解三角形知识点归纳

1、学习必备欢迎下载解三角形知识点归纳1、三角形三角关系：A+B+C=180°； C=180° (A+B) ；2、三角形三边关系：a+b>c; a-b<c3、三角形中的基本关系： sin( AB)sin C , cos( AB)cosC , tan(A B)tan C ,sin ABcos C ,cos A Bsin C , tan ABcot C2222224、正弦定理：在C 中， a、 b 、 c 分别为角、C的对边， R为C 的外接圆的半径，则有abc2R sinsinsin C5、正弦定理的变形公式：化角为边： a2Rsin， b2R sin， c2Rsin

2、 C ；化边为角： sina， sinbc2R， sin C；2R2R a : b : csin:sin :sin C ；abcabcsinsin Csinsinsinsin C6、两类正弦定理解三角形的问题：已知两角和任意一边，求其他的两边及一角.已知两角和其中一边的对角，求其他边角.( 对于已知两边和其中一边所对的角的题型要注意解的情况（一解、两解、三解）)7、三角形面积公式：11ab sin C1S Cbc sinac sin2222abcr (a b c) =2R sinAsinBsinC=4R2p( pa)( pb)( pc)8、余弦定理：在C 中，有 a2b2c22bc cos，

3、b2a2c22ac cos，c2a2b22ab cosC 9、余弦定理的推论：b2c2a2a2c2b2a2b2c2cos2bc， cos2ac， cosC2ab10、余弦定理主要解决的问题：已知两边和夹角，求其余的量。已知三边求角）11、如何判断三角形的形状：判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式设 a 、 b 、 c 是C 的角、 C 的对边，则：若 a2b2c2 ，则 C90 ；学习必备欢迎下载若 a2b2c2 ，则 C90 ；若 a2b2c2 ，则 C90 12、三角形的五心：垂心三角形的三边上的高相交于一点重心三角形三条中线的相交于一点外心三角形三边垂

4、直平分线相交于一点内心三角形三内角的平分线相交于一点旁心三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点题型之一 ：求解斜三角形中的基本元素指已知两边一角 (或二角一边或三边)，求其它三个元素问题，进而求出三角形的三线(高线、角平分线、中线 )及周长等基本问题1. 在 ABC 中， AB=3 ， AC=2 ，BC=10 ，则 ABAC()3223A B CD 2332【答案】 D2（ 1）在ABC 中，已知 A32.00 ， B 81.80 ， a42.9cm，解三角形；（ 2）在ABC 中，已知 a20 cm， b28 cm， A 400 ，解三角形（角度精确到10 ，边长精确到 1c

5、m）。3（ 1）在ABC中，已知 a23 ， c62 ， B600，求 b 及 A；（ 2）在 ABC中，已知 a 134.6cm ， b 87.8cm ， c 161.7cm ，解三角形4(2005 年全国高考江苏卷 )ABC 中， A， BC3，则ABC 的周长为（）3A 4 3 sin B3 B 4 3 sinB336C 6sinB3D6sinB336分析：由正弦定理，求出b 及 c，或整体求出b c，则周长为3 bc 而得到结果选(D) 5 （ 2005年全国高考湖北卷)在ABC中，已知AB46, cos B6， AC边上的中36线 BD = 5 ，求 sinA 的值分析：本题关键是利

6、用余弦定理，求出AC 及 BC，再由正弦定理，即得sinA解：设 E 为 BC 的中点，连接 DE ，则 DE /AB，且 DE1 AB2 6，设 BE x23学习必备欢迎下载在BDE 中利用余弦定理可得：BD 2BE 2ED 22BEED cos BED ，5x 282266 x ，解得 x1， x7（舍去）3363故 BC=2 ，从而2222AB BCcosB 28，即 AC221又 sin B30ACAB BC3，36221故23， sin A70sin A30146在 ABC 中，已知 a 2 ，b 22 ，C15 °，求 A。答案： BA，且 00A1800， A 300题

7、型之二 ：判断三角形的形状：给出三角形中的三角关系式，判断此三角形的形状1. (2005 年北京春季高考题) 在ABC 中，已知 2 sin A cosBsin C ，那么ABC 一定是（）A 直角三角形B等腰三角形C等腰直角三角形D正三角形解法 1：由 2 sin AcosBsin C sin(A B)sinAcosB cosAsinB，即 sinAcosB cosAsinB 0，得 sin(AB) 0，得 A B故选 (B) 解法 2：由题意，得cosB sin Cc，再由余弦定理，得cosBa2c2b22sin A2a2aca2 c2 b2c222ac2a，即 a b ，得 a b，故选

