第2章 逻辑代数基础

1、逻辑函数逻辑函数: : 逻辑自变量和逻辑结果的关系逻辑自变量和逻辑结果的关系),(CBAfZ 逻辑变量取值逻辑变量取值：0、1 分别代表分别代表两种对立的状态两种对立的状态一种状态一种状态另一状态另一状态高电平高电平低电平低电平真真假假是是非非有有无无1001逻辑真值表逻辑真值表逻辑符号逻辑符号逻辑表达式逻辑表达式逻辑运算逻辑运算IEEE 电气与电子工程师协会电气与电子工程师协会IEC 国际电工协会国际电工协会ANOTY A序号序号公公 式式公公 式式1 A = A证明方法：公式 真值表自等律自等律0-1律律重叠律重叠律互补律互补律交换律交换律结合律结合律分配律分配律反演律反演律还原律还原律公

2、理公理左右BCABCCBABCACABACABA)()(1序 号公 式21A + A B = A22A +A B = A + B23A B + A B = A24A ( A + B) = A25A B + A C + B C = A B + A CA B A C + B CD = A B + A C26A (AB) = A B ; A (AB) = A ()