第7讲-数学思维

1、第七讲 数学思维 青岛大学 师范学院 数学系杨慧娟在幽默中品味数学思维 苏格兰的羊苏格兰的羊 三位科学家由伦敦去苏格兰参加会议，越过边境不久，发现了一只黑羊。 “真有意思，”天文学家谈论道，“苏格兰的羊都是黑的。” “这种推断并不可靠，”物理学家应道，“我们只能得出这样的结论：在苏格兰 有一些羊是黑色的。” 数学家马上接着说：“在苏格兰，至少有一只羊的至少半侧，在至少一个地方的有些时侯，直接用肉眼观察时，在有些人的眼里，看上去是黑色的。” 最大面积最大面积 一位农夫请了工程师、物理学家和数学家来，想用最少的篱笆围出最大的面积。 工程师用篱笆围出一个圆，宣称这是最优设计。 物理学家将篱笆拉开成一

2、条长长的直线，假想直线无限长，认为围起半个地球总够大了。 数学家好好嘲笑了他们一番。他用很少的篱笆把自己围起来，然后说：“我现在是在外面。” 数学家当消防员数学家当消防员 一天，数学家心血来潮，想当消防员。 消防队长说：“您看上去不错，可是我得先给您一个测试。”于是他们来到消防队后院小巷，巷子里有一个货栈，一只消防栓和一卷软管。 队长问：“假设货栈起火，您怎么办？”数学家回答：“我把消防栓接到软管上，打开水龙，把火浇灭。” 队长说：“完全正确！最后一个问题：假设您走进小巷，而货栈没有起火，您怎么办？”数学家疑惑地思索了半天，终于答道：“我就把货栈点着。” 队长大叫起来：“什么？太可怕了！您为什

3、么要把货栈点着？” 数学家回答：“这样我就把问题化简为一个我已经解决过的问题了。” 对面房间的人数对面房间的人数 数学家、生物学家和物理学家坐在街头咖啡屋里, 看着人们从对面的一间房子走进走出。他们先看到两个人进去。时光流逝，他们又看到三个人出来。 物理学家说：“测量不够准确。” 生物学家说： “他们进行了繁殖。” 数学家说： “如果现在再进去一个人，那房子就空了。一个有趣的问题 一杯红酒与一杯白酒，分量相同。先舀出一勺红酒倒入白酒中，混合之后再将混合均匀了红酒的白酒舀出一勺倒入红酒杯中。两杯酒分量仍然相同，问：红酒杯中的白酒多还是白酒杯中的红酒多？ 数学历来被认为是“思维的体操”，在思维训练

4、方面具有其他学科无法替代的作用。 现代数学教学理论认为，数学教学是数学思维的教学。一、数学思维及其特点 1. 数学思维的定义 数学思维是人脑和数学对象交互作用并按照一般的思维规律认识数学本质和规律的理性活动。具体来说，数学思维就是以数和形及其结构关系为思维对象，以数学语言和符号为思维的载体，并以认识发现数学规律为目的一种思维。 2. 数学思维的特点 数学思维既从属于一般的人类思维，具有一般思维的特征，同时由于数学及其研究方法的特点，数学思维又具有不同于一般思维的自身特点，表现在思维活动是按客观存在的数学规律进行的，具有数学的特点与操作方式。特别是作为思维载体的数学语言的简约性和数学形式的符号化

5、、抽象化、结构化倾向决定了数学思维具有不同于其他思维的独特风格。数学思维主要具有概括性、整体性、相似性和问题性等特点。 （1）概括性 数学思维的概括性比一般思维的概括性更强，这是由于数学思维揭示的是事物之间内在的形式结构和数量关系及其规律，能够把握一类事物共有的数学属性。数学思维的概括性与数学知识的抽象性是互为表里、互为因果的。 （2）整体性 数学思维的整体性主要表现在它的统一性和对数学对象基本属性的准确把握。数学科学本身是具有统一性的（举能够体现统一性的例子），人们总是谋求新的概念、理论，把以往看来互不相关的东西统一在同一的理论体系中。数学思维的统一性，是就思维的宏观发展方向而言的，它总是越

6、来越多地抛弃对象的具体属性，用统一的理论概括零散的事实。这样既便于简化研究，又能洞察到对象的本质。 圆幂定理：如果交点为P的两条相交直线与圆O相交于A、B与C、D，则PAPB=PCPD。 （3）相似性 数学思维的相似性是思维相似律在数学思维活动中的反映。数学思维的相似性普遍存在，在创造性思维活动中发挥着重要作用。数学思维中到处渗透着异中求同、同中辨异的比较、分析过程。数学中的相似表现有几何相似、关系相似、结构相似与实质相似、静态相似与动态相似等。数学思维中的联想、类比、归纳和猜想等都是运用相似性探求数学规律、发现数学结论的主导方法。 （4）问题性 数学思维的问题性是与数学科学的问题性相关联的。

