高中数学 教学教研(名师研讨 教学设计 数学解题 反思 总结) 蜜蜂周报 第12期

1、蜜蜂周报第 12 期 1 / 47蜜 蜂 周 报第 12 期（2020 年 6 月 1 日-6 月 7 日）蜜蜂周报第 12 期 2 / 47关于数学解题学习的几个关键词l 联系我所解决的每一个问题都将成为一个范例,用来于解决其他问题。笛卡尔l 反思没有任何一道题可以解决得十全十美，总剩下些工作要做，经过充分的探讨总结，总会有点滴的发现，总能改进这个解答，而且在任何情况下，我们总能提高自己对这个解答的理解水平。波利亚l 分类恰当地对题目、对解法进行分类，能让你的解题经验更加有序，更有结构化地在大脑里存储，便于你解题时进行检索，确定解题思路。蜜蜂周报第 12 期 5 / 472020 年第 12

2、 期目录第 1 题 6 月 1 日 直线与定圆相切 .1第 2 题 6 月 1 日 二元最值问题 .4第 3 题 6 月 2 日 四边形中的向量问题 .5第 4 题 6 月 2 日 定角定高问题（续） .7第 5 题 6 月 2 日 三个零点如何满足 .8第 6 题 6 月 2 日 三个圆还不够，直线来凑.10第 7 题 6 月 2 日 一个不太一样的空间线段长度和最值问题.12第 8 题 6 月 3 日 条件多了就容易互相矛盾记一个解三角形错题 .17第 9 题 6 月 3 日 将军饮马，古堡朝圣，都是什么鬼？.18第 10 题 6 月 3 日 直角三角形中的解三角形问题-2013 浙江 1

3、6 .25第 11 题 6 月 4 日 两个函数的值域包含关系.31第 12 题 6 月 4 日 两个函数的单调性相关性.32第 13 题 6 月 4 日 双曲线上直线的斜率比值.33第 14 题 6 月 5 日 应个景疫情下开会不要距离太近！.35第 15 题 6 月 6 日 唯一零点问题 .37第 16 题 6 月 7 日 三数比较大小 .39第 17 题 6 月 7 日 一个三元不等式的证明.40蜜蜂周报1-11 合订本下载.42蜜蜂周报第 12 期 1 / 47第 1 题 6 月 1 日 直线与定圆相切这是一个老师从书上截取的，书中给出了两个解法，我们分开来看。法一，是比较自然的，直线

4、与圆相切，按照定义，圆心到直线的距离等于半径，列式，按部就班解决。这个解答是可以优化的，看张平老师的解答：这个优化的重要环节是：该式是一个分式，如果要表达一个与 m 无关的常数，那说明对应项的系数应该是成比例的，所以才有那个等式，这样就直接求出系数了。比原解法更简单直接一下。更高级的解法，上高数！蜜蜂周报 第 12 期 1 / 47蜜蜂周报第 12 期 2 / 47关于解法二对解法二，我们有一个疑问：为什么令判别式等于零就可以求出轨迹方程呢？这个操作的合理性是什么，如何解释？还有，如果 m 的系数不是 2，会怎样？【吴桂平老师的解释】若 m 的次数为 1, 那么直线方程只能出现平行直线系或者中

5、心直线系, 所以不能总和某一圆相切，其实, 对学生来说, 不如先猜后证! 先取 m=0 m=1 m=-1 , 基本上就可以知道是哪个圆了.m 取无穷大, 得到 y=0, 哈。(设 f(x)=0,g(x)=0 是两个直线的方程，那么 nf(x)+mg(x)=0 表示的是所有经过两直线交点的直线，和与 f(x),g(x)平行的直线)齐建民： 对，取三个 m，就变成三角形内切圆了，圆方程可求吴桂平：是的,内切或者旁切；齐建民：哦，对，还可能旁切，那取三个还不行？。麻烦了；吴桂平：像我那样取成正方形就可以了。齐建民：四面围堵。蜜蜂周报 第 12 期 2 / 47蜜蜂周报第 12 期 3 / 47我对解

6、法 2 的解释刚才另一个群有人说过圆上一个定点有且只有唯一的切线，所以 m 唯一。我回答那你得证明m 取一个值就对应唯一的直线？好像这个不是很显然？再深入想一下，不显然，那我们就去证明好了。感觉这思路好像可行。起码都有“1”。【我的证明，证明的是：当 m 取不同的值时，该方程代表了唯一一条直线。就是说不会有两个相异的 m 可以表示同一条直线。但是这个证明，并没有证明，这样的直线是和圆相切的，所以，还是没有解决问题。】龚雷老师的解释这个解释行不行：首先，判别式为 0 时所得的必定是某曲线的方程，我们把该曲线称为 C，曲 线 C 把平面分成两个区域：一个区域内的点使判别式小于 0，说明不存在这样的

