第2章质点运动学

1、第二章第二章 质点运动学质点运动学质点质点具有一定质量，不计其形状与大小的物具有一定质量，不计其形状与大小的物体体, 是理想模型是理想模型.可以将物体简化为质点的两种情况：可以将物体简化为质点的两种情况： 物体不变形物体不变形, ,只作平动只作平动. . 物体本身线度和它活动范围相比小得很多物体本身线度和它活动范围相比小得很多. . 质点质点(Mass point)位置矢量位置矢量：由参考点引向质点位置的由参考点引向质点位置的有向有向线段线段. .如图：如图：.表示表示用用rpo1. 位置矢量位置矢量 (Position vector)r1 描述质点运动的几个物理量描述质点运动的几个物理量OP

2、r建立直角坐标系建立直角坐标系 O xyz ，令令原点与参考点重合原点与参考点重合，则：，则：k j i rzyxzxy i zi yi xx,y,z 是质点的位置坐标是质点的位置坐标.,轴轴正正方方向向上上的的单单位位矢矢量量分分别别为为zyxkji位置矢量的大小为：位置矢量的大小为：222zyxrr OPrzxy i zi yi xk j i rzyx位矢方向位矢方向: :rz cosrx cosry cos1coscoscos222 2. 运动方程运动方程 (Equation of motion)ktzjtyitxr)()()( 即：即：运动方程运动方程质点的位置随时间变化的函数方程质点

3、的位置随时间变化的函数方程 )(trr 标量式标量式 x = x(t) y = y(t) z = z(t)如如轨迹方程轨迹方程：质点在运动过程中描出的轨迹对应曲线方程质点在运动过程中描出的轨迹对应曲线方程. 0 6sin2 6cos2 ztytx如如：在运动方程中消去在运动方程中消去 t 就是轨迹方程，就是轨迹方程，0 422 zyxf(x，y，z) =0 3. 轨迹方程轨迹方程(Trajectory equation)f(x，y) =0 f(x) =0 4. 位移位移 (Displacement)位移位移：由质点初位置指向末位置的由质点初位置指向末位置的矢量矢量. .位置矢量的增量（改变量）

4、位置矢量的增量（改变量）)()(trttrr 在直角坐标系中坐标分解式：在直角坐标系中坐标分解式：kzj yi xr yxP)(ttr QOr ( )r ti yi x222)()()(zyxr 位移仅与质点的始末位位移仅与质点的始末位置有关，而置有关，而与其具体路与其具体路径无关径无关，方向由，方向由初始位初始位置指向末位置置指向末位置。r kzj yi xr （1）位移）位移是矢量，当运动方程已知，则可由上述公式求是矢量，当运动方程已知，则可由上述公式求出位移。出位移。121212)()()()()()(zztzttzzyytyttyyxxtxttxx 222)()()(zyxr )(),

5、(),(tzz tyy txx kzj yi xr rzryrx cos cos cos or ttr r tr的改变量的模的改变量的模是是而而，的改变量（一切实数）的改变量（一切实数）是是rtrttrrrtrttrrrr )()()()(,)2( （3） 常用单位为米常用单位为米 (m)，有时为厘米、千米等，有时为厘米、千米等rzyx ,路程路程 质点经过的路径的总几何长度质点经过的路径的总几何长度. 单位：单位：m如图：如图：5. 路程（路程（Distance）位移与路程不同，前者是矢量，位移与路程不同，前者是矢量，后者是标量后者是标量. . 321SSS 问题问题 二者何时相同？二者何时

6、相同？同同r Qr PprQrO2s1s3syxP)(ttr QOr ( )r t例题例题一质点在一质点在xOy平面内依照平面内依照 x = t 的规律沿曲的规律沿曲线线y = x2 运动运动,求质点从第求质点从第2 秒末到第秒末到第 4 秒末的位秒末的位移移(式中式中 t 的单位为的单位为s；x，y的单位为的单位为cm).解解 )()(trttrrji122 (cm)jyyixx)()()()(2424)()()()(jtyitxjttyittxjtyttyitxttx)()()()(ji)()(222424cm 2 .12cm )12(222 r与水平轴夹角与水平轴夹角6 .80arcta

