解直角三角线

1、解直角三角形富顺县彭庙镇九年制学校- 王和平一、知识点（一）、目标点1、会解直角三角形；2、能正确理解仰角、俯角、方位角、坡角、坡度等概念，并能熟练运用。3、能灵活应用解直角三角形的知识解决包括测量距离、工程建筑、航海航空等方面的实际问题。命题中，本考点内容多以填空题、选择题和解答题出现。（二）要点在直角三角形中，我们是用三条边的比来表述锐角三角函数定义的。因此，锐角三角函数的定义本质揭示了直角三角形中边角之间的关系，是解直角三角形的基础。如图 1，在 Rt ABC中， C 90，设三个内角A、B、C所对的边分别为a、 b、 c（以下字母同），则解直角三角形的主要依据是（ 1）边角之间的关系：

2、sinA cosB，cosA sinB ，tgA ctgB ，ctgA tgB 。1（ 2）两锐角之间的关系：A B90。（ 3）三条边之间的关系：以上每个边角关系式都可看作方程，解直角三角形的思路，就是根据已知条件，正确地选择直角三角形中边角间的关系式，通过解一元方程来求解。（三）、重难点重点：直角三角形的解法。难点：选择简便方法解直角三角形。（四）、解直角三角形的基本类型和方法已知条件解法一 边 及 一 锐 直角边 a 及锐角 A角B 90 A，b actgA ，斜边 c 及锐角 AB 90 A，acsinA ，bccosA两条直角边 a 和 b，B 90 A，两边直角边 a 和斜边 c，

3、B90 A，二、考点（一）命题方向分析21、考查解直角三角形的定义，主要以判断题和填空题形式出现。目的是理解直角三角形的概念，并注意在已知两个元素至少有一个是边。2、考查解直角三角形，主要出现在计算题中。目的要求画出草图，由直角三角形的五个元素之间的关系进行计算。注意：（1）在计算中尽量用原始数据，以免“累积误差”和“一错再错”；（ 2）在计算过程中若同时可选用两个公式计算时，为简便，要选用乘法计算的公式而不选用除法计算的公式，即“有斜用弦、无斜用切、宁乘毋除、取原避中”。3、一般考查解直角三角形，由于题目本身知识限制（不准查表），因此考题中仍以给特殊角或特殊值为多。所以要求学生掌握一个角为3

4、0的直角三角形和一个角为45的等腰三角形三边的比值关系，对解有关直角三角形的问题尤为重要。（二）热点考题举例例 1、如图 1，若图中所有的三角形都是直角三角形，且 A，AE1，求 AB的长。分析一： 所求 AB是 Rt ABC的斜边，但在 Rt ABC 中只知一个锐角A，暂不可解。而在 Rt ADE中，已知一直角边及一锐角是可解的，所以就从解 Rt ADE入手。3解 法 一 ： 在Rt ADE 中 ， 且 A ， AE 1 ，在 Rt ADC中，在 Rt ABC中，。分析二；观察图形可知，CD、 CE分别是 Rt ABC和 Rt ACD斜边上的高，具备应用射影定理的条件，可以利用射影定理求解。

5、解法二：同解法一得，在 Rt ACD中，在 Rt ABC中，。说明：本题是由几个直角三角形组合而成的图形。这样的问题，总是先解出已经具备条件的直角三角形，从而逐步创造条件，使得要求解的直角三角形最终可解。值得注意的是，由于射影定理揭示了直角三角形中有关线段的数量关系，因而在解直角三角形时经常要用到。在解直角三角形的问题中，经常会遇到这样的图形（图 3），它是含有两个直角三角形的图形。随着 D 点在 BC边上位置的变化，会引起直角三角形中有关图形数量相应的变化，从而呈现许多不同的解直角三角形的问题，下面举例加以说明。4例 2、如图 3，在 Rt ABC中， C 90， AD是 BC边上的中线。（

6、 1）若 BD， B30，求 AD的长；（ 2）若 ABC， ADC，求证： tg 2tg 。（ 1）分析：由 AD是 BC边的中线，只知 DC一条边长，仅此无法直接在 Rt ADC中求解 AD。而在 Rt ABC中，由已知 BC边和 B 可以先求出 AC，从而使 Rt ADC可解。解：在 Rt ABC中， BC 2BD2， B30， AC BC tgB 2，在 Rt ADC中， DC BD，。（ 2）分析：和分别为 RtABC和 Rt ADC中的锐角，且都以直角边AC为对边， 抓住图形的这个特征， 根据直角三角形中锐角三角比可以证明 tg 2tg 。证明：在 RtABC中，,在 Rt ADC

7、中，, 又 BC2DC, tg 2tg 。例 3、如图 3，在 Rt ABC中， C90， AD是 BAC的平分线。5（ 1）若 ABBD，求 B；（ 2）又若 BD4，求。分析：已知AD是 BAC的平分线，又知两条线段的比ABBD, 应用三角形内角平分线的性质定理，就能把已知条件集中转化到Rt ADC 中，先求出 DAC即可求得 B。解：（1） AD是 BAC的平分线，, 即,在 Rt ADC中，, DAC30, BAC2DAC60, B 90 BAC 30。（ 2）,BD 4， ABBD 4， B 30， ACAB2，又 BC AB cosB 6，BCAC62 6。说明：解直角三角形时，要

