高中数学 教学教研(名师研讨 教学设计 数学解题 反思 总结) 蜜蜂周报 第3期

1、蜜 蜂 周 报第 3 期（2020 年 3 月 30-4 月 5 日）2020 年第 3 期目录1.一定两动成定角，平行四边形对角线最值问题（续）.12.又见等和线.93.我说你来猜扑克牌的逻辑推理问题 .124.事不过三，终成难题长方体中的多次反射问题.165.给定条件求角的范围.226.平口单峰一座神奇的峰 .247.变中有定四面体的截面问题 .268.抽丝剥茧，层层转化抽象函数的零点.289.非线性目标函数.3010.矩形四个顶点相关的最值问题(五星)（续）.3011.与向量有关的最值问题 .3212.与重心、外心有关的最值问题（四星）（续）.3313.三角形中的最值问题 .3414.虽

2、不能在一起，也能心连心椭圆离心率问题.3815.所有的已知条件都要用上？一道三角形周长取值范围问题.4416.这不是极值点偏移问题双变量不等式.4917.两条切线互相垂直求参数范围 .511.一定两动成定角，平行四边形对角线最值问题（续）这个题也成了一个网红题，自上周出现，在各个教师群中展开激烈研究，现在有了一个比较完整的解答过程，整理如下。资料来自公众号“邹生书数学”。感谢邹老师整理！（我没有全文摘录，读者可以去公众号看全文，文件名：问题研究 II 对一道困惑高中教师的最值问题的探究之旅）1上述解法是错误的。第一个不等式成立的条件是ABC 为等边三角形，此时三角形关于直线 OA 对称，则点

3、M 在直线 OA 上；第二个不等式成立的条件是点 A 在线段 OB 上。由此推出 A,B,C 三点共线，不合题意。2. 再看一个直觉猜想23洪一平老师的解答45（2）赵辉博士的轨迹方程解答手稿（对问题进行了等价转化）67张波博士对原问题的完美解答8一个网文：黄之圆中对一个定点的张角为定值的弦中点全文在公众号“许康华竞赛优学”，篇幅比较大，不再贴出来了，读者感兴趣请自行查阅。下面这个链接，可以点开：（ 55&idx=1&sn=d1106e70c49af2b27ae7195fe547871d&chksm=ebb50c34dcc28522e43d003d1fb91e9a8fccaf2433f3d28

4、d8f9599b0e18c44f261062083058c& mpshare=1&scene=1&srcid=0325362c6E9wBFrhSwrZC4iF&sharer_sharetime=1585615275327&sharer_shareid=d741361143220f34263befa46b981043& key=50aaa926bffe5f42d18a05287d4eb31d7e61ee7f8e1fdf83d5de54e5a04ea8eb0bb8dd56deaf264deeb59376dda8b876d8c19641b91875490c43b43bdde41a6c04430a80

5、4b209a00409175ed52113bd6&ascene=1&uin=ODIxNzQ4NjU%3D &devicetype=Windows+10&version=62080085&lang=zh_CN&exportkey=AZk LA0a1%2Fzuw4QuIEzS45Aw%3D&pass_ticket=Y8AoB5xJR%2BxhckhmQMucp%2B SEwVbdwlYBjjasH0eXccM%3D）2.又见等和线等和线也是这几年发展起来的一种解题技术，很厉害。下面这道题是群里学生问的：9搜题软件的解答。搜题软件中的解答很多是有问题的。这题也是，不严密（作为选择题尚可）。10变式1

6、13.我说你来猜扑克牌的逻辑推理问题从哪年开始，高考中出现了这种逻辑推理题，不需要什么高中数学公式，如果说它考什么，就是考逻辑推理能力。12相关试题甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩，老师说，你们四人中有 2 位优秀，2 位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩，看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩，根据以上信息，则A乙可以知道两人的成绩B丁可能知道两人的成绩C乙、丁可以知道对方的成绩D乙、丁可以知道自己的成绩选 D(2014 年课标高考试题)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过 A,B,C三个城市时,甲说:我去过的城市比乙多,但没去过 B城市;乙说:我没