7、n xy 问题问题 位移与参考系的选择有关吗？位移与参考系的选择有关吗？由于由于 是描述质点在是描述质点在 时间内的位置矢量（空间位时间内的位置矢量（空间位置）变化情况，一般来说，置）变化情况，一般来说， 是时间的函数，我们常是时间的函数，我们常引进一个描述其变化引进一个描述其变化快慢程度快慢程度问题的物理量问题的物理量- 速度。速度。rrt trv /OPQ)(tr)(ttr r 平均速度平均速度(Average velocity)6. 速度速度(m/s) (Velocity)若在若在 到到 这段时间内，质点的位移为这段时间内，质点的位移为 ，则，则比值比值 称为质点在称为质点在 时刻以后时

8、刻以后 时间内的平均时间内的平均速度，用速度，用 表示表示r tr /vtt ttt trv /大大 小：小：,_ v 是是矢矢量量方方 向：向：相相同同方方向向与与r 平均速度仅仅提供一段时间内位置总变动的方向平均速度仅仅提供一段时间内位置总变动的方向和平均快慢，却和平均快慢，却不能精细地刻划出质点在这段时不能精细地刻划出质点在这段时间内发生的运动方向的改变和时快时慢的详细情间内发生的运动方向的改变和时快时慢的详细情况况，显然，显然， 取得越短，平均速度就越能反取得越短，平均速度就越能反映出映出 t 时刻的真实运动情况。时刻的真实运动情况。t 瞬时速度瞬时速度(简称速度简称速度) (Inst

9、antaneous velocity )定义定义1：平均速度的极限值，称为质点在平均速度的极限值，称为质点在 时刻的时刻的(瞬时瞬时) 速度速度 tvvt0lim trt 0lim定义定义2：质点的瞬时速度等于位置矢量对时间的变化率质点的瞬时速度等于位置矢量对时间的变化率 或一阶导数或一阶导数trvdd trvvdd 大大 小：小：P 1r Qvrd4r 3r 2r OQ /Q /Q /方向方向： ，沿着轨道上质点沿着轨道上质点在在t时刻所在点的切线，并指向质点前进的方向时刻所在点的切线，并指向质点前进的方向。 的的方方向向相相同同是是矢矢量量，与与rdvtrvdd 在直角坐标系中的分解式在直

10、角坐标系中的分解式vvzv cosvvxv cosvvyv cos222zyxvvvvv|kvjvivktzjtyitxtrvzyxdddddddd为路程为路程StSv 0 平均速率平均速率m/s (Mean speed) 若质点在若质点在 时间内所走过的路程为时间内所走过的路程为 ，则比值，则比值 称为质点在称为质点在 时间内的平均速率，用时间内的平均速率，用 表示表示StvtStQr P)(tr)(ttr OSvv Sr tSv trv ,tsv ,是是标标量量v大小：大小： 平均速率平均速率平均速度的大小不等于平均速度的大小不等于 瞬时速率瞬时速率(简称速率简称速率) m/s （Inst

11、antaneous speed ） ddlim0tstsvt （1）平均速率的极限值平均速率的极限值，称之为质点在称之为质点在 时刻的时刻的 ( (瞬时瞬时) )速率。（标量）速率。（标量）ttrvvdd ddddtstr dsrd 求解方法同瞬时求解方法同瞬时速度的求法速度的求法 （2） 时刻瞬时速度的大小时刻瞬时速度的大小 ，称为质点在，称为质点在 时刻的时刻的 (瞬时瞬时)速率。（标量）速率。（标量）tt求：（求：（1）0-1s内质点运动的位移内质点运动的位移. （2） 0-1s内质点运动的平均速度内质点运动的平均速度. （3） t = 0,1s时质点的速度矢量时质点的速度矢量.ktj

12、tir251510 例例1某质点的运动学方程为某质点的运动学方程为(单位单位m,s)几种速度能精细地刻划出质点在这段时间内发生的运动几种速度能精细地刻划出质点在这段时间内发生的运动方向的改变和时快时慢的详细情况。但质点速度方向的改变和时快时慢的详细情况。但质点速度大小和大小和方向方向时刻在发生变化，如何来描述这种变化程度呢？时刻在发生变化，如何来描述这种变化程度呢？7 加速度（加速度（m/s2）(Acceleration) 平均加速度平均加速度(Average acceleration)在在 时间内，速度增量为时间内，速度增量为 。则比值则比值 称为质点在称为质点在 时间内的平均加速度，时间内