8、注意三角形中主要线段的性质，利用平面几何的有关定理，往往能够建立已知与未知的联系，找到解决问题的突破口。例 4、如图 3，在 Rt ABC中、 C 90， D 为 BC上一点， ABC 45 , ADC 60， BD 1，求 AB。分析：已知的角度告诉我们， RtABC 和 Rt ADC都是特殊的直角三角形，抓往这个特点设未知数，根据线段间的数量关系，可以列出一元一次方程6求解。解：在 Rt ADC中，设 DCx， ADC60， AD2x，ACx，在 Rt ABC中， ABC 45， BD1， 1 xx， x， ABACx。说明：解直角三角形时，要注意发掘图形的几何性质，利用线段和差的等量关系

9、布列方程。还要熟练地掌握特殊锐角的三角比值，以使解答过程的表述简洁。例 5、如图 4，在 ABC中、 D、 F 分别在 AC、 BC上，且 ABAC， AF BC，BDDC FC 1，求 AC。分析：由数形结合易知，ABC是直角三角形， AF为斜边上的高线， CF是直角边 AC 在斜边上的射影，AC 为所求，已知的另外两边都在BDC中，且 BDDC1，即 BDC是等腰三角形。因此，可以过D 作 DEBC，拓开思路。由于DE，AF 同垂直于 BC，又可以利用比例线段的性质，逐步等价转化求得 AC。解：在 ABC中，设 AC为 x，7 AB AC，AF BC，又 FC1，根据射影定理 , 得：，即

10、 BC。再由射影定理 ,得：，即。在 BDC中，过 D作 DEBC于 E， BD DC1， BE EC，又 AF BC， DEAF，。在 Rt DEC中，即，整理得。说明：本题体现了基本图形基本性质的综合应用。还应该注意，作垂线构造直角三角形是解直角三角形时常用的方法。3、解直角三角形在实际问题中的应用借助解直角三角形解决实际问题，包括度量工件、测量距离、工程技术等许多方面。解决问题的关键是要从实际问题中抽象出几何图形，把实际问题中的数量关系转化为直角三角形的边角之间的关系，从而通过解直角三角形使实际问题得到解决。例 6、某型号飞机的机翼形状如图 5，根据图示尺寸计算 AC、 BD和AB的长度

11、（保留三个有效数字） 。8分析：飞机机翼形状为四边形ABDC，要求其中三条边的长度，一方面应使所求线段成为直角三角形的元素，另一方面，要设法将已知条件与未知量集中在某个三角形中以求解，这就需要恰当地构造直角三角形。解：过 C作 CE BA，交 BA的延长线于 E。在 RtACE中， ACE 45，CE5，ACCE1.414 5 7.07 。过 D作 DF BA，交 BA的延长线于F，且与 AC交于 G，在 RtBDF中， BDF30， DF 5， BD， AB BFAF BF FGBF（ DFDG） BF（ DFCD） 2.885 （ 5 3.4 ） 1.29 （米）。说明：解决实际问题时，计

12、算常有精确度的要求，应注意近似计算的法则和规范表述。例 7、某勘测队在山脚测得山顶的仰角为 38，沿倾斜角为 25的山坡前进 800 米后，又测得山顶的仰角为 62，求山的高度（精确到 0.1 米）。分析：先根据题意画出示意图（如图6），BC 为山高， AD 为山坡， DAC9 25，因为仰角为视线与水平线的夹角，所以 BAC38，AD800 米， BDE 62，要直接在 Rt ABC中求 BC不够条件，必须设法先求出 AB，这就需要根据已知条件，构造直角三角形。解：过 D作 DF AB于 F，在 RtADF中， DAF 38 25 13， AF ADcos DAF 8000.9744 779

13、.5 ，DFAD sin DAF 800 0.2250 180.0 。在 Rt BDF中， DBF 62 38 24， BF DFctg DBF 180.0 2.246 404.3 ， AB AFBF 779.5 404.3 1183.8 ，在 Rt ABC中， BC ABsin BAC1183.8 0.6157 728.8 （米）。答：山高为 728.8 米。说明：在学过解斜三角形以后，解答本题会有更简捷的方法。说明：应用问题尽管题型千变万化，但关键是设法化归为解直角三角形问题，必要时应添加辅助线，构造出直角三角形。例 8、如图 7 所示，河对岸有一座铁塔AB，若在河这边C、D 处分别用测角仪器测得塔顶 B 的仰角为30， 60。已知测角仪器高为1.5 米， CD 20 米，求铁塔的高。（精确到 0.1 米）10解：设 BG x，在 Rt BGF中， ctg BFG， FG BGctg BFG x ctg60 x，在 Rt BGE中， EG BGctg