第六章质点组角动量定理与守恒定律

1、第六章第六章 质点组角动量定理与守恒定律质点组角动量定理与守恒定律本章历史性简介和内容提要本章历史性简介和内容提要 一、一、质点角动量定理质点角动量定理 二、二、质点组角动量定理与守恒定律质点组角动量定理与守恒定律 三、三、有心力场问题有心力场问题 四、四、守恒律与对称性守恒律与对称性 本章知识单元与知识点小结本章知识单元与知识点小结下一页下一页力学力学电子教案电子教案本章目标：本章目标：力引起的转动效果规律力引起的转动效果规律力矩：力矩：起源于古希腊阿基米德对杠杆的研究，在静力学中体现的是力引起物起源于古希腊阿基米德对杠杆的研究，在静力学中体现的是力引起物体转体效果的一个物理量体转体效果的一

2、个物理量角动量、力矩与角动量的关系以及角动量守恒：角动量、力矩与角动量的关系以及角动量守恒：以牛顿第二定理为基础讨论力矩引起物体加速转动效果时引入和导出以牛顿第二定理为基础讨论力矩引起物体加速转动效果时引入和导出角动量及其守恒的物理思想广泛应用于物理学的各个领域中。角动量及其守恒的物理思想广泛应用于物理学的各个领域中。本章以牛顿第二定律为基础本章以牛顿第二定律为基础，总结力与物体转动效果的规律，并给出力矩、总结力与物体转动效果的规律，并给出力矩、角动量等概念的现代定义。角动量等概念的现代定义。主要包括：主要包括：质点的角动量定理，质点组角动量定理与守恒定律，有心力场问质点的角动量定理，质点组角

3、动量定理与守恒定律，有心力场问题，守恒律与对称性的关系等内容。题，守恒律与对称性的关系等内容。本章历史性简介和内容提要本章历史性简介和内容提要返回上级目录返回上级目录返回主目录返回主目录上一页上一页下一页下一页力学力学电子教案电子教案质点角动量定理质点角动量定理 力的力矩力的力矩 质点角动量质点角动量质点角动量守恒质点角动量守恒质点角动量定理质点角动量定理 一、质点角动量定理一、质点角动量定理返回上级目录返回上级目录返回主目录返回主目录上一页上一页下一页下一页力学力学电子教案电子教案质点角动量定理质点角动量定理 返回主目录返回主目录上一页上一页下一页下一页力学力学电子教案电子教案返回主目录返回

4、主目录上一页上一页下一页下一页力学力学电子教案电子教案从上述推导过程可以看出质点角动量定理成立的条件从上述推导过程可以看出质点角动量定理成立的条件: : 1. 1. 在惯性系下成立，对于非惯性系，要加入在惯性系下成立，对于非惯性系，要加入惯性力惯性力的的力矩力矩。 2. 2. 就力矩和角动量的定义而言，力和角动量对任何参考点都有相就力矩和角动量的定义而言，力和角动量对任何参考点都有相应的力矩和角动量，但要应的力矩和角动量，但要应用角动量定理时应用角动量定理时，力矩力矩和和角动量角动量必须必须对对同一固定参考点同一固定参考点而言。而言。 返回上级目录返回上级目录返回主目录返回主目录上一页上一页下

5、一页下一页力学力学电子教案电子教案力的力矩力的力矩 返回上级目录返回上级目录返回主目录返回主目录上一页上一页下一页下一页力学力学电子教案电子教案质点的角动量质点的角动量 返回主目录返回主目录上一页上一页下一页下一页力学力学电子教案电子教案返回主目录返回主目录上一页上一页下一页下一页力学力学电子教案电子教案2rsinrL cosL cosL sinmvmvpqqqa骣=-=桫vvv方向垂直于纸面向里。方向垂直于纸面向里。 返回上级目录返回上级目录返回主目录返回主目录上一页上一页下一页下一页力学力学电子教案电子教案质点角动量守恒质点角动量守恒返回主目录返回主目录上一页上一页下一页下一页力学力学电子