13、的平均加速度，用用 表示。表示。t t )()(tvttvv tv a)(ttv)(tv)(ttv v ttvttvtva)()( 几点说明几点说明: :说到平均加速度，一定要明确是哪一段时间的平说到平均加速度，一定要明确是哪一段时间的平均加速度均加速度.计计算算。方方向向不不同同，一一般般要要通通过过与与一一般般vv )(ttv)(tv)(ttv v ttvttvtva)()( 平均加速度的同速度计算方法。平均加速度的同速度计算方法。平均加速度的极限值平均加速度的极限值，称为质点在，称为质点在t时刻的时刻的瞬时加速度瞬时加速度，简称简称加速度加速度 （矢量）（矢量） 瞬时加速度（加速度）瞬时

14、加速度（加速度）( (Instantaneous acceleration)220dddddddddtrtrttvtvat)(lim方向：方向： 一般通过计算一般通过计算出来，如果轨迹清楚，大致方向可知道出来，如果轨迹清楚，大致方向可知道 方方向向不不同同。与与一一般般是是矢矢量量vaa,直角坐标系中直角坐标系中kajaiaktvjtvitvktzjtyitxtra zyxtyxdddddddddddddd22222222222zyxaaaaa|aaxa cos aaya cosaaza cos 解解tvadd ktr10dd22 a =10 m/s2方向沿方向沿 z 轴轴. 求质点的加速度矢

15、量求质点的加速度矢量.ktj tir251510 例例1某质点的运动学方程为某质点的运动学方程为(单位单位m,s)例例一质点一质点m的位置与时间的关系为的位置与时间的关系为（x、y和和t的单位分别为米和秒）求（的单位分别为米和秒）求（1）质点在前两）质点在前两秒内所通过的位移；（秒内所通过的位移；（2）第）第2秒末的速度和加速度。秒末的速度和加速度。 tty ttx3,822 例例 一质点在一质点在xy平面内运动，其运动方程为平面内运动，其运动方程为试求：该质点的运动轨迹、速度、加速度。试求：该质点的运动轨迹、速度、加速度。 tbytax coscostty ttx3,822 求（求（1）质点

16、在前两秒内所通过的位移；）质点在前两秒内所通过的位移；解：（解：（1） 0|8)0(02tttx)(12|8)2(22mttxt0|3)0(02ttty)(2|3)2(22mttyt)(12)0()2(mxxx)(2)0()2(myyyjir212 （单位：（单位：m） 大小、方向大小、方向 须指明须指明tty ttx3,822 求（求（2）第）第2秒末的速度和加速度。秒末的速度和加速度。解解: (2)82 tdtdxVx32 tdtdyVysmVx/4822)2(smVy/1322)2(jiV14 2/2smdtdVaxx2/2smdtdVayy2/2)2(smax2/2)2(smayjia

17、22 （单位: m/s） （单位m/s2） 大小、方向大小、方向 须指明须指明2 质点的直线运动质点的直线运动（一）（一）从运动方程到位移、速度、加速度从运动方程到位移、速度、加速度以质点运动直线为坐标轴，则质点运动学方程为以质点运动直线为坐标轴，则质点运动学方程为OxPQx(t) x(t + t )itxtrr)()( 运动学方程运动学方程 x = x ( t ) 标量式标量式 btax 2ctbtax txx e0 位移位移OxPQx(t) x(t + t )位移表达式：位移表达式： )()(txttxx位移方向位移方向 ：轴轴的的负负方方向向。时时，位位移移方方向向沿沿轴轴的的正正方方向

18、向；时时，位位移移方方向向沿沿x0 x0 xx位移的数学含义位移的数学含义:位置坐标的增量位置坐标的增量(改变量改变量)位移大小：位移大小： )()(txttxx速度表达式：速度表达式： txvvxdd 瞬时速度的数学含义：瞬时速度的数学含义：（1）x-t曲线某点切线的斜率等于相应时刻的速度曲线某点切线的斜率等于相应时刻的速度. （2）位置坐标对时间的一阶导数。位置坐标对时间的一阶导数。tOx P 速度速度速度大小即速率速度大小即速率 txvdd 瞬时速度方向瞬时速度方向 ：轴轴的的负负方方向向。时时，速速度度方方向向沿沿轴轴的的正正方方向向；时时，速速度度方方向向沿沿x0 x0 xxvv加速

