，由f(x)= f(x)=x+2 (x1，0).f(x)=3|x+1|=故选C3设双曲线的左右焦点是F1、F2，左右顶点是M、N，若PF1F2的顶点P在双曲线上，则PF1F2的内切圆与边F1F2的切点位置是( ) A在线段MN内部 B在线段F1M内部或在线段NF2内部 C点M或点N D不能确定的解：设内切圆在三边上切点分别为

9、D、E、F，当P在右支上时，PF1PF2=2a但PF1PF2=F1DF2D=2a，即D与N重合，当P在左支上时，D与M重合故选C4点集(x，y)|lg(x3+y3+)=lgx+lgy中元素个数为( ) A0 B1 C2 D多于2解：x3+y3+=xy>0但x3+y3+3=xy，等号当且仅当x3=y3=时，即x=，y=时成立故选B5设非零复数x、y满足x2+xy+y2=0，则代数式+的值是( ) A21989 B1 C1 D以上答案都不对解：=或2，其中=cos120°+isin120°1+2=0且3=1若=，则得()1990+()1990=1若=2，则得()1990+

10、()1990=1选B6已知椭圆+=1(a>b>0)通过点(2，1)，所有这些椭圆上满足|y|>1的点的集合用阴影表示是下面图中的( )解：+=1，由a2>b2，故得<1<+=，1<b<+=1Þ<1，a2>5故选C二填空题(本题满分30分，每小题5分)1设n为自然数，a、b为正实数，且满足a+b=2，则 +的最小值是 解：ab()2=1，从而anbn1，故 + = 1等号当且仅当a=b=1时成立即所求最小值=12设A(2，0)为平面上一定点，P(sin(2t60°)，cos(2t60°)为动点，则当t由15

11、°变到45°时，线段AP扫过的面积是 解：点P在单位圆上，sin(2t60°)=cos(150°2t)，cos(2t60°)=sin(150°2t).当t由15°变到45°时，点P沿单位圆从(，)运动到(,)线段AP扫过的面积=扇形面积=3设n为自然数，对于任意实数x，y，z，恒有(x2+y2+z2)2n(x4+y4+z4)成立，则n的最小值是 解：(x2+y2+z2)2=x4+y4+z4+2x2y2+2y2z2+2z2x2x4+y4+z4+(x4+y4)+(y4+z4)+(z4+x4)=3(x4+y4+z4)等号

12、当且仅当x=y=z时成立故n=34对任意正整数n，连结原点O与点An(n，n+3)，用f(n)表示线段OAn上的整点个数(不计端点)，试求f(1)+f(2)+f(1990)解 线段OAn的方程为y=x(0xn)，故f(n)等于该线段内的格点数若n=3k(kN+)，则得y=x (0xn)(kN*)，其内有两个整点(k，k+1)，(2k，2k+2)，此时f(n)=2；若n=3k±1(kN+)时，则由于n与n+3互质，故OAn内没有格点，此时f(n)=0 f(1)+f(2)+f(1990)=2=13265设n=1990，则 (13C+32C33C+3994C3995C= 解：取(+i)19

13、90展开的实部即为此式而(+i)1990=+i故原式=68个女孩与25个男孩围成一圈，任何两个女孩之间至少站两个男孩，则共有 种不同和排列方法(只要把圆旋转一下就能重合的排法认为是相同的)解：每个女孩与其后的两个男孩组成一组，共8组，与余下9个男孩进行排列，某个女孩始终站第一个位子，其余7组在8+91个位子中选择7个位子，得C=C种选法7个女孩可任意换位，25个男孩也可任意换位，故共得C7!25!种排列方法三(本题满分20分)已知a，b均为正整数，且a>b，sin=，(其中0<<)，An=(a2+b2)nsinn求证：对于一切自然数n，An均为整数证明：由sin=，得cos=

14、记An=(a2+b2)ncosn当a、b均为正整数时，A1=2ab 、B1=a2b2均为整数A2=4ab(a2b2)，B2=2(a2b2)2(a2+b2)2也为整数若Ak=(a2+b2)ksink、Bk=(a2+b2)kcosk均为整数，则Ak+1=(a2+b2)k+1sin(k+1)=(a2+b2)k+1sinkcos+(a2+b2)cosksin=AkB1+A1Bk为整数 Bk+1=(a2+b2)k+1cos(k+1)=(a2+b2)k+1coskcos(a2+b2)k+1sinksin=BkB1AkA1为整数由数学归纳原理知对于一切nN*，An、Bn为整数四n2个正数排成n行n列a11

