概率统计：第十二章第三节正态平稳过程第四节遍历过程

1、第三节 正态平稳过程一. 正态过程 正态随机变量复习,一维正态随机变量,概率密度，;二维正态随机变量,概率密度 维正态分布,概率密度，其中 , 协方差矩阵,.定义5 如果随机过程,对任意正整数,服从正态分布,则称为正态过程,又称高斯(Gauss)过程.即维随机变量的概率密度为其中 , 协方差矩阵,.特别,设为正态过程,则 , .独立正态过程:如果是正态过程,同时又是独立过程,则称为独立正态过程.正态过程,如果是可列集,记,那么,是正态序列.二. 正态平稳过程设是正态过程,服从正态分布,则 必存在,即二阶矩存在.定义 如果正态过程又是(广义)平稳过程,则称为正态平稳过程.正态平稳过程的性质:设是

2、正态平稳过程,则有,从而成立,即又是严平稳过程.于是有定理二.设是正态过程.则为严平稳过程为广义平稳过程.严(狭义,强)平稳过程,如果二阶矩存在是宽(广义,弱)平稳过程.例1 设正态过程的均值函数,自相关函数,试写出过程的一维、二维概率密度函数. 解 根据题设条件,知服从正态分布,服从二维正态分布;, ,即得;, ,于是 .例2 设是正态平稳过程,且,令,证明是平稳过程.解 因为是平稳过程,所以,又是正态过程, 且,由上例,知道, 其概率密度,(是常数)存在且有限, 仅依赖于,故是平稳过程.第四节 遍历过程(历经过程)一. 时间均值和时间相关函数设随机过程,任固定,样本函数,样本函数在区间上的

3、函数平均值定义为 , 在上的函数平均值定义为. 当变化时, . 定义6 称为随机过程对于参数的平均值,通常称为随机过程的时间均值.显然是一个随机变量.在任意处,给任意实数,过程在和的两个状态的乘积在上的平均值,记为.定义7 称为随机过程的时间相关函数.显然是一个随机过程.对随机过程,此时,时间均值 ,时间相关函数.例1 求随机相位正弦波的时间均值和时间相关函数.解 时间均值 ，时间相关函数 .(记住这个例题的结论,以后要用)二. 各态遍历性定义8 设是一个平稳过程或(即,为常数, )(1) 如果,则称过程的均值具有各态遍历性;(2) 如果,则称过程的自相关函数具有各态遍历性.(3) 均值和自相

4、关函数都具有各态遍历性的平稳过程称为遍历过程,或者说,该平稳过程具有遍历性.三. 遍历过程的例子例 设, ,其中是实常数,服从区间上的均匀分布,讨论的各态遍历性.解 由前面例题的结果,知是平稳过程,且 ;由上面的例1,知 , 于是有 ,故是均值和自相关函数都具有各态遍历性的平稳过程,即是遍历过程.不具各态遍历性的例子：设,是一个随机变量,且.则 (1) 是平稳过程;(2) 的均值不具有各态遍历性.解 (1) 是常数, 是常数, (与无关),由定义, 是平稳过程.(2) ,利用定理,由条件，得,所以的均值不具有各态遍历性. 四. 平稳过程具有各态遍历性的判别定理引理 设是一个平稳过程,则它的时间

5、均值的数学期望和方差分别为 , .定理三(均值各态遍历定理) 平稳过程的均值具有各态遍历性的充要条件是.证 根据方差的性质以及引理以概率1成立的充要条件是,再由引理,即得证.五 引入遍历过程的目的,应用意义近似计算提供依据.例 设是以为周期的随机相位周期过程,即满足(是周期函数),其中是在上服从均匀分布的随机变量.试证: (1) 是平稳过程; (2) 是遍历过程.证 (1) 的概率密度 , (常数), ,存在,所以是平稳过程;(2) ,(这是因为,对任意,存在正整数,使得, ,于是 , , ,从而 ,所以有,故是遍历过程.例 设平稳过程的自相关函数是以为周期的周期函数，证明：对于任意，等式以概率