19、度表达式加速度表达式 22ddddtxtvaaxx加速度的数学含义：加速度的数学含义：（1）v-t曲线某点切线的斜率等于相应时刻的加速度曲线某点切线的斜率等于相应时刻的加速度. （2）位置坐标对时间的二阶导数。位置坐标对时间的二阶导数。tOvPQ加速度方向加速度方向 ：轴轴的的负负方方向向。时时，加加速速度度方方向向沿沿轴轴的的正正方方向向；时时，加加速速度度方方向向沿沿x0 x0 xxaa 加速度加速度加速度大小加速度大小 ：22ddddtxtvaax 。轴轴负负方方向向做做减减速速运运动动质质点点沿沿，若若；轴轴正正方方向向做做减减速速运运动动质质点点沿沿，若若轴轴的的做做减减速速运运动动

20、。时时，质质点点沿沿。轴轴负负方方向向做做加加速速运运动动质质点点沿沿，若若；轴轴正正方方向向做做加加速速运运动动质质点点沿沿，若若轴轴做做加加速速运运动动。时时，质质点点沿沿 v vav v vavxxxxxxxxx0 x0 x0 x0 x0 x0（二）从速度到运动学方程、位移、（二）从速度到运动学方程、位移、加速度加速度已知已知 vx (t), 求求 x = x(t) 和和 x ttvxxd)(d txtvxdd)( 初始条件初始条件 t = t0 x = x0 ttvxxd)(d ttxtxxttvdx00d)()( ttxttvxtx0d)()(0 ttxttvxtx0d)()(0 t

21、txttvx0d)(给定质点初始位置，便可根据质点的速度唯一地确定质给定质点初始位置，便可根据质点的速度唯一地确定质点的运动学方程以及任意时间段质点通过的位移点的运动学方程以及任意时间段质点通过的位移 2121d)(ttxttttvxt0t ttxttvxxx0)d(0 xOt位移的几何意义：位移的几何意义： 21)d(ttxttvxt1t2 ttvtaxxdd)()(（三）（三） 从加速度到速度、运动学方程、位移从加速度到速度、运动学方程、位移已知已知 ax 求求 vx(t) 和和 x(t) 初始条件初始条件 t = t0 v=v0 x = x0ttatvxxd)()(d ttvtaxxd)

22、(d)( ttatvxxd)()(d ttxtvvxttatdvx00d)()()( ttxxttavtv0d)()(0 ttxxttavtv0d)()(0由位置初始条件由位置初始条件 t = t0 x = x0 求运动学方程求运动学方程 ttxttvxtx0d)()(0 txxttatv0d)()(v0=0t0=0ttxttvxtx0d0)()(位移位移若若ax 是常量是常量a(匀变速直线运动匀变速直线运动)，得，得 tavtvx 0)(20021)(attvxtx 两式中消去两式中消去 t )(202022xxavv ttxxttavtv0d)()(0 ttxttvxtx0d)()(0匀速

23、和匀变速直线运动特点匀速和匀变速直线运动特点例例1 将真空长直管沿竖直方向放置将真空长直管沿竖直方向放置.自其中自其中O点向上点向上抛小球，在小球运动过程中经过比抛小球，在小球运动过程中经过比O点高点高h处。现测处。现测得小球离开得小球离开h处至又回到处至又回到h处所用时间为处所用时间为T1，从抛出，从抛出点又落至原处所用的时间为点又落至原处所用的时间为T2. 试决定重力加速度试决定重力加速度g.（1）已知运动方程求其他物理量已知运动方程求其他物理量直线运动举例直线运动举例（很重要）（很重要）解解tOy1T2Th建坐标系如图建坐标系如图, 121020 gttvy 3210020 gttv 由

24、（由（3）可得）可得21228TThg 221020 gttvh 由（由（2）可得）可得 Tgghvtt42212012 5 Tgvtt20122 由（由（4）（）（5）可得）可得例例2 设某云室中作直线运动的带电粒子的运动方程设某云室中作直线运动的带电粒子的运动方程为为 并在带电离子进入云室时开始计并在带电离子进入云室时开始计时，试描述该离子的运动情况时，试描述该离子的运动情况.tCCx e21解解tCCx e21tCtxv edd2vCtvat edd22离子的初始状态为离子的初始状态为 210CCx 20Cv 220 Ca 离子的最终状态为：离子的最终状态为： 1Cx 0 v0 a20C

25、xx 例例题题3 一质点沿一质点沿 x 轴作直线运动，其位置与时间的关轴作直线运动，其位置与时间的关系为系为 x = 10 + 8 t 4 t2 (单位单位m,s), 求：求：（1）质点在第一秒、第二秒内的平均速度）质点在第一秒、第二秒内的平均速度.（2）质点在）质点在t = 0、1、2s末时的速度和加速度末时的速度和加速度.解解)(10040810) 0(2mx 24810ttx )(14141810) 1 (2mx )(10242810) 2(2mx )( 41014) 10(mx )( 41410)21 (mx ttxvx88 dd smdd/8 tvaxx（1）sm 4)10()10(

