高中数学 教学教研(名师研讨 教学设计 数学解题 反思 总结) 蜜蜂周报 第19期

1、蜜蜂周报第 19 期 1 / 28每周日在公众号“解题研究会”发布老师手稿展示解题心路历程蜜 蜂 周 报第 19 期（2020 年 7 月 20 日-7 月 26 日）蜜蜂周报第 19 期 2 / 28关于数学解题学习的几个关键词l 联系我所解决的每一个问题都将成为一个范例,用来于解决其他问题。笛卡尔l 反思没有任何一道题可以解决得十全十美，总剩下些工作要做，经过充分的探讨总结，总会有点滴的发现，总能改进这个解答，而且在任何情况下，我们总能提高自己对这个解答的理解水平。波利亚l 分类恰当地对题目、对解法进行分类，能让你的解题经验更加有序，更有结构化地在大脑里存储，便于你解题时进行检索，确定解题

2、思路。蜜蜂周报第 19 期 5 / 282020 年第 19 期目录第 1 题 7 月 20 日 一个函数不等式问题.1第 2 题 7 月 20 日 三角形向量问题 .2第 3 题 7 月 20 日 数列放缩一题 .6第 4 题 7 月 21 日 一道解三角形问题的分析.6第 5 题 7 月 21 日 正方体中的轨迹问题.10第 6 题 7 月 22 日 一个翻折问题 .11第 7 题 7 月 22 日 2020 山东高考 16 题.12第 8 题 7 月 22 日 二元最值问题层出不穷.12第 9 题 7 月 23 日 几个代数问题 .14第 10 题 7 月 23 日 有点特别的三角函数问

3、题.16第 11 题 7 月 24 日 是数列问题也是代数问题（续）.17第 12 题 7 月 25 日 来自台湾网友的一个函数？问题.22蜜蜂周报第 19 期 1 / 28第 1 题 7 月 20 日 一个函数不等式问题一、题目二、解答可以看出来，把不等式变形后，右边恰好是可以构成f1( )，而函数明显单调递增，故不等y式得解。我们可以顺便发现，这个函数有一个特殊性质自变量互为倒数的话，那么函数值相乘等于 2。这可以联想一下：两个自变量的关系，与它们对应的函数值之间的关系。比如，如果两个自变量是相反数关系。，这就是奇偶性。蜜蜂周报 第 19 期 1 / 28蜜蜂周报第 19 期 2 / 28

4、第 2 题 7 月 20 日 三角形向量问题一、题目二、解答蜜蜂周报 第 19 期 2 / 28蜜蜂周报第 19 期 3 / 28下面的解法用到了斯特瓦尔特定理，但并未体现出比向量法的优越性。蜜蜂周报 第 19 期 3 / 28蜜蜂周报第 19 期 4 / 28蜜蜂周报 第 19 期 4 / 28蜜蜂周报第 19 期 5 / 28下面的平几三角的方法很巧妙，也非常简便！（当然，这个算技巧，非通法，依赖于比例系数的一致）过 A 作 BC 平行线交 BD 于点 E原式=3(AB+AE)蜜蜂周报 第 19 期 5 / 28蜜蜂周报第 19 期 6 / 28第 3 题 7 月 20 日 数列放缩一题第

5、 4 题 7 月 21 日 一道解三角形问题的分析题目来自这个公众号，周报里收集的题目很多来自这里。蜜蜂周报 第 19 期 6 / 28蜜蜂周报第 19 期 7 / 28从这里可以得到 C=90°蜜蜂周报 第 19 期 7 / 28蜜蜂周报第 19 期 8 / 28蜜蜂周报 第 19 期 8 / 28蜜蜂周报第 19 期 9 / 28我的思考：本着对更多解法的追求，我思考了其他解法。这个题的条件不难想到海伦公式，解法如下：由此可见，原式可以看做三角形为直角三角形的充要条件。蜜蜂周报 第 19 期 9 / 28蜜蜂周报第 19 期 10 / 28第 5 题 7 月 21 日 正方体中的

6、轨迹问题正方体是如此完美的几何体，以至于它可以产生无穷多各种各样的题目。一、题目二、解答首先确定，P 的轨迹是一条线段，是 DM 的中垂面与平面 A1CD1 的交线，单从图形上目测可能不容易看出这个交线在哪两条边上。看不出来就算。我用坐标法可以求出两个端点分别是，图中面对角线的中点，棱的中点。P1 的推导过程如下：（P2 的坐标我是先猜测其在 A1D1 中点经过验证满足）蜜蜂周报 第 19 期 10 / 28蜜蜂周报第 19 期 11 / 28第 6 题 7 月 22 日 一个翻折问题关注点是选项 C。注意这个题的条件中，矩形 ABCD，E 为 AB 的中点。在翻折过程中有一个隐含的垂直关系A

7、A1DE，这个是容易忽视的。（作 AHDE，那么 A1H 也垂直 DE，所以 AA1DE这也是一个一般规律，在翻折过程中，对应点的连线始终垂直旋转轴）我们采取倒推法：如果 EDA1C，作出 A1 在底面上的射影 A0，可以推出 CA0DE；那么因为 AA1 也垂直 DE，所以 AA0 也垂直 DE,这样的话就得到 A,H,A0,C 共线，也就是说 ACDE，而这个条件是题目已知中没有的，换句话说，这个矩形是特殊的矩形（AD 与 AB 的比是 1 比根号 2）所以，C 选项是错的。蜜蜂周报 第 19 期 11 / 28蜜蜂周报第 19 期 12 / 28第 7 题 7 月 22 日 2020 山