7、去过 C城市;丙说:我们三人去过同一个城市.由此可判断乙去过的城市为 .解析:由丙说:我们三人去过同一个城市,甲说:没去过 B 城市,乙说:我没去过 C 城市 三人只可能同去A市 乙去过 A市;若乙去过 B市,则乙去过 2市=甲去过的城市数,与甲说:“我去过的城市比乙多”矛盾.13故乙去过的城市只有 A市.子题类型:(2014年福建高考理科试题)若集合a,b,c,d=1,2,3,4,且下列四个关系:a=1;b1;c=2;d4有且只有一个是正确的,则符合条件的有序数组(a,b,c,d)的个数是 .解析:根据a=1;b1;c=2;d4 有且只有一个是正确的,枚举筛选如下:若a=1 正确,则b1 错

8、误 b=1,矛盾;若b1 正确,则a=1;c=2;d4 错误 a1,c2,d=4 c=1(a,b,c,d)=(2,3,1,4),(3,2,1,4);若c=2 正确,则a=1;b1;d4 错误 a1,b=1,d=4 a=3 (a,b,c,d)=(3,1,2,4); 若 d 4 正 确 ,则 a=1; b 1; c=2 错 误 a 1,b=1,c 2 (a,b,c,d)=(2,1,4,3),(3,1,4,2),(4,1,3,2).综上,(a,b,c,d)的个数是 6.子题类型:(2007 年武汉大学自主招生数学试题)来自英、法、日、德的甲、乙、丙、丁四位客人同时参加一个国际会议.他们除了懂本国语言

9、外,每人还会说其他三国语言中的一种.有一种语言是三个人都会说的,但没有一种语言人人都懂.现知道:甲是日本人,丁不会说日语,但他俩能自由交谈;四个人中,没有一个人既能用日语交谈,又能用法语交谈;乙不会说英语,当甲与丙交谈时他都能做翻译;乙、丙、丁交谈时,找不到共同语言沟通.由上述可知,丁会说的两种语言是 .解析:由知:甲是日本人;由知:甲只能会英、德两种语言中的一种;()若甲会英语,则由知,丁会英语 丁不是英国人,但丁会英语,或丁是英国人.若丁不是英国人,但丁会英语,由知,乙也不是英国人 丙是英国人,此时甲、丙均会英语,由知,乙会日语,与矛盾;若丁是英国人,由知:乙会日语,由知:不法语 乙是法国

10、人,且会日语 丙是德国人,由知:乙会德语,与大前提矛盾;()若甲会德语,则不会英、法语,由知,丁会德语,由知,乙会德语 丙不会德语 丙不是德国人 乙是德国人,丙是法国人,丁是英国人,由此得上表,丁会说的两种语言是英、德语.点评:逻辑推理问题中,有时会涉及很多对象,每个对象又有几种不同情况,同时还给出不同对象之间不同情况的判断,要求推出确定的结论.对于这类问题,通常可以利用表格把本来凌乱的信息集中整理出来,方便推理.4.子题系列:1.(2014 年重庆福建文科试题)己知集合a,b,c=0,1,2,且下列三个关系:a2;b=2;c0 有且只有一个正确,则 100a+10b+c等于 .2.(2007

11、年武汉大学自主招生数学试题)某珠宝店失窃,甲、乙、丙、丁个四人涉嫌被拘审,四人的口供如下:甲:作案的是丙;乙:丁是作案者;丙:如果我作案,那么丁是主犯;丁:作案的不是我.如果四人口供中只有一 个是假的,那么以下判断正确的是( )(A)说假话的是甲,作案的是乙 (B)说假话的是丁,作 案的是丙和丁(C)说假话的是乙,作案的是丙 (D)说假话的是丙,作案的是丙3.(2009年上海交通大学保送生考试试题)某珠宝店丢失了一件珍贵珠宝,以下四人只有一人说真话,只有一人偷了珠宝.甲:我没有偷;乙:丙是小偷;丙:丁是小偷;丁:我没有偷.则说真话的是 ,偷珠宝的是 .4.(2007 年武汉大学自主招生数学试题