26、 txv sm 4)21()21( txv轴正方向轴正方向方向沿方向沿 x 轴负方向轴负方向方向沿方向沿 x )/(8088)0(smv 0188) 1 ( v )/(8288)2(smv . 轴轴正正方方向向方方向向沿沿 x.轴轴负负方方向向方方向向沿沿 x ttxvx88 dd smdd/8 tvaxx（2）质点在）质点在t = 1、2s末时的速度和加速度末时的速度和加速度. smdd/8)0( tvax smdd/8) 1 ( tvax smdd/8)2( tvax.轴轴负负方方向向方方向向沿沿 x 例例1 一质点沿一质点沿x轴作直线运动，其轴作直线运动，其v-t 曲线如图所曲线如图所示

27、，如示，如t = 0时，质点位于坐标原点，求：时，质点位于坐标原点，求：t=4s 时，时，质点在质点在x轴上的位置。轴上的位置。实际上可以用求面积的方法实际上可以用求面积的方法. .m 5 . 2 2m1)5 . 15 . 0(2m2) 15 . 2( x 解解 v/(ms-1)t/s-1 2123410（2）已知速度求其他物理量已知速度求其他物理量例例1 一质点由静止开始作直线运动，初始加速度为一质点由静止开始作直线运动，初始加速度为a0，以后加速度以后加速度均匀均匀增加，每经过时间增加，每经过时间后增到后增到2a0，求经过时，求经过时间间 t s后质点的速度和运动的距离后质点的速度和运动的

28、距离.（静止时开始计时，质（静止时开始计时，质点所在位置为坐标原点）点所在位置为坐标原点）taaa00 解解 据题意知，加速度和时间的关系为据题意知，加速度和时间的关系为 ttttaatav000)(dd0txvdd tavtvadd dd 2002tata tvxdd ttatatvtxtddt0)2(0)(0200 302062tata （3）已知加速度求其他物理量已知加速度求其他物理量例例2跳水运动员自跳水运动员自10m跳台自由下落，入水后地球对跳台自由下落，入水后地球对他的吸引和水的浮力作用相抵消，仅受水的阻碍而减他的吸引和水的浮力作用相抵消，仅受水的阻碍而减速，自水面向下取速，自水面

29、向下取Oy轴，其加速度为轴，其加速度为 ， vy 为速度，为速度，k=0.4m-1. 求：求：（1）入水后运动员速度与时间的之间的关系）入水后运动员速度与时间的之间的关系.（2）运动员速度减为入水速度的）运动员速度减为入水速度的1/10 时，运动员入水时，运动员入水 深度深度.2yykva 2ddyykvtv tkvvyydd2 解解(1)设运动员为质点，至水面之速度为设运动员为质点，至水面之速度为v0 0根据已知条件有根据已知条件有 ktvvy 011 100 tkvvvy tvvtkvvy02dd0可见运动员可见运动员速度随时间减小速度随时间减小且当且当 t 时，速度变为零时，速度变为零.

30、sm14sm108 . 9220 ghvk=0.4m-1 114/14 . 0 tvy2yykva 2=ddyykvtvyvvtyyvtvyyyydd=dddd=dd)(yvvyy=(2)2yykva yykvyv=ddykvvyyd=dkyyCve=C为积分常数为积分常数.引入初始条件引入初始条件时时0 y得得kyyevv 00vvy 设设10/0vvy ，将，将1m4 . 0 k代入此式，得代入此式，得m 76. 5 y1. 抛体运动的特点抛体运动的特点tvadd tavdd tttvvtgtav00)(0dddxy0vO（x,y） 3 抛体运动抛体运动 t gvtv 0)(抛体运动是匀变

31、速运动抛体运动是匀变速运动jviv j gtvi v j gtj vi vtvyx )sin(cos)sincos()(0000在平面直角坐标系中，无空气阻力在平面直角坐标系中，无空气阻力,抛体运动抛体运动可看成可看成x方向方向的匀速直线运动的匀速直线运动与与y方向的匀变速直线运动的叠加。方向的匀变速直线运动的叠加。gtvv vv yx sincos00当物体同时参与两个或多个运动时，其当物体同时参与两个或多个运动时，其总的运动是各个运动的合成总的运动是各个运动的合成,我们称之为我们称之为运动叠加原理运动叠加原理 xy0vO（x,y） 220121t gr tvr 212000021)()(r