8、 (B) 评注：判断三角形形状，通常用两种典型方法：统一化为角，再判断(如解法1)，统一化为边，再判断 (如解法 2)2在 ABC 中，若 2cosBsinA sinC ，则 ABC 的形状一定是（）A. 等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等边三角形答案： C解析： 2sinAcosB sin（ A B） sin （A B）又 2sinAcosB sinC， sin（ AB） 0， A B3.在 ABC 中，若a 2tan A的形状。b2，试判断 ABCtan B答案：故 ABC 为等腰三角形或直角三角形。4. 在 ABC 中，cos A b cos ，判断 ABC 的形状。答案：

9、 ABC 为等腰三角形或直角三角形。学习必备欢迎下载题型之三 ：解决与面积有关问题主要是利用正、余弦定理，并结合三角形的面积公式来解题1. (2005 年全国高考上海卷) 在ABC 中，若A120 ， AB5 ， BC7 ，则 ABC 的面积 S _2在 ABC 中， sin Acos A2，AC2， AB3 ，求 tan A 的值和ABC 的面2积。答案： S ABC1 ACAB sin A123263 ( 26)22443. （ 07 浙江理 18）已知 ABC 的周长为21，且 sin Asin B2 sin C （ I ）求边 AB 的长；（ II ）若 ABC 的面积为 1 sin

10、C ，求角 C 的度数6解：（ I ）由题意及正弦定理，得ABBCAC21， BCAC2AB，两式相减，得 AB1（II ）由 ABC 的面积 1 BC AC sin C1 sin C ，得 BC AC1，263AC 2BC 2AB2( ACBC )22AC BCAB 21由余弦定理，得 cosC2AC BC2AC BC，2所以C 60题型之四 ：三角形中求值问题1. (2005 年全国高考天津卷 ) 在ABC 中，A、 B、 C 所对的边长分别为a、 b、 c ，设 a、b、c 满足条件 b2c 2bca 2 和 c13 ，求A和 tan B 的值b2分析：本题给出一些条件式的求值问题，关键

11、还是运用正、余弦定理b 2c 2a 21，因此，A 60解：由余弦定理 cos A2bc2在 ABC 中， C=180° A B=120 ° B.由已知条件，应用正弦定理13csin Csin(120B)2bsin Bsin Bsin 120 cos B cos120sin B3 cot B1 , 解得 cot B2, 从而 tan B1 .sin B2222 ABC 的三个内角为 A、B、C ，求当 A 为何值时，cos A2cos BC 取得最大值，2并求出这个最大值。学习必备欢迎下载解析：由 A+B+C= ，得B+C=A，所以有B+C=sinA。222cos22B+C

12、A2AAA1 23cosA+2cos2=cosA+2sin 2=1 2sin2+ 2sin 2 = 2(sin 2 2)+ 2；当 sinAB+C 取得最大值为 3。1，即 A=2= 23时 , cosA+2cos223在锐角 ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为a，b，c22，（ 1）求，已知 sin A32 BC2A，求b的值。tansin的值；（ 2）若a2，SABC222解析：（ 1）因为锐角 ABC 中， A B C ， sin A232，所以 cosA 1 ，3则BCAsin2BC2 A2 sin22 sintan222BC2cos2C1cosA17 （）1cos BcosA

13、）1（ （ C）211cosA331cosB（2）因为 S ABC2，又 S ABC 1 bcsinA 1 bc22，则 bc 3。223将 a 2， cosA 1 ， c 3 代入余弦定理：a2 b2 c22bccos A 中，3b得 b46b290 解得 b 3 。点评：知道三角形边外的元素如中线长、面积、周长等时， 灵活逆用公式求得结果即可。4在 ABC 中，内角 A，B，C 对边的边长分别是a， b， c ，已知 c2 ， C3（）若 ABC 的面积等于3 ，求 a，b ；（）若 sin Csin( BA)2sin 2 A ，求 ABC 的面积本小题主要考查三角形的边角关系，三角函数公

14、式等基础知识，考查综合应用三角函数有关知识的能力满分12 分解：（）由余弦定理及已知条件得，a2b2ab4 ，又因为 ABC 的面积等于3 ，所以1 ab sin C3 ，得 ab4 ············4 分2a2b2ab，2 ， b2 ···················

15、3;·6 分联立方程组，4解得 aab4学习必备欢迎下载（）由题意得 sin( BA)sin( BA)4sin A cos A ，即 sin B cos A2sin Acos A ， ··································

16、;···8 分当 cos A0时， A， B， a4323，3， b326当 cos A0 时，得 sin B2sin A ，由正弦定理得b2a ，a2b2ab，23， b43联立方程组，4解得 ab332a所以 ABC 的面积 S1 ab sin C2 3 ·················12 分23题型之五 ：正余弦定理解三角形的实际应用利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，