8、东高考 16 题第 8 题 7 月 22 日 二元最值问题层出不穷多元最值问题是层出不穷的。给我的感觉是解法似乎是一题一样，难以捉摸，对解题能力要求很高！蜜蜂周报 第 19 期 12 / 28蜜蜂周报第 19 期 13 / 28蜜蜂周报 第 19 期 13 / 28蜜蜂周报第 19 期 14 / 28第 9 题 7 月 23 日 几个代数问题帅琪老师的公众号质量极高。非常赞成帅琪说的代数能力非常重要，代数能力差的人感觉不到代数能力的重要性。这句话让我想到一个类似的现象：有的人看书，或者听别人说话，总会认为“那都是鸡汤”，那是因为他的水平比较低，所以听什么都是鸡汤。回到正题。我对帅琪的话有同感，

9、代数能力绝对是制约一个人解题水平的重要因素！因为最近我在学习不等式，学习方法就是找到相关的书，一天一天地抄书上的例题，一道挨着一道，自己有想法的也顺便写上。我发现在不等式领域，代数能力太重要了，比如几项的乘积，完全平方，通分等等。代数能力差，几乎是寸步难行的。蜜蜂周报 第 19 期 14 / 28蜜蜂周报第 19 期 15 / 28蜜蜂周报 第 19 期 15 / 28蜜蜂周报第 19 期 16 / 28第 10 题 7 月 23 日 有点特别的三角函数问题一、题目二、解法这个题比较有意思，对概念的考查比较深刻。这里，要把 sinx，cosx 看成两个角度，是-1 到 1 的角，正弦在此区间是

10、单调递增的，蜜蜂周报 第 19 期 16 / 28蜜蜂周报第 19 期 17 / 28 p p因为 cos x + sin x £ 2 < ，所以sin(cos x) < sin( -sin x) = cos(sin x) ， 2 2单独讨论前后两个函数的最值情况，发现前面函数最小和后面函数最大可以在同一个地方取到，比如 x=，几何画板验证如下：（本题选 ABC）第 11 题 7 月 24 日 是数列问题也是代数问题（续）这是 18 期文章的续。为了方便起见，我把第 18 期这个文章全文复制如下：一、题目蜜蜂周报 第 19 期 17 / 28蜜蜂周报第 19 期 18 /

11、 28二、解法两位老师给出了下面的解答：很巧妙，但似乎 a2 的出现比较突然。可以看出，引入 a2 和 d 后，条件和目标都用他们俩来表示，而且条件化简后形式比较简单，系数相同，没有交叉项。如果用 a1 和 d，条件化简后，两个变量的系数就不会相同了，而且出现交叉相乘的项。可能柯西会失效。这个题我刚看到的时候，没想到上述方法，我采取了比较笨的转化代数问题的方式，即万能设 k 大法：蜜蜂周报 第 19 期 18 / 28蜜蜂周报第 19 期 19 / 28后来我看到上述柯西不等式的方法后就想，如果一开始设的是 a1 和 d，尽管条件变得稍微复杂了些，但能否用柯西来做呢？试一试才知道！其实也是可以

12、的：后来我接着想，那不用 a1 和 d，用别的项行不行呢，比如再用 a5 和 d 试试：蜜蜂周报 第 19 期 19 / 28蜜蜂周报第 19 期 20 / 28你看，用 a5 和 d 也可以！到这里，我们就可以大胆地说，这个题用任何两组基本量都可以用柯西解决！这是不是有点出人意料。（当然，计算量会有些许差别）就像我在前面几期提到的，数学老师自己在平时解题时应该是有所追求的，追求“更多”（多种解法），追求“更简”（方法的简介）。有时候我们没找到这两个“更”，也许是因为“没找到”，而不是“不存在”。这些都需要我们在得到一个解法后不断地反思才行。简单说不满足得到答案！（18 期文章完）-分割线-7

13、 月 24 日，我在浏览公众号时，看到一个文章里面的题比较眼熟，孕妇效应又发生了！对比一下，原来就是上面问题的一般形式，抄录如下：蜜蜂周报 第 19 期 20 / 28蜜蜂周报第 19 期 21 / 28可以看出，当 n=2 时就是 18 期这道题。蜜蜂周报 第 19 期 21 / 28蜜蜂周报第 19 期 22 / 28第 12 题 7 月 25 日 来自台湾网友的一个函数？问题在解题研究会群，有一位宝岛台湾的洪老师，他经常给我们带来一些台湾省的数学资料，今天他发了一道题：【群主】河北唐山齐建民 2020/7/24 20:42:31这个题，应该强调一下，2x+5=2*(x+2)+1 ？这样与 2x 才是互补的，奇数并偶数是全部，要不然，不能说 27 个是全部解吧？台湾省(主籍河南)洪孟白【解题高手】北京-延鹏-老师 2020/7/24 20:57:05前面的例子不用加，因为例子比较复杂。f(x)0，若 x 为偶，11 个解。若为奇，16 个解【解题高手】北京-延鹏-老师 2020/7/24 21:00:41我若构造例子，会构造尽可能简单的蜜蜂周报 第 19 期 22 / 28蜜蜂周报第 19 期 23 / 28【解题大师】河北正中张书彬 2020/7/24 21:02:55这种抽象题抽象理解