32、rt gtvtt gvtvtrtt d(t)d0v 10tv20tvtv0)(1tr)(tr)(2tr2121t g221gt2221gtyx抛体运动又可看成沿初速度抛体运动又可看成沿初速度方向的匀速直线运动和竖直方向的匀速直线运动和竖直向下的自由落体运动合成向下的自由落体运动合成2. 抛体运动的运动方程抛体运动的运动方程 xy0vO（x,y） tvx cos02021singttvy j yi xj gtt vi t vt j gtvi vttvtrtt )21sin(cos)sin(cos)(2000000d)d(轨道方程轨道方程2220cos2xvgtgxy 射高射高gvy2/)sin(

33、20max 射程射程gvx/2sin20max j gtvi v tv)sin(cos)(00 )(ddtvttr )(ttvtr)d(d )(例题例题如图，大炮向小山上的目标开火，如图，大炮向小山上的目标开火，山坡与地平线的夹角为山坡与地平线的夹角为 ，试求发射角试求发射角为多大时炮弹沿山坡射得最远？为多大时炮弹沿山坡射得最远？建立坐标系如图所示建立坐标系如图所示. .设炮弹落于坡上距设炮弹落于坡上距O为为s 位位置处，有置处，有,cossx sinsy 0vyOs0 x联立以上四个方程可得联立以上四个方程可得s炮弹的运动方程为炮弹的运动方程为2000021)sin()cos(gttvy t

34、vx 20020cos)sin(cos2cosgvxs 解解, 00 dds令令240 则则220maxcos)sin1 (gvs 4 自然坐标自然坐标切向和法向加速度切向和法向加速度（1）仅质点轨迹）仅质点轨迹y=y(x)已知，无法研究质点的运动。已知，无法研究质点的运动。（2）质点的）质点的轨迹方程轨迹方程y=y(x)已知，且关于时间已知，且关于时间t参数方程参数方程清楚，清楚，或者质点的运动方程或者质点的运动方程x(t)、y(t)均为已知，在平面直均为已知，在平面直角坐标系中研究质点运动是非常方便的。角坐标系中研究质点运动是非常方便的。（3）质点的轨迹）质点的轨迹y=y(x)已知，且已知

35、，且s=s(t)已知，在直角坐标已知，在直角坐标系中很难描述质点的运动，为了解决这个问题，我们通常系中很难描述质点的运动，为了解决这个问题，我们通常采用采用自然坐标系自然坐标系来研究质点的运动。来研究质点的运动。 rO 0 s0 sO1 自然坐标（平面）自然坐标（平面） 选择轨迹上一点选择轨迹上一点 为为“原点原点”，并用由原点并用由原点 至质点位置的弧至质点位置的弧长长s作为质点的位置坐标，坐作为质点的位置坐标，坐标增加的方向人为规定。若质标增加的方向人为规定。若质点在一平面内运动，弧长点在一平面内运动，弧长s叫叫作作平面自然坐标。（平面自然坐标。（s有正负有正负之分，一般规定之分，一般规定

36、质点前进的方质点前进的方向为自然坐标增加的方向向为自然坐标增加的方向）O O )(tss 在平面自然坐标中，质点在平面自然坐标中，质点的运动方程可写成的运动方程可写成为了便于在自然坐标系中为了便于在自然坐标系中对矢量进行分解，引进两对矢量进行分解，引进两个相互正交的单位矢量个相互正交的单位矢量Atene切向单位矢量切向单位矢量法向单位矢量法向单位矢量nete2 曲线运动的曲线运动的速度和加速度矢量表示速度和加速度矢量表示ttetsevvddt速度矢量速度矢量加速度矢量加速度矢量 rO 0 s0 sOAtenetevetvtvattttdd+dd=dd=以圆周运动为例讨论上式中后面一项的物理意义

37、以圆周运动为例讨论上式中后面一项的物理意义加速度的切向分量，也可能是切向分量之一加速度的切向分量，也可能是切向分量之一物理意义是什么？物理意义是什么？设逆时针方向为设逆时针方向为s的正方向，质点运动方向也是沿逆时针的正方向，质点运动方向也是沿逆时针nte ed=dntnnnteRvetsRetRRette=dd1=dd=dd=dd如图，质点在如图，质点在dt 时间内经历弧长时间内经历弧长ds，对应于角位移，对应于角位移d ，切线的方向改变，切线的方向改变d 角度。角度。作出作出dt始末时刻的切向单位矢，由始末时刻的切向单位矢，由矢量三角形法则可求出极限情况矢量三角形法则可求出极限情况下切向单位