12、)运动会上,甲、乙、丙三名同学各获得一枚奖牌,其中 1 人得金牌、1人得银牌、1人得铜牌.王老师曾猜测“甲得金牌、乙不得金牌、丙不得铜牌”,结果王老师只猜对了一人,那么,甲、乙、丙分别获得 牌.5.(2005年第十六届希望杯数学邀请赛试题)甲、乙、丙、丁四位同学参加数学竞赛,其中有一人获奖,有人走访了四位同学,甲说:“我获奖”;乙说:“甲、丙未获奖”;丙说:“甲或乙获奖”;丁说:“乙获奖”.四位同学的话恰有两句是对的,则获奖的同学是 .6.(2006年第十七届希望杯数学邀请赛试题)某学校组织学生参观 a,b,c,d四处,规定:去 a就不去 b;去 b就去 d;去 c就不去 d;不去 c就去 b

13、.则下列判断中,错误的是( )(A)不可能去 b又去 c (B)去 b的人与去 c的人相同 (C)去 a的人就去 c (D)去 d的人就去 a7.(2016年全国高中数学联赛吉林预赛试题)某次英语竞赛后,小明、小乐和小强分列前三名.老师猜测:“小14明第一名,小乐不是第一名,小强不是第三名”.结果老师只猜对了一个.由此推断:前三名依次是 .8.(2006年第十七届希望杯数学邀请赛试题)四个学生参加一次数学竞赛每人预测获奖情况如下:甲:如果乙获奖,那么我就没获奖;乙:甲没有获奖,丁也没有获奖;丙:甲获奖或者乙获奖;丁:如果丙没有获奖,那么乙获奖.竞赛结果实际有 1人获奖,且 4个的预测中恰有 3

14、人正确,则获奖者是 .9.(2016 年高考全国甲卷试题)有三张卡片,分别写有 1 和 2,1 和 3,2 和 3.甲,乙,丙三人各取走一张卡片,甲看了乙的卡片后说:“我与乙的卡片上相同的数字不是 2”,乙看了丙的卡片后说:“我与丙的卡片上相同的数字不是 1”,丙说:“我的卡片上的数字之和不是 5”,则甲的卡片上的数字是 .若干练习:1.解:若 a2,则 b2,c=0,矛盾;若 b=2,则 a=2,c=0,矛盾;若 c0,则 a=2,b2 c=1,b=0100a+10b+c=201.2.解:若说假话的是甲,则由乙:丁是作案者与丁:作案的不是我,矛盾;若说假话的是乙,则由甲:作案的是丙;又由丙:

15、如果我作案,那么丁是主犯;与丁:作案的不是我,矛盾;若说假话的是丙,则由乙:丁是作案 者与丁:作案的不是我,矛盾;若说假话的是丁,则丁是作案者,由甲:作案的是丙 作案的是丙和丁,由丁是主犯.故选(B).3.解:若甲说真话,则由丁:“我没有偷”说假话 丁是小偷 丙:“丁是小偷”说真话,矛盾;若乙说真话,则丙是小偷 丁:“我没有偷”说真话,矛盾;若丙说真话,则丁是小偷 甲:“我没有偷”说真话,矛盾;若丁说真话,则甲:“我没有偷” 说假话 甲是小偷.4.解:若“甲得金牌”对 “乙不得金牌”也对,与大前提“王老师只猜对了一人”,矛盾;若“乙不得金牌”对,则由大前提知:“甲得金牌”与“丙不得铜牌”均错

16、甲不得金牌,丙得铜牌,则无人金牌,矛盾;若“丙不得铜牌”对,则由大前提知:“甲得金牌”与“乙不得金牌”均错 甲不得金牌,乙得金牌 甲 得铜牌,乙得金牌,丙得银牌.5.解:若甲说:“我获奖”对 乙、丁错,丙对,符合题意;若乙说:“甲、丙未获奖”对 甲错,此时丙与丁等价,无论同真假均与大前提矛盾;若丙说:“甲或乙获奖”对,若乙获奖 乙、丁对,与大前提矛盾;若丁说:“乙获奖”对 乙、丙对,与大前提矛盾.6.解:由“不去 c就去 b”知:b,c至少去其一.去 b,不去 c 去 d,不去 a;(D)错;去 c,不去 b 不去 d,去 a;(C)对;去 b,c 去 d,不去 a;(A)对.故选(D).7.