6、教案电子教案返回主目录返回主目录上一页上一页下一页下一页力学力学电子教案电子教案返回上级目录返回上级目录返回主目录返回主目录上一页上一页下一页下一页力学力学电子教案电子教案质点组角动量定理质点组角动量定理质点组角动量守恒质点组角动量守恒静系与质心系下静系与质心系下质点组角动量关系质点组角动量关系 质心系中质点组的质心系中质点组的角动量定理角动量定理 质点组角动量定理质点组角动量定理 二、质点组角动量定理与守恒定律二、质点组角动量定理与守恒定律返回上级目录返回上级目录返回主目录返回主目录上一页上一页下一页下一页力学力学电子教案电子教案6.2.1 6.2.1 质点组角动量定理质点组角动量定理各式相

7、加有：各式相加有： 返回主目录返回主目录上一页上一页下一页下一页力学力学电子教案电子教案在直角坐标系下有：在直角坐标系下有： 返回主目录返回主目录上一页上一页下一页下一页力学力学电子教案电子教案例例6.2.1-16.2.1-1 重力的力矩重力的力矩 返回主目录返回主目录上一页上一页下一页下一页力学力学电子教案电子教案例例6.2.1-2 6.2.1-2 力偶矩力偶矩 返回主目录返回主目录上一页上一页下一页下一页力学力学电子教案电子教案返回主目录返回主目录上一页上一页下一页下一页力学力学电子教案电子教案显然，这种求法要比上述求法方便显然，这种求法要比上述求法方便。 返回主目录返回主目录上一页上一页

8、下一页下一页力学力学电子教案电子教案返回主目录返回主目录上一页上一页下一页下一页力学力学电子教案电子教案由此可以看出，即使两质点质量相等，系统的角动量由此可以看出，即使两质点质量相等，系统的角动量也不沿转轴方向。也不沿转轴方向。 返回上级目录返回上级目录返回主目录返回主目录上一页上一页下一页下一页力学力学电子教案电子教案6.2.2 6.2.2 质点组角动量守恒质点组角动量守恒 返回主目录返回主目录上一页上一页下一页下一页力学力学电子教案电子教案解：将地球与炮弹看成一体系，解：将地球与炮弹看成一体系，返回主目录返回主目录上一页上一页下一页下一页力学力学电子教案电子教案返回上级目录返回上级目录返回

9、主目录返回主目录上一页上一页下一页下一页力学力学电子教案电子教案6.2.3 6.2.3 静系与静系与质心系质心系下质点组角动量关系下质点组角动量关系 由运动学关系式：由运动学关系式： 联立得：联立得： 返回主目录返回主目录上一页上一页下一页下一页力学力学电子教案电子教案分析上式各项分析上式各项：因此：因此： 返回上级目录返回上级目录返回主目录返回主目录上一页上一页下一页下一页力学力学电子教案电子教案6.2.4 质心系中质心系中质点组质点组的的角动量定理角动量定理 在在质心系质心系中中对质心对质心的的角动量定理角动量定理为为: : 返回主目录返回主目录上一页上一页下一页下一页力学力学电子教案电子

10、教案()()0icii ici icccic ciiMrm am ramam rm惯 因此，在质心系中，以质心为参考点，质点组的角动量定理与惯性系因此，在质心系中，以质心为参考点，质点组的角动量定理与惯性系下的角动量定理具有相同的形式，即不用考虑惯性力的力矩，表达形式为：下的角动量定理具有相同的形式，即不用考虑惯性力的力矩，表达形式为： 综上所述，可得出综上所述，可得出质点组角动量定理质点组角动量定理在在三种情况三种情况下成立的条件：下成立的条件： 1.1. 惯性系惯性系中中任意固定任意固定参考点参考点； 2.2. 非非惯性系惯性系中的中的固定固定参考点，同时要参考点，同时要引入惯性力引入惯性

11、力的的力矩力矩； 3.3. 质心系质心系中以中以质心质心为参考点，且为参考点，且不用不用考虑考虑惯性力惯性力的的力矩力矩。 返回上级目录返回上级目录返回主目录返回主目录上一页上一页下一页下一页力学力学电子教案电子教案有心力场问题有心力场问题有效势能与轨道特征有效势能与轨道特征 两体化单体问题两体化单体问题 三种宇宙速度三种宇宙速度 三、有心力场问题三、有心力场问题返回上级目录返回上级目录返回主目录返回主目录上一页上一页下一页下一页力学力学电子教案电子教案 本节应用机械能守恒和角动量守恒，讨论三种宇宙速度、本节应用机械能守恒和角动量守恒，讨论三种宇宙速度、有效势能、两体化单体等有心力场问题。有效

