概率统计：第七章 统计量及其分布第三节(下)t分布F分布)_第1页
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1、第七章第三节(下)t 分布和F分布三、t分布 定理 设，且与相互独立，则随机变量 的概率密度为 ， , (7.5)称服从自由度为的分布，记作. 证 的概率密度是 ,的概率密度由式（7.3）给出，的联合概率密度是 ,于是, 作变量替换：u = t，v = s ， 它的雅可比行列式是 ，于是，由于 ，所以 上式两边对求导,即得式(7.5). , , , , , .图72给出了当n=1,4,10时的t(n)分布的密度函数曲线,它的图形关于t=0对称,且当时,有 , 故当n很大时,t分布近似于N(0,1).然而对于比较小的n的值,t分布与正态分布之间有较大的差异.,严格单增,是一一对应, 对给定,存在

2、唯一,使得 ,即对于给定的:0<<1,可查t分布表(见附录三)求出t , 满足 ,的点称为分布的(下侧)分位点. 分布的分位点的性质:由的对称性, 即是偶函数,可得 , (1) , , (2) 数,满足 , 则 , 称为双侧分位点.当n>45时,t分布表中没有列出,此时可查标准正态分布表,得，且有 .例5 设X，X，X为来自于正态总体的样本，令 ，求的分布。解 ,且与相互独立，由t分布的定义知，,服从自由度16的t分布。定理四 设X，X，X相互独立，且都服从N（），则有 .证 因为 ,所以 ,又 ,且与相互独立，从而.例6 设，求服从自由度为n1的t分布的随机变量。 解 这里

3、，可由（7.6）式判别，注意到的右端S的系数为，而不是，另外S为一次幂，而不是其它的幂次，因而所求随机变量为。定理五 设X，X，X和Y，Y，Y分别是从正态总体N（）和N（）中所抽取的独立样本，则 , (7.7)证 因为 ,所以 ,于是 由定理三知 且它们相互独立。由定理二可知 又由定理三知独立，于是按t分布的定义得 例7 设总体，X与Y相互独立，X，X，X;Y，Y，Y分别是来自X和Y的样本， ，分别是两个样本的样本均值，试求下面统计量的分布： 。解 由正态总体样本函数的分布知，因而，经标准化得到 又由定理三知 ，再由t分布定义知 ，即 。四、F分布定理 设，且与相互独立，则随机变量 的概率密度为我们称F服从自由度为 的F分布，记作。证明略 的图形入图7-3所示。对于给定的：,查F分布表（见附录五）可得分位点，使得 ，且不难验证下式成立： ，利用上式，可以求出F分布表中没有列出的其他数值。例8 设X，X，X为正态总体的样本，若，已知，即，求常数的值。解 由,得 因为 ,所以有 ，即 .定理 设

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