38、矢的增量下切向单位矢的增量ted即即 与与P点的切向正交。因此点的切向正交。因此tevetvattttdd+dd=tePtted+od dsneQtePtedd tted+nttteRvetva2+dd=oneteP即圆周运动的加速度可分解为两即圆周运动的加速度可分解为两个正交分量：个正交分量：nttteRvetva2 ddnntteaeaa Rva tvatntt2 ddntaaa at 称切向加速度，其大小表示质点速率变化的快慢；称切向加速度，其大小表示质点速率变化的快慢；an称法向加速度，其大小反映质点速度方向变化的快慢；称法向加速度，其大小反映质点速度方向变化的快慢；a称总的加速度，其

39、大小反映质点速度变化的快慢称总的加速度，其大小反映质点速度变化的快慢。tnaa tananata 上述加速度表达式对任何平面曲线运动都适用，但式上述加速度表达式对任何平面曲线运动都适用，但式中半径中半径R 要用曲率半径要用曲率半径 代替。代替。nttteRvetva2+dd=22222222221dd tsRtsRvtvaaattntddddtsvtdd ntttevetva2 dd 注意：注意： （1）在自然坐标系中，尽管加速度的表达式可表示为）在自然坐标系中，尽管加速度的表达式可表示为 但下列关于加速度的表示式依然成立但下列关于加速度的表示式依然成立ntttevetva2 ddnttteR

40、vetvtvtra22 dddddd2ntttevetvtvtra22 dddddd2这为求曲线的这为求曲线的曲率半径提供曲率半径提供了一种方法了一种方法 （2）求解曲线运动加速度时，若弧长关于时间的函数）求解曲线运动加速度时，若弧长关于时间的函数已知，则采取自然坐标求解，若质点空间直角坐标关已知，则采取自然坐标求解，若质点空间直角坐标关于时间的函数已知，则采取直角坐标求解。于时间的函数已知，则采取直角坐标求解。例题例题1 汽车在半径为汽车在半径为200m的圆弧形公路上刹车，刹车的圆弧形公路上刹车，刹车开始阶段的运动学方程为开始阶段的运动学方程为 (单位：单位：m，s).ttvatt2 . 1

41、 dd32 . 020tts 26 . 020ttsvt dd解解 求汽车在求汽车在t=1s时的加速度时的加速度.nntteaeaa RtRvatn222)6 . 020( 将将R=200m及及t1s代入代入)2 . 112 . 12s(m ta2sm88. 1200)16 . 020(22 na)23. 2)88. 1 ()2 . 1(22222s(m ntaaa57. 1tan tnaa 5 .122为加速度与为加速度与 的夹角的夹角. te例题例题2低速迫击炮弹以发射角低速迫击炮弹以发射角45发射发射, 其初速率其初速率v0=90m/s.在与发射点同一水平面上落地在与发射点同一水平面上落

42、地.不计空气阻力不计空气阻力,求炮弹在最高点和落地点其运动轨迹的曲率半径求炮弹在最高点和落地点其运动轨迹的曲率半径.解解将炮弹视为质点将炮弹视为质点,不计空气阻力不计空气阻力. 在直角坐标系在直角坐标系O-xy中中,炮弹运动的速度与加速度为炮弹运动的速度与加速度为(1)在最高点在最高点jgtvivv)sin(cos 00j gga gan cos0vvvxt m.m.)()cos(n gvav34138922902202 nntteaea tanaxyovga 0vvt mm.n1169228990222202 gvavttevv0 tanaxyoga v(2)在落地点在落地点 nntteae

43、aj ga 013545 coscosntaagaatn 135135coscos22gaatn 质点运动方向为自然坐标增加的方向质点运动方向为自然坐标增加的方向例题例题3 由楼窗口以水平初速度由楼窗口以水平初速度v0射出一发子弹，取枪口射出一发子弹，取枪口为原点，沿为原点，沿v0为为x轴，竖直向下为轴，竖直向下为y轴，并取发射时轴，并取发射时t = 0.试求：试求：(1)子弹在任一时刻子弹在任一时刻t 的位置坐标及轨道方程；的位置坐标及轨道方程；(2)子弹在子弹在t 时刻的速度，切向加速度和法向加速度时刻的速度，切向加速度和法向加速度；(3)子弹在子弹在t 时刻时刻的位置所对应的曲率半径。的