7、问题是数学的心脏，数学科学的起源与发展都是由问题引起的。由于数学思维是解决数学问题的心智活动，它总是指向问题的变换，表现为不断地提出问题、分析问题和解决问题，使数学思维的结果形成问题的系统和定理的序列，达到掌握问题对象的数学特征和关系结构的目的。 提出问题比解决问题更重要（学会提出问题）二、数学思维的基本类型 数学逻辑思维 数学形象思维 数学直觉思维 1、数学逻辑思维 数学逻辑思维是指借助数学概念、判断、推理等思维形式，通过数学符号或语言来反映数学对象的本质和规律的一种思维。 数学逻辑思维的显著特征是抽象性和逻辑性，这是由数学本身的特点和数学学习的需要决定的。数学具有严谨的逻辑体系，逻辑因素在

8、数学中表现得最为明显。 一方面，主要的数学事实按逻辑方法叙述或论证；大量的数学概念抽象概括的形式化、公理化；数学原理、公式、法则的推理论证高度严密等。另一方面，数学学习中不仅要记住按逻辑体系组成的大量概念、公式、定理和法则，而且要进行概念的分类、定理的证明、公式法则的推导，广泛使用各种逻辑推理和证明方法。 逻辑推演性和规则性也是逻辑思维的重要特征。所谓规则性是指思维过程必须遵循形式逻辑的基本规律和辩证逻辑的规律，有着严格的逻辑规则。而逻辑思维又必须是循序渐进的，要按照逻辑规则依线型或枝叉型一步步地推下去，这就是逻辑思维的推演性。逻辑思维的推演性和规则性是一种强大的逻辑力量，它保证了人们在严格逻

9、辑推演的基础上实现新的突破，形成新的知识，同时这种推演性与规则性又提高了思维成果的可靠性，因此，推演性与规则性成为逻辑思维区别于其他思维的重要特征之一。 2、数学形象思维 数学形象思维是指借助数学形象或表象，反映数学对象的本质和规律的一种思维。在数学形象思维中，表象与想象是两种主要形式，其中数学表象又是数学形象思维的基本元素。 （1）数学表象 数学表象是以往感知过的观念形象的重现。数学表象常常以反映事物本质联系的特定模式结构来表现。 客观实物的原型和模型以及各种几何图形、代数表达式、数学符号、图像、图表等这些形象在人脑中复现就形成了数学表象。数学形象思维也可看作是以数学表象为主要思维材料的一种

10、形象思维。因此，数学教学中发展学生的表象思维有利于形象思维能力的培养。 （2）数学想象 数学想象是数学形象思维的一种重要形式，通常可分为再造性想象和创造性想象两种类型。 1）再造性想象。再造性想象是根据数学语言、符号、数学表达式或图形、图表、图解等提示，经加工改造而形成新的数学形象的思维过程。 再造性想象有两个特征，一个是生成的新形象虽未感知过，但并非完全由自己创造或创新，是根据别人描述或者示意再造出来的；另一个是新形象是头脑中原有表象经过加工改造而成的，其中包含着个人知识与理解能力的作用，因此又有创造的成分 学生在数学学习中的想象，大多属于再造性想象。这是因为，虽然这种想象对学生来说具有创造

11、的成分，但形成的新表象只是原有表象的再现或加工改造，并没有超出已有知识经验和数学表象的范围，与独立地以至创造性的想象活动有着很大的不同。 2）创造性想象。创造性想象是一种不依靠现成的数学语言和数学符号的描述，也不依据现成的数学表达式和数学图形的提示，只依据思维的目的和任务在头脑中独立地创造出新的形象的思维过程。思维结果的新颖、独特是创造性想象的主要特征。 在数学科学发展史上，罗巴切夫斯基发现非欧几何的过程就是创造性想象。法国大数学家笛卡尔把长期分道扬镳的代数和几何联系起来而创立了解析几何，他借助于曲线上“点的运动”这一想象，创造出变量和坐标系的新的形象，把抽象的方程展示为直观的平面和空间图形，

12、这也是一种创造性想象。 爱因斯坦：“想象力比知识更重要，想象力是科学研究中的实在因素，是知识进化的源泉”。在中学作为基本能力之一的空间想象能力实际上是想象能力中的一种。数学中的空间想象能力即是对于数学图形的形状、大小、结构和位置关系的想象能力。就像运算能力实质上是逻辑思维能力的一部分，它是逻辑思维能力与运算技能相结合。空间想象能力实质上是形象思维能力的一部分，它是形象思维能力与空间形式构思的结合。因此，培养形象思维能力包含了对空间想象能力的培养。 3、数学直觉思维 数学直觉思维是以一定的知识经验为基础，通过对数学对象作总体观察，在一瞬间顿悟到对象的某方面的本质，从而迅速作出估断的一种思维。数学