17、如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识，例析如下：（一 .）测量问题1. 如图 1 所示，为了测河的宽度，在一岸边选定 A 、B 两点，望对岸标记物C，测得C CAB=30° ， CBA=75° ， AB=120cm ，求河的宽度。分析：求河的宽度，就是求 ABC 在 AB边上的高，而在河的一边，已测出AB 长、ADBCAB 、 CBA ，这个三角形可确定。图 1解析：由正弦定理得ACABsin CBA， AC=AB=120m ，sin ACB又 S ABC11AB CD ，解得 CD=60m 。AB AC sinCAB22点评：虽然此题计算简单，但是意义重大，属于

18、“不过河求河宽问题 ”。（二 .）遇险问题2 某舰艇测得灯塔在它的东15°北的方向，此舰艇以 30海里 /小时的速度向正东前进， 30分钟后又测得灯塔在它的东30°北。若此灯塔周围10 海里内有暗礁，问此舰艇继续向东航行有无触礁的危险？解析：如图舰艇在 A 点处观测到灯塔S在东 15°北的方向上； 舰艇航行半小时后到北达 B 点，测得 S 在东 30°北的方向上。在ABC 中，可知 AB=30× 0.5=15，西东15°B30°ABS=150° ， ASB=15° ，由正弦定理得ACBS=AB=15 ，过

19、点 S 作 SC直线 AB ，垂足南图 2为 C，则 SC=15sin30°=7.5。这表明航线离灯塔的距离为7.5 海里，而灯塔周围 10 海里内有暗礁，故继续航行有触礁的危险。点评：有关斜三角形的实际问题，其解题的一般步骤是：（ 1）准确理解题意，分清已知学习必备欢迎下载与所求，尤其要理解应用题中的有关名词和术语；（ 2）画出示意图， 并将已知条件在图形中标出；（3）分析与所研究问题有关的一个或几个三角形， 通过合理运用正弦定理和余弦定理求解。（三 .）追击问题3 如图 3，甲船在 A 处，乙船在 A 处的南偏东 45°方向，距 A 有 9n mile 并以 20n m

20、ile/h 的速度沿南偏西 15°方向航行，若甲船以28n mile/h 的速度航行，应沿什么方向，用多少h 能尽快追上乙船？解析：设用t h ，甲船能追上乙船，且在C 处相遇。在 ABC 中， AC=28t ， BC=20t ， AB=9 ，设 ABC= ， BAC= 。 =180° 45°15°=120°。根据余弦定理北A45°B15°AC2AB 2BC 22 AB BC cos，C28120t21 ) ，图 328t2 9 20t (2128t 260t27 0 ，（ 4t 3）（ 32t+9 ）=0，解得 t=3 ，

21、t=9 （舍）432 AC=28× 3 =21 n mile ， BC=20× 3 =15 n mile 。44BC sin15353sin2根据正弦定理，得AC2114，又 =120，° 为锐角，53，又53722， arcsin53， =arcsin1414214144甲船沿南偏东 arcsin 53 的方向用3h 可以追上乙船。4144点评：航海问题常涉及到解三角形的知识，本题中的ABC 、 AB 边已知，另两边未知，但他们都是航行的距离，由于两船的航行速度已知，所以，这两边均与时间t 有关。这样根据余弦定理，可列出关于t的一元二次方程，解出t 的值。4如图

22、，当甲船位于A 处时获悉，在其正东方向相距20 海里的 B 处有一艘渔船遇险等待营救甲船立即前往救援， 同时把消息告知在甲船的南偏西30，相距 10 海里 C 处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B 处救援（角度精确到 1 ）？解析：连接 BC,由余弦定理得 BC2=20 2+102 2×20×10COS120° =700.于 是,BC=107。sin ACBsin120，20107北A2010?CB?学习必备欢迎下载 sin ACB= 3 ，7 ACB<90°， ACB=41°。乙船应朝北偏东71°方向沿直线前往

23、B 处救援。解三角形单元测试一选择题：1.已知 ABC中， A30，C 105， b8，则等于（）A 4B4 2C4 3D4 52. ABC中， B45， C60 ， c1 ，则最短边的边长等于（）6613A 3B2C2D23.长为 5、 7、 8 的三角形的最大角与最小角之和为()A90°B120°C135°D 150°abc4. ABC中， cos Acos BcosC ，则 ABC一定是（）A 直角三角形B钝角三角形C等腰三角形D等边三角形5. ABC中， B60， b2ac ，则 ABC一定是（）A 锐角三角形B钝角三角形C等腰三角形D等边三角形6. ABC中， A=60° , a=6 , b=4,那么满足条件的 ABC( )A 有一个解B有两个解C无解D不能确定7. ABC中， b8 ， c 83，S ABC163 ，则A 等于（）A 30B60C30 或 150D60 或 120a bc8. ABC中，若 A 60 ， a3 ，则 sin Asin Bsin C 等于（）13A 2B2C3D29.ABC 中， A: B1: 2， C 的平分线 CD 把三角形面积分成3: 2 两部分，则cosA（）A 1B3130CD2410. 如果把直