12、势能、两体化单体等有心力场问题。 有心力有心力是指力的方向始终指向或背向是指力的方向始终指向或背向固定中心固定中心的力，固的力，固定中心称为定中心称为力心力心。如果如果有心力的有心力的大小大小仅与仅与考察点考察点到到力心力心的的距距离离有关，这样的有心力称为有关，这样的有心力称为中心对称中心对称有心力有心力，或保守有心力，或保守有心力，通常简称有通常简称有心力心力。 当力的方向当力的方向指向指向力心力心时，有心力为时，有心力为引力引力；当力的方向；当力的方向背背向向力心力心时，有心力称为时，有心力称为斥力斥力。 有心力存在有心力存在的的空间空间称为称为有心力场有心力场。 质点在有心力场中运动问

13、题是常见的，如小物体受大物质点在有心力场中运动问题是常见的，如小物体受大物体的体的万有引力万有引力作用，作用，库仑力库仑力或或分子力分子力等。等。三种宇宙速度三种宇宙速度 1. 1. 第一种宇宙速度第一种宇宙速度 解得：解得： 返回主目录返回主目录上一页上一页下一页下一页力学力学电子教案电子教案2. 2. 第二种宇宙速度（逃逸速度）第二种宇宙速度（逃逸速度） 以地球为参照系，卫星与地球构成的系统，以地球为参照系，卫星与地球构成的系统， 联立求得：联立求得： 返回主目录返回主目录上一页上一页下一页下一页力学力学电子教案电子教案202010()2m mmvGR末态,r,为势能零点,且与地无相对速度

14、,故无动能 3. 3. 第三宇宙速度第三宇宙速度 如何才能使人造星体脱离太阳系？严格来说，发射过程中，既要考如何才能使人造星体脱离太阳系？严格来说，发射过程中，既要考虑地球的作用，又要考虑到太阳的作用，如果同时考虑，问题将变得较虑地球的作用，又要考虑到太阳的作用，如果同时考虑，问题将变得较复杂。可以做合理的近似处理，计算一下地球和太阳对发射卫星的作用复杂。可以做合理的近似处理，计算一下地球和太阳对发射卫星的作用力大小情况。所用参数：力大小情况。所用参数： 地球和太阳对卫星的作用力分别为地球和太阳对卫星的作用力分别为： 返回主目录返回主目录上一页上一页下一页下一页力学力学电子教案电子教案 由此可

15、以看出，当卫星离开地球后，太阳的引力是主要的，而在发射期由此可以看出，当卫星离开地球后，太阳的引力是主要的，而在发射期间，地球的引力是主要的。故在讨论第三宇宙速度时，做两点近似：间，地球的引力是主要的。故在讨论第三宇宙速度时，做两点近似： （1 1）卫星在仅考虑地球引力作用下逃离地球，逃离后，相对太阳有一速度）卫星在仅考虑地球引力作用下逃离地球，逃离后，相对太阳有一速度。 （2 2）逃离地球后，仅在太阳引力的作用下逃离太阳系。）逃离地球后，仅在太阳引力的作用下逃离太阳系。 在发射期间，以地球为参照系，在发射期间，以地球为参照系， 返回主目录返回主目录上一页上一页下一页下一页力学力学电子教案电子

16、教案联立联立（1）、（）、（2）方程得：方程得： 如果卫星沿绕太阳公转的方向发射，如果卫星沿绕太阳公转的方向发射， 将（将（8 8）代入（）代入（3 3）后再代入数据计算得：）后再代入数据计算得： 返回上级目录返回上级目录返回主目录返回主目录上一页上一页下一页下一页力学力学电子教案电子教案221mmmvGGGrrr太阳太阳太阳太阳地球太阳地球太阳地球 (8)联立（联立（4 4）（）（5 5）（）（6 6）（）（7 7）方程得：）方程得： 316 4v./=公里 秒有效势能与轨道特征有效势能与轨道特征 星体受中心力场的作用如图星体受中心力场的作用如图6.4.2-16.4.2-1所示，星体和力心处