13、直觉思维是一种非逻辑思维活动，是一种由下意识（潜意识）活动参与，不受固定逻辑规则约束，由思维主体自觉领悟事物本质的思维活动。因此，非逻辑性是数学直觉思维的基本特征，同时数学直觉思维还具有直接性、整体性、或然性、不可解释性等重要特征。 （1）直接性 数学直觉思维是直接反映数学对象、结构以及关系的思维活动，这种思维活动表现为对认识对象的直接领悟或洞察，这是数学直觉思维的本质特征。由于数学直觉思维的直接性，使它在时间上表现为快速性，即数学直觉思维有时是在一刹那时间内完成的；在过程上表现为跳跃性（或间断性），直觉思维并不按常规的逻辑规则前进，而是跳过若干中间步骤或放过个别细节而从整体上直接把握研究对象

14、的本质和联系。 （2）整体性 指数学直觉思维的结果是关于对象的整体性认识，尽管这并非是一幅毫无遗漏的“图画”，它的某些细节甚至可能是模糊的，但是，它却清楚地表明了事物的本质或问题的关键。 （3）或然性 数学直觉思维是一种跳跃式的思维，是在逻辑依据不充分的前提下做出的结论，具有猜测性。正因为如此，任何通过直觉思维“俘获来的战利品”就需要经过严格的逻辑验证。采用直觉思维的目的在于迅速找到事物的本质或内在联系，提出猜想，而不在于论证这个猜想。 （4）不可解释性 数学直觉思维在客观上往往给人以不可解释之感。由于直觉思维是在一刹那间完成的，、略去了许多中间环节，思维者对其过程没有清晰的意识，所以要想对它

15、的过程进行分析、研究和追忆，往往是十分困难的，这又使直觉思维给人一种“神秘感”例如，高斯曾花几年的时间证明一个算术定理，最终获得了解决。对此他回忆说：“我突然证出来了，但这简直不是我自己努力的结果，而是由于上帝的恩赐如同闪电那样突然出现在我脑海之中，疑团一下子被解开了，连我自己也无法说清在先前已经了解的东西与使我获得成功的东西之间是怎样联系起来的”. 形象思维、逻辑思维、直觉思维是数学思维的三种基本类型，形象思维是数学思维的先导，逻辑思维是数学思维的核心。在进行具体的数学思维活动时，往往是这两种思维交错应用的一个综合过程。直觉思维则是以上两种思维的结合，达到一定数量后所引起的一种质的飞跃。因此

16、，如果形象思维和逻辑思维发展的好，就为发展直觉思维创造了条件。三、数学思维的一般方法 数学思维的一般方法是指数学思维过程中经常运用的基本方法。研究数学思维方法对形成完善的数学思维结构和发展数学思维能力具有重大的意义。在中学数学教学中，常用的数学思维的方法主要有观察与实验、分析与综合、比较与分类、抽象与概括、归纳与演绎、特殊化与一般化、类比与猜想等。四、数学思维的品质 思维的发生和发展服从于一般的、普遍的规律，而不同的人思维特点又各不相同，我们把思维发生发展中表现出来的个别差异，称之为思维品质。思维品质是评价和衡量学生思维优劣的重要标志，因此在数学教学中要重视学生良好的思维品质的培养。 1、数学

17、思维的深刻性 思维的深刻性，即抽象逻辑性。是指能够透过事物的表面现象把握其本质及其相互关系，正确认识事物发展的规律。表现为善于使用抽象概括，理解透彻深刻，推理严密，逻辑性强。数学思维活动中能抓住数学问题的本质属性及其相互联系，从研究的材料（已知条件、解法与结果）中揭示被掩盖住的个别特殊情况；能组合各种具体模式。思维的深刻性是一切思维品质的基础。 2.数学思维的灵活性 思维的灵活性，即思维的灵活程度，是指能依据客观条件的变化及时调整思维的方向。数学思维活动中，表现为能对具体的数学问题作具体分析，善于根据情况的变化，及时调整原有的思维过程与方法，灵活地运用有关的定理、公式、法则，并且思维不囿于固定

18、程式或模式，具有较强的应变能力。 思维的灵活性是数学思维的重要品质，它与思维深刻性的结合，构成了思维的机智与敏捷，常常可导致发明和创造。正因为如此，爱因斯坦把思维的灵活性看成是创造性的典型特点。 3.数学思维的独创性 思维的独创性，即思维活动的创新程度。是指思考问题和解决问题时的方式方法或结果的新颖、独特，具有创造性。数学思维活动中表现为能独立地发现问题，解决问题，勇于创新，敢于突破常规的思考方法和解题程式，大胆提出新的见解和采用新的方法。 4. 数学思维的广阔性 思维的广阔性，即思维的广度。是指善于全面地分析问题，思路开阔，多角度、多层次地探求。数学思维活动中表现为能把握数学问题的整体，抓住它的基本特征，同时不放过其中有意义的细节与特殊因素，进行多方面的思考，找出解决问题的多种方法，并将之推广应用于类似的问题中。在解题时常表现为一题多解或一法多用。 5. 数学思维的批判性 思维的批判性，即思维的独立性。是指思