17、解:答小乐、小强、小明;8.解:如果获奖者是甲,则甲、丙正确,乙、丁错,不合实际; 如果获奖者是乙,则甲、乙、丙、丁都正确,不合实际;如果获奖者是丙,则甲、乙、丁正确,丙错,合实际;如果获奖者是丁,则甲正确,乙、丙、丁错,不合实际.故获奖者是丙.9.解:根据甲与乙的卡片上相同的数字不是 2,知甲和乙可能是 1和 2,1和 3,或者 1和 3,2和 3;乙与丙的卡片上相同的数字不是 1,知乙与丙可能是 1和 2,2和 3,或者 1和 3,2和 3;由于丙的卡片上的数字之和不是 5,知丙的卡片为 1和 2,或 1和 3;若丙为 1和 3,则乙的卡片是 2和 3,甲的卡片是 1和 3,不符题意;若丙

18、为 1和 2,则乙的卡片是 2和 3,甲的卡片是 1和 3,满足条件.答案为 1和 3.154.事不过三，终成难题长方体中的多次反射问题这题一看条件就知道来者不善，经过三次反射，最后研究的问题是外接球半径，看来这三次反射是拦路虎，不把它研究透，那三个点 MNQ 就无法确定位置。【LV3】四川资阳 文龙 2020/3/30 16:32:42这和“将军饮马”一样16【LV4】河北正中张书彬 2020/3/30 22:07:38以下两个图是河南郑州刘登成老师的解法172 个相关题【2014 江西高考理第 10 题】如右图，在长方体ABCD - A B C D 中， AB =11， AD =7，1 1

19、 1 1AA =12，一质点从顶点 A 射向点 E(4，3，12)，遇长方体的面反射（反射服从光的反射原理），1将 i -1次到第i 次反射点之间的线段记为 ( 2,3, 4)L i = ，iL = AE ，将线段1L L L L 竖1, 2 , 3, 4直放置在同一水平线上，则大致的图形是（ ）C1819文献中提到的问题，我在思考上面那个三次反射的题目时也思考过：有这样一个结论：如果两个镜子垂直，那么光线经过两次反射后，最后的反射光线与最初的20入射光线平行。但是要注意，入射光线跟两面交线垂直时才会出现平行的情况，也就是上图中红点代表的直线。这时入射光线和反射光线才是平行（共面）的。否则二者

20、就是不平行的。关于这个可以看下黎任老师做的动态展示，超链接可用：【LV3】广东湛江黎仁 0:00:35示，这是地址，打开可以看，可以用手转动方向观看215.给定条件求角的范围解法类似题22236.平口单峰一座神奇的峰最近我在补课，就是在补这几年在数学解题上落下的课。发现这几年，有几个很不错的解题技术出现，其中一个就是“平口单峰”。这是野猪老师（重庆南开中学）提出的一个解题方法，可以迅速解决一类很。（你能想到的各种不可言喻状态）的最值问题。作为老师，是有义务研究解题技术的，不能“因为难所以难”，而是应该尽量把复杂问题简单化的解决，简单化讲解，要给学生工具，能在考场上快速解题，完美拿分。从这个角度

21、来说，我是赞成“秒杀”这个说法的，这至少应该是数学老师的追求，当然作为商业噱头那是另外一回事。难道作为老师的你不应该追求“化繁为简”吗？回到正题上。野猪对这个方法进行了比较详细的说明，在网上都能搜到，如果你是第一次听到这个方法，可以去看原贴：417a4752b7655a6514b855836a&chksm=cfd21c33f8a59525bf1925d30d665829b7bc70095448a2d18b7c10d51b3682ec139659f7961d&mpshare=1&scene=23&srcid=03312nBbwH4ox7MyDSvk20Yj&sharer_sharetime=15

22、85656342979&sharer_shareid=46ca201dec54461a1330012ad82c14ae#rd这里只贴一道本周我看到的题。这题能传开，说明还有人不会用“平口单峰”大法，包括我，我也在学习中。这个题的解决，是费了番周折的，好在我认识野猪多年了！专门向他请教了一下下。其实他也没给我真传什么 ，我就是在他的指引下把那个帖子里的例题好好研究了研究。题目：24本题如果用“平口单峰”原理来解，需要构造一下，使之满足“平口单峰”这个特征，具体来说，就是极大值等于端点值：257.变中有定四面体的截面问题26这个题我搜了下，貌似是 2014 年温州的模拟题。命题说的是一件事，在立体