44、位置所对应的曲率半径。tvx0 解解20221vgxy 221gty (1)yxO0v),(yx(2)gtvvvyx 0222022tgvvvvyx dd22202tgvtgtvat 2220022tgvgvagatn 0vgtarctanyxO0v natag(3)02322202220022202gvtgvtgvgvtgvavn)(/ 1 极坐标系极坐标系 如图，极点如图，极点O，极轴极轴Ox.P(r, ) ererOx幅角幅角 ，规定自极轴逆时转，规定自极轴逆时转 为正，反之为负为正，反之为负.r表示位矢的大小表示位矢的大小(极点与参考点重合极点与参考点重合) 、 不是常矢量不是常矢量r

45、e e径向单位矢量径向单位矢量 re横向单位矢量横向单位矢量 e5 极坐标系极坐标系径向速度与横向速度径向速度与横向速度 质点的极坐标质点的极坐标(r, ).为了便于在自然坐标系中对矢量进行分解，引进两个为了便于在自然坐标系中对矢量进行分解，引进两个相互正交的单位矢量相互正交的单位矢量)( )( ttrr 运动学方程运动学方程)(rr 轨道方程轨道方程)( )(tyytxx 极坐标系极坐标系平面直角坐标系平面直角坐标系0 ),(y xfrerr 位置矢量位置矢量jtyitxr)()( P(r, ) ererOxOPrxy ixi y 位移在极坐标系中的表示位移在极坐标系中的表示 rerr 21

46、rrr 横向位移横向位移 径向位移径向位移 位移：位移：2 位移位移速度速度加速度在极坐标系中的表示加速度在极坐标系中的表示 很小时很小时terr 1rerr2 re eO )(ttr B)(trA x re eC2r 1r r OA=OC ererrrrr 21etretrrdddd evevrr etretrtrvtrtt000 limlimlim 速度在极坐标系中的表示速度在极坐标系中的表示 vvr rrerv erv 径向速度径向速度 横向速度横向速度 re eO )(tr)(ttr CAB2r 1r r x re eererrrrr 21ererr rvr rv 速度径向分量速度径向

47、分量速度横向分量速度横向分量 加速度在极坐标系中的表示加速度在极坐标系中的表示 erervr err e rerervarr )()( )()(e rererr erarr re eO )(tr)(ttr CAB2r 1r r x re ee erdd e er re e-dd re e- err errar )()-(22 加速度中各项的物理意义是什么？加速度中各项的物理意义是什么？（自己分析或者查阅文献获得）（自己分析或者查阅文献获得）ttdd6 伽利略时空变换伽利略时空变换 1 伽利略坐标变换伽利略坐标变换设设O为基本参考系（为基本参考系（相对于地面不动相对于地面不动）参考点）参考点,O

48、为为运动参考系参考点运动参考系参考点 O x z yOxyz设设 相对相对O以速度以速度 沿某方向沿某方向作匀速直线运动作匀速直线运动 vO 重重合合与与 OOtt ;0质点在空间运动质点在空间运动, 某时刻位于某时刻位于P点点 pOrrr t vt vrO Orrr Orrr Orrr Orrr Orrr Orrr t vt vrO ttzzyytvxxx ttzzyytvxxx OO OO tttvzztvyytvxxzyx 设设 相对相对O以速度以速度 沿沿x轴方向作匀速直线运动轴方向作匀速直线运动 vO Orrr Orrr Orrr t vt vrO 相对相对O以速度以速度 沿沿x轴正

49、方向作匀速直线运动，轴正方向作匀速直线运动，vx=vvO 相对相对O以速度以速度 沿沿x轴负方向作匀速直线运动，轴负方向作匀速直线运动，vx= vvO 2 伽利略速度变换伽利略速度变换绝对运动：绝对运动：物体相对物体相对基本基本参考系的运动参考系的运动. 相对运动：相对运动：物体相对物体相对动动参考系的运动参考系的运动. trvOdd 牵牵连连牵连速度牵连速度 trvdd 绝绝对对trv dd相相对对绝对速度绝对速度 相对速度相对速度 牵连牵连相对相对绝对绝对vvv 牵连运动：牵连运动： 相对相对O的运动的运动. O dtrdt drddtrddtrddtrdOO OOOOvvv对对物对物对物对物对 Orrr Orrr Orrr O x z yOxyzpOrrr 例