7、 m 使直线经过该点，也就是说这个区域是这些直线到不了的地方；另一个区域内的点使判别式大于 0，说明这些直线中有直线可以穿过该点。如果把这些直线全部画出来的话，整个平面就会形成两个区域，一个区域是空的，另一个区域被这些直线填满。而这两个区域的分界线就是曲线 C。因此这些直线中有很多直线与曲线 C 是相切的（还不知道是不是所有直线都相切），这条曲线也不知道是不是圆（这个图形已经是“包络”的一种“前概念”了）。然而现在已知这些直线都与某定圆相切，而判别式等于 0 时的曲线方程也正好是一个圆的方程，那么所求圆不再可能是其它圆了。（齐建民：我觉得这个比较复杂，不易理解）下面是洪一平老师的解法：蜜蜂周报

8、 第 12 期 3 / 47蜜蜂周报第 12 期 4 / 47第 2 题 6 月 1 日 二元最值问题这个题我思考过还有无其他方法，未果。条件可以换元为：m+3n=16，这个是启示我的地方。但是接下来用 m，n 表示所求很复杂，所以没有成功。蜜蜂周报 第 12 期 4 / 47蜜蜂周报第 12 期 5 / 47第 3 题 6 月 2 日 四边形中的向量问题蜜蜂周报 第 12 期 5 / 47蜜蜂周报第 12 期 6 / 47我的思考：四边形的向量题，层出不穷，我在思考一个问题有没有那么一个等式，把四边形所有的边，对角线，用向量形式统一起来，？那会带来一定的解题简便。就像那个斯特瓦尔特定理似的，

9、它把图形里的线段都放进去了，换你是什么特殊位置，都成立！如果四边形能找到这个统一公式就厉害了！蜜蜂周报 第 12 期 6 / 47蜜蜂周报第 12 期 7 / 47第 4 题 6 月 2 日 定角定高问题（续）接第 11 辑第 14 题看到了叶超杰老师关于此题的解法，和几个推广，特补充于此。蜜蜂周报 第 12 期 7 / 47蜜蜂周报第 12 期 8 / 47第 5 题 6 月 2 日 三个零点如何满足蜜蜂周报 第 12 期 8 / 47蜜蜂周报第 12 期 9 / 47蜜蜂周报 第 12 期 9 / 47蜜蜂周报第 12 期 10 / 47第 6 题 6 月 2 日 三个圆还不够，直线来凑（

10、来源与第 5 题相同）蜜蜂周报 第 12 期 10 / 47蜜蜂周报第 12 期 11 / 47蜜蜂周报 第 12 期 11 / 47蜜蜂周报第 12 期 12 / 47第 7 题 6 月 2 日 一个不太一样的空间线段长度和最值问题崔荣军老师的公众号上看到的解答如下：蜜蜂周报 第 12 期 12 / 47蜜蜂周报第 12 期 13 / 47蜜蜂周报 第 12 期 13 / 47蜜蜂周报第 12 期 14 / 47卢军老师提供的 3 个解法蜜蜂周报 第 12 期 14 / 47蜜蜂周报第 12 期 15 / 47【解题大师】黑-绥化-卢军 2020/6/2 21:47:18解决这类问题基本思路

11、有两个：一是引参，转化为函数不等式求最值【解题大师】黑-绥化-卢军 2020/6/2 21:48:38二是展平，立体问题平面化（依据两点间连线段最短，垂线段最短）蜜蜂周报 第 12 期 15 / 47蜜蜂周报第 12 期 16 / 47下面是空间向量法。向量法，把空间想象力的难度转移到了代数上，可以看出难度也比较大，连续放缩，不太容易做到。回到主题上。蜜蜂周报 第 12 期 16 / 47蜜蜂周报第 12 期 17 / 47为什么我说这个线段长度和问题不一样呢，因为我们之前遇到的线段长度和问题，基本都是这样的：关于这两种问题的区别，卢军老师的观点：【解题大师】黑-绥化-卢军 2020/6/2

12、21:29:52起始点与终止点固定，前一个是起始点固定而终止点不定但轨迹清楚【解题大师】黑-绥化-卢军 2020/6/2 21:31:32展平后连线最短，一个是垂线段最短。第 8 题 6 月 3 日 条件多了就容易互相矛盾记一个解三角形错题最近的郑州三模文科试题：蜜蜂周报 第 12 期 17 / 47蜜蜂周报第 12 期 18 / 47修改方法：把条件中的 C 的范围去掉，就不会产生矛盾了。第 9 题 6 月 3 日 将军饮马，古堡朝圣，都是什么鬼？有老师说，这个题的解法是“阿氏圆古堡朝圣”，阿氏圆，我很熟悉，但“古堡朝圣”还是第一次听到。这是在初中数学平面几何里遇到比较多的东西。先看看刘登成

13、老师的解法。蜜蜂周报 第 12 期 18 / 47蜜蜂周报第 12 期 19 / 47求最小值，我可以解决，用的是之前学到的，利用单位向量的特殊性：后来刘登成老师给出了不等式-均值法，用代数法也可以求最大值。蜜蜂周报 第 12 期 19 / 47蜜蜂周报第 12 期 20 / 47我搜了一下，古堡朝圣，这也是个故事。似乎平面几何里很多题型都是故事来的哈哈。蜜蜂周报 第 12 期 20 / 47蜜蜂周报第 12 期 21 / 47一个利用此定理解决的问题蜜蜂周报 第 12 期 21 / 47蜜蜂周报第 12 期 22 / 47蜜蜂周报 第 12 期 22 / 47蜜蜂周报第 12 期 23 /