23、几何里有这么一条公里：如果三个平面交于三条直线，那么这三条直线必互相平行或交于一点。具体解答：当把截面 ECD 做出来后，三棱锥 A-BCD 就被分为了 2 个三棱锥，A-ECD，E-BCD，这两个三棱锥体积是相等的，都是三棱锥 A-BCD 的一半，1V - =V - -V - +V - =V - = V -AC EGFH A ECD D EFH C EFG A ECD A BCD2 类似题278.抽丝剥茧，层层转化抽象函数的零点题目来自 3 月 31 日的南京二模压轴填空函数 f (x) 是单峰函数，所以 f (x) 最多有 2 个零点，1所以函数g(x) = f ( f (x) - ) 恰

24、有四个零点的时候，说明 f (x) 恰好有 2 个零点（一生二则2 才有二生四），此时b 1；28画出 f (x) 的草图如上，一个零点为负，另一个为正，设为 1, 2x x ，x 0，则要使方程1f x - = x 有 2 个根，则直线( )221y=x + 必与函数 f (x) 有两个22公共点，这是显然满足的； 对于x11x 1-b ，即b - x ，1 12 21y=x + 与函数 f (x) 有两个12f (x ) = ex - x -b=0，则现在问题转化为在这 3 个条件下求b 的范围：11 1 x - x -be =011 -1b x 12 b 0)a b2 2焦点三角形内心的

25、轨迹及其方程：利用几何画板，先画出它的轨迹，再求它的方程 利用参数方程，绘制椭圆C ：xy=acosqbsinq 绘制点 P(acosq ,bsinq)，并且作出焦点三角形F1PF ，如图（1）2 作出F1PF 和2PF1F 角平分线，设交点为 I，如图（2）2 使点 P 在椭圆上运动，观察点 I 的运动轨迹，如图（3）图（1） 图（2） 图（3） 下面求它的轨迹方程：解：如图（4），设点 P( )x0 , y ，内心 I 为(x, y)，焦点0F1 -c 、F c ，( 2 r,0 ,0) PF = ，PF = ，则) 1 r(2 1 2r1- r =2ex 2 0过内心 I 作 ID、IE

26、、IF垂直F 、 、 于点 D、E、F 1F F P PF2 1 2 点 I 是 F1F P 的内心，点 D、E、F 是内切圆的切点， 图（4）2 由切线长定理，得方程组：PEPFF D1+F E1F F2F D2=r1r22c，结合r - = ，解得：1 r 2ex2 0F = + 1D c ex0x而 F1D = c + x ， x = ex0 ，既 0 x =e 1又 F1F P 面积 S = c y0 ， S F F PF PFF ) y (a c) y= ，( 1 + + = + 2 2 1240c = (a + c) y ，既y0a + cy = y0c x y2 2将代入 1(

27、0)0 + 0 = a b a b2 2x y2 2，得 + = 1c b c2 2 2(a + c)2x y2 2可知，椭圆 + = 1(a b 0)a b2 2焦点三角形内心的轨迹是一个椭圆，它的离心率是2e1+ ex y2 2二、椭圆： + = 1(a b 0)a b2 2焦点三角形重心的轨迹及其方程：x y2 2椭圆： + = 1(a b 0)a b2 2焦点三角形重心的轨迹仍 x y是一个椭圆，如图（5），它的离心率与 1( 0) a b2 2+ = a b 的离2 29x 9y2 2心率相同，方程为 + = 1(a b 0)解法略去 图（5）a b2 2x y2 2三、椭圆： +

28、= 1(a b 0)a b2 2焦点三角形垂心的轨迹及其方程：我们还是利用几何画板，先画出它的轨迹，再求它的方程如图(6)它的轨迹是关于原点对称的两条抛物线吗？我们通过它的方程来回答这个问题图(6)解：如图（7），设 点 P(x , y ) ，垂心 H 为(x, y)，0 0焦 点 1 ( c ,0) F (c ,0)F - 、 ， 则 1H (x c, y)F = + ， 2PF2 = c - x -y ( , )0 0 F1H PF2 ，(x + c, y)y0 ) =0 图（7）41又 x = x ，0 c2 - x2 -yy0 = 0.而x y2 202 02 1( 0)+ = a b