17、的物体构成的系所示，星体和力心处的物体构成的系统机械能守恒，角动量守恒。统机械能守恒，角动量守恒。 返回主目录返回主目录上一页上一页下一页下一页力学力学电子教案电子教案以行星绕太阳转动为例，此时系统的势能和有效势能分别为：以行星绕太阳转动为例，此时系统的势能和有效势能分别为： （6.4.2-2b6.4.2-2b）所示的有效势能曲线如图）所示的有效势能曲线如图6.4.2-26.4.2-2所示。将（所示。将（6.4.2-2a6.4.2-2a）式）式代入代入(6.4.2-1a)(6.4.2-1a)式中得：式中得： 返回主目录返回主目录上一页上一页下一页下一页力学力学电子教案电子教案返回主目录返回主目

18、录上一页上一页下一页下一页力学力学电子教案电子教案方程方程(6.4.3-4)(6.4.3-4)有两个正根，即，有两个正根，即， 此时，行星轨道得取值范围为此时，行星轨道得取值范围为： 长轴与短轴动画演示长轴与短轴动画演示返回主目录返回主目录上一页上一页下一页下一页力学力学电子教案电子教案能量曲线动画演示能量曲线动画演示返回上级目录返回上级目录返回主目录返回主目录上一页上一页下一页下一页力学力学电子教案电子教案两体化单体问题两体化单体问题 (6.4.3-1a)(6.4.3-1a)和和(6.4.3-1b)(6.4.3-1b)式联立解得：式联立解得： 返回主目录返回主目录上一页上一页下一页下一页力学

19、力学电子教案电子教案 与惯性系下的牛顿第二定律形式相同，其质点的动量定理、动能定理、与惯性系下的牛顿第二定律形式相同，其质点的动量定理、动能定理、角动量定理等都可以应用。角动量定理等都可以应用。 注意的是：单个物体的质量用折合质量来代替，其它量都是相对其中注意的是：单个物体的质量用折合质量来代替，其它量都是相对其中一物体而言的相对量。这样，两体问题就可以等效为单体问题了。一物体而言的相对量。这样，两体问题就可以等效为单体问题了。 返回主目录返回主目录上一页上一页下一页下一页力学力学电子教案电子教案例例6.4.3-1 6.4.3-1 设行星轨道为圆轨道，证明开普勒第三定律，即行星运行周期设行星轨

20、道为圆轨道，证明开普勒第三定律，即行星运行周期的平方与圆轨道半径的立方成正比。的平方与圆轨道半径的立方成正比。 可见不同行星运行的周期是不一样的，开普勒第三定律只是近似成立。但由可见不同行星运行的周期是不一样的，开普勒第三定律只是近似成立。但由于行星的质量比太阳的质量小得多，与行星质量有关的差异很小，故一般情况都于行星的质量比太阳的质量小得多，与行星质量有关的差异很小，故一般情况都认为行星的运动周期和行星的质量无关。认为行星的运动周期和行星的质量无关。 返回上级目录返回上级目录返回主目录返回主目录上一页上一页下一页下一页力学力学电子教案电子教案四、守恒律与对称性四、守恒律与对称性 1.1.对称

21、性对称性 返回主目录返回主目录上一页上一页下一页下一页力学力学电子教案电子教案2. 2. 因果关系与对称原理因果关系与对称原理 自然规律反应了事物之间的因果关系。所谓自然规律反应了事物之间的因果关系。所谓“因果关系因果关系”就是在就是在一定的条件下会出现一定的现象，其中的一定的条件下会出现一定的现象，其中的“条件条件”称为称为“原因原因”，“现象现象”称为称为“结果结果”。要构成这一稳定的因果关系，重要的是要有。要构成这一稳定的因果关系，重要的是要有可重复性和可预见性，这是科学本身存在的必要条件。可重复性和可可重复性和可预见性，这是科学本身存在的必要条件。可重复性和可预见性意味着预见性意味着“相同的原因必定产生相同的结果相同的原因必定产生相同的结果”。由于自然界没有。由于自然界没有绝对相同的，因此，可以放宽一点将绝对相同的，因此，可以放宽一点将“相同相同”改为改为“等价等价”，即，即，“等价的原因必定产生等价的结果等价的原因必定产生等价的结果”。一个操作可以产生。一个操作可以产生“对称性对称性”，亦即亦即“等价等价”的效果，因此，也可以说的效果，因此，也可以说“对称的原因必