14、47看完了这个介绍资料，我觉得可以这么看：和“将军饮马”问题比较，“古堡朝圣”就是把曲线变成了圆，而将军饮马是直线（河岸）。我看到另外一个材料，也是关于古堡朝圣的。里面有这样的描述：“古堡朝圣”大意如下：“传说从前有一个虔诚的信徒，他是集市上的一个小贩每天他都要从家所在的点 A 出发，到集市点 B，但是，到集市之前他必须先拐弯到圆形古堡朝拜阿波罗神像古堡是座圣城，阿波罗像供奉在古蜜蜂周报 第 12 期 23 / 47蜜蜂周报第 12 期 24 / 47堡的圆心点 O，而周围上的点都是供信徒朝拜的顶礼地点如图这个信徒想，我怎样选择朝拜点，才能使从家到朝拜点，然后再到集市的路程最短呢？”提取建立模

15、型即：求圆上一点 P 同圆外两点 A，B 所成线段长度和的最小值。可以发现基本就是上课给出的例题。下面先给出结论。当圆上点 P 满足 OP 延长线平分APB（即右图中 等于 ）时 ，|AP|+|PB|最小。以下给出两种证明：1.（初中做法）如左图。在圆上另任取一点 P'，关于过 P 的切线作 A 的对称点 A'，则 =则 A'PB 共线，|AP'|+|BP'|=|A'F|+|FP'|+|P'B|>|A'P|+|PB|=|AP|+|PB|得证。2.（高中做法）考虑以 A、B 为焦点的椭圆与圆相切时椭圆最小，长轴长最小，

16、即两线段和最小。如右图。结合椭圆的光学性质（从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线汇聚于椭圆的另一个焦点上），用数学语言表述为：椭圆上任一点切线的法线平分该点与两焦点所成角。故可得此时=。【齐建民】这个高中做法，做椭圆相切的，我不太理解。我觉得不是那么显然。或者说，它的逻辑推理过程是什么？为什么相切时，2a（长轴）就是最小的？蜜蜂周报 第 12 期 24 / 47蜜蜂周报第 12 期 25 / 47另外，由此我想到了，将军饮马问题，就是动点在直线上，是不是也可以用椭圆来解释？我用几何画板画图验证，用对称的方法确定的点，和画椭圆相切得到的点，是重合的。说明椭圆相切，这个方法可行，但

17、问题是如何解释令人信服？第 10 题 6 月 3 日 直角三角形中的解三角形问题-2013 浙江 16在帅琪老师的公众号看到的。蜜蜂周报 第 12 期 25 / 47蜜蜂周报第 12 期 26 / 47蜜蜂周报 第 12 期 26 / 47蜜蜂周报第 12 期 27 / 47蜜蜂周报 第 12 期 27 / 47蜜蜂周报第 12 期 28 / 47蜜蜂周报 第 12 期 28 / 47蜜蜂周报第 12 期 29 / 47蜜蜂周报 第 12 期 29 / 47蜜蜂周报第 12 期 30 / 47蜜蜂周报 第 12 期 30 / 47蜜蜂周报第 12 期 31 / 47第 11 题 6 月 4 日

18、 两个函数的值域包含关系这种题算是常规题型了吧，不过，我思考的是：还没有别的解法？蜜蜂周报 第 12 期 31 / 47蜜蜂周报第 12 期 32 / 47第 12 题 6 月 4 日 两个函数的单调性相关性解答由卢军老师提供。蜜蜂周报 第 12 期 32 / 47蜜蜂周报第 12 期 33 / 47第 13 题 6 月 4 日 双曲线上直线的斜率比值与此有关的一个结论：蜜蜂周报 第 12 期 33 / 47蜜蜂周报第 12 期 34 / 47石家庄的张书彬老师给出了更为简单的解法：蜜蜂周报 第 12 期 34 / 47蜜蜂周报第 12 期 35 / 47第 14 题 6 月 5 日 应个景疫情下开会不要距离太近！蜜蜂周报 第 12 期 35 / 47蜜蜂周报第 12 期 36 / 47蜜蜂周报 第 12 期 36 / 47蜜蜂周报第 12 期 37 / 47这个题很不错。与现实生活结合的比较自然，不生硬。作者是初一的学生，能思考这么多，真的很棒！第 15 题 6 月 6 日 唯一零点问题蜜蜂周报 第 12 期 37 / 47蜜蜂周报第 12 期 38 / 47蜜蜂周报 第 12 期 38 / 47蜜蜂周报第 12 期 39 / 47第 16 题 6 月 7 日 三数比较大小类似题蜜蜂周报 第 12 期 39 / 47蜜蜂周报第 12