29、 ，a bb b2 2y a x a x0 2 ( 0 ) 2 ( )2 = 2 - 2 = 2 - 2 .a a将式代入式，整理得： y= a(c - x )2 2b a - x2 2由方程可以看出，椭圆焦点三角形垂心的轨迹不是两条抛物线，它与哪些初等函数图象有关？请大家思考x y2 2四、椭圆： + = 1(a b 0)a b2 2焦点三角形的外心的轨迹及其方程x y2 2由于 y 轴是椭圆 + = 1(a b 0) 焦点三角形的一条边的中垂线，所以，a b2 2可以判断出外心的轨迹是 y 轴或 y 轴的一部分，利用几何画板画出的轨迹图形可以说明这一点，如图（8）下面求焦点三角形外心 W

30、的运动范围解：设点 P (acosq ,bsinq)，外心W 为 (0, y) ，焦点F1 -c 、F c ( ,0) ( ,0)2由WP = WF ，得：c2 + y2 = (acosq)2 + (y -bsinq)2 图（8）2整理，得：y2 2-b cb c2 sinq| y |）= - （2 sin 2b q 2bx y2 2可知，椭圆： + = 1(a b 0)a b2 2焦点三角形的外心的轨迹或者是 y 轴，或者是 y 轴上的两条射线42x y2 2焦点三角形的内心轨迹： + = 1c b c2 2 2(a + c)29 9yx .2 2焦点三角形的重心轨迹： + = 1(a b

31、0)a b2 21计算可知，当e = ， 1e = 的时，两个轨迹方超的 x，y 分别相等。3 2 几何画板验证如下：（蓝色为重心轨迹，白色为内心轨迹，均取一半）4315.所有的已知条件都要用上？一道三角形周长取值范围问题一般来说，一个正常的（科学的）数学题，是不存在多余的条件的，当然，也应该是不缺少条件的（否则问题可能变为开放性的）。也就是说，在解题过程中，所有的条件都要用到，如果没全用到，那么得到的解答可能就是错的。这也在提示我们，解题的时候，如果遇到障碍，没有思路，就要把所有条件都重新审视一遍，看看哪个条件还没用到，或者说使用的不充分，没有意识到所谓“隐含条件”。下面这个例子，能说明此道

32、理。这个题的解法不唯一，下面是另解。44b a这个条件等式： 4 cosC+ = ，得到的结论是 2 个，a b 三边的数量关系， a2 + b2 = 2c2 ，C 是锐角。在求周长时两个约束条件都要用到，如果忽略“C 是锐角”这个约束条件就容易导致错解，如下：容易知道的是 a2 + b2 c2 和 a +b c 是不等价的，所以左边从 4 开始算的话是扩大了范围。按 a +b c 去算 a +b 的取值范围，是没考虑锐角这个约束条件。45为了让读者更清晰，看下面四道题，条件各异，结论不同：b a经过我搜索发现，把 + = 4cosC这个结构作为已知的类似题不少，有的题目实际上仅用a b 到了

33、数量关系那个结论，如下面这个：不难发现，这个题的解决过程中，既没有用到“锐角三角形”这个直接条件也没用到“C是锐角”这个隐含条件。所以在已知条件中“锐角三角形”这个条件是可以删去的。类似题46（条件中的“锐角”也是可以删去的）就像前面说的，如果对已知条件使用的不充分就会导致错解，我翻了翻电脑里关于错解的文献，找到一个例题来佐证：474816.这不是极值点偏移问题双变量不等式49这个题与对数均值不等式是有关系的。下面有一道类似题。解法类似，直接使用了对数均值不等式。这个解法我觉得更易于理解，上面那种构造 m(x)的解法，是分析法来的。为方便读者，这里附带对数不等式的证明。50a -b已知 a,b

34、为两不等的正实数，我们称 为 a,b 的“对数平均数”它与 a,b 的“几ln a - lnba + a -b a + bb何平均数 ab ”及“算术平均数 ab b 0先证ab a -bln a -ln ba ，设 f (t) 2lnt t 1(t 1) 令 t(t 1) = - + ，b t2 1 - (t +1)2则 f ( = - - 0 ，所以 f (t)在 (1,+) 递减，而 f (1) = 0，因t) 2 = 1时， f (t) 2lnt t 1 0 a -= - + 恒成立，即ln 成立a bt b b a再证a2( -1) ba -b a +ba，即证 ，ln ，g( )