15、a12 a13 a14 a1na21 a22 a23 a24 a2na31 a32 a33 a34 a3na41 a42 a43 a44 a4nan1 an2 an3 an4 ann其中每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，并且所有公比相等已知a24=1，a42=，a43=，求a11+a22+ann(1990年全国高中数学联赛)分析 由a42、a43或求a44，由a24，a44可求公比解 设第一行等差数列的公差为d，各列的公比为q a44=2a43a42=由a44=a24q2，得， q=. a12=a42q3=1 d= = ， a1k=a12+(k2)d=k(k=1，2，3，n) akk

16、=a1kqk1=k·()k1=()k·k令Sn= a11+a22+ann则 SS=+ = + =1. S=2五设棱锥MABCD的底面为正方形，且MA=MD，MAAB，如果AMD的面积为1，试求能够放入这个棱锥的最大球的半径解：取AD、BC中点E、F，则MEAD，ABMA，ABAD，ÞAB平面MAD， 平面MAD平面ABC ME平面ABC 平面MEF平面ABC EFAB，故EF平面MAD， 平面MEF平面MAD BCEF，BCME， BC平面MEF，平面MEF平面MBC设AB=a，则ME= ，MF=a+2，2取MEF的内切圆圆心O，作OPEF、OQME，ORMF，由

17、于平面MEF与平面MAD、ABC、MBC均垂直，则OP、OQ、OR分别与平面ABC、MAD、MBC垂直从而以此内切圆半径为半径的球与平面MAD、ABC、MBC都相切， 设此球的半径为r，则 r=(a+)=1等号当且仅当a=，即a=时成立作QHMA，由于OQAB，故OQ平面MAB，故球心O与平面MAB的距离=QH，当AB=，ME=，MA=，MQ=(1)=1 MQHMAE，=，QH=>1即O与平面MAB的距离>r，同理O与平面MCD的距离>r故球O是放入此棱锥的最大球 所求的最大球半径=1第二试(10月14日上午10301230)一(本题满分35分)四边形ABCD内接于圆O，对角

18、线AC与BD相交于P，设三角形ABP、BCP、CDP和DAP的外接圆圆心分别是O1、O2、O3、O4求证OP、O1O3、O2O4三直线共点 证明 O为ABC的外心， OA=OB O1为PAB的外心，O1A=O1B OO1AB作PCD的外接圆O3，延长PO3与所作圆交于点E，并与AB交于点F，连DE，则Ð1=Ð2=Ð3，ÐEPD=ÐBPF， ÐPFB=ÐEDP=90° PO3AB，即OO1PO3同理，OO3PO1即OO1PO3是平行四边形 O1O3与PO互相平分，即O1O3过PO的中点同理，O2O4过PO中点 OP、

19、O1O3、O2O4三直线共点二(本题满分35分)设 E=1，2，3，200， G=a1，a2，a100E且G具有下列两条性质： 对任何1i<j100，恒有 ai+aj201； ai=10080试证明：G中的奇数的个数是4的倍数且G中所有数字的平方和为一个定数证明：取100个集合：ai，bi：ai=i，bi=201i(i=1，2，100)，于是每个集合中至多能取出1个数于是至多可以选出00个数现要求选出100个数，故每个集合恰选出1个数把这100个集合分成两类： 4k+1，2004k； 4k1，2024k每类都有50个集合设第类选出m个奇数，50m个偶数，第类中选出n个奇数，50n个偶数于

20、是1m+0(50m)+(1)n+2(50n)100800(mod 4)即m3n0(mod 4)，即m+n0(mod 4) G中的奇数的个数是4的倍数 设选出的100个数为x1，x2，x100，于是未选出的100个数为201x1，201x2，201x100故x1+x2+x100=10080 x12+x22+x1002+(201x1)2+(201x2)2+(201x100)2=2(x12+x22+x1002)2×201×(x1+x2+x100)+100×2012=2(x12+x22+x1002)2×201×10080+100×2012=12+22+32+2002 x12+x22+x1002=(12+22+32+2002)+2×201×10080100×2012=×200×201×401+201×2016020100&