35、ln 2( 1) ( 1)a t -令 t(t 1) t = t - t b t +1，1 4 (t -1)2则 g = - = 0 ，所以g(t) 在 (1,+) 递增，而g(1) = 0 ，因(t) 2 t (t +1) t(t +1)2此当t 1时，ln 2( 1) 0t - t +1t -恒成立，即 a -b a +bln a -lnb 2成立17.两条切线互相垂直求参数范围51下面的分类讨论亦可搜题软件这个解法，稍微复杂了些5253而下面这个韦达定理的解法，开始我觉得有一点问题，逻辑上首先应该保证有解，也就是判别式。但实际上，因为它用的是两根之差，已经包含了判别式在里头，所以逻辑上就

36、没问题了。我搜了一下，顺便把“两条切线互相垂直”这类题的相关资料都贴到这里。54曲线上存在两条互相垂直的切线问题模型探究x例题 1（2013 天津预赛 5）如果曲线 y = 2sin 的两条互相垂直的切线交于点 P，则 P2点的坐标不可能是（ ）(A) (p，p ) (B) (3p,-p ) (C) (5p,-p ) (D) (7p,-p )x x x解析 设曲线 y = 2sin 在点 A x 1 B x 2 的切线交于点 P，那么由题意可( , 2sin ), ( , 2sin )1 22 2 2知：x xx x = - .k1k2 = -1，其中 1 2k1 = cos ,k2 = co

37、s ；即有 cos 1 cos 2 12 2 2 2x x x xx x = 时， 又 -1 cos 1 1,-1 cos 2 1，则有 -1 cos 1 cos 2 1，当且仅当 cos 1 cos 2 12 2 2 2 2 2等号成立.x = 2kpx = - x = 时， x x = - ，即可知因此，当 cos 1 cos 2 1 cos cos 1 = +1 212 2 x 2(k 1)2 2 p 22.x + xp k + p那么 x 1 2 (2k 1)p y = = -= = + ， sin (2 1)p ( 1)kP P2 2 . 故可知(C)错.评注 此题或先求出(p，p

38、)和(-p，-p )两个交点，再利用周期为 4p ，同样得解.例题 2（2013 山东预赛 10）假设实数 b，c 满足 b2 + c2 =1，且f(x)=ax +b sinx c+ cos x的图象上存在两条切线互相垂直，则 a 的取值范围是 解析 f (x) = ax + bsin x + ccosx = ax + b2 + c2 sin(x +j) = ax + sin(x +j) ；设图象上两条切线在曲线上的切点分别为A x y B x y ，则有 k k = f (x ) f (x ) = - . 即：( , ), ( , ) 1 2 1 2 11 1 2 2a + cos(x +j

39、)a + cos(x +j)= -1 1 2在中，令 t = cos(x +j), (i =1, 2) ，展开后有 a2 + a t + t + t t + = ，由 a R 可知( ) 1 0 i i 1 2 1 2D 0 ，又D = + 2 - + = - 2 - (t t ) 4(t t 1) (t t ) 41 2 1 2 1 2在中，由于 t -1,1 ，那么it - t ，即 D = (t - t )2 - 4 0 ，因此由可知1 2 21 255D = ， t1 = -t2 = 1，代入到中解得 a = 0 .0综上可知：a 的取值范围是 a = 0 .评注 此题可溯源到如下例题

40、：例题 3 已知函数 f (x) = x3 ，t( I ) 记j( ) = ( ) + ( )( ) ，求j(x) 的极小值；x f x f x t R3f (x)(II) 若函数 h(x) = l + sin x 的图象上存在互相垂直的两条切线，求实数 l 的值及相x应的切点坐标.(II)解析 h( x)= l3 x+ s i n，那么 h(x) = 3l + cos x ，设切点分别为( , ( )( 1, 2.)t h t i =i i由题意知 h (t )h (t ) = - ，即有( )( ) 1 3l + cost 3l + cost = -1 ，展开得到1 2 1 29l + 3(cost + cost )l + (cost cost +1) = 0 ，21 2 1 2在中，由 l R 可知， D = + 2 - + ，即(cost - cost )2 4 .9(cost cost ) 36(cost cost 1) 01 2 1 2 1 2又cost - cost 2 ，则 D = 0, cost = -cost = 1, 代入得 l = 0 . 并且切点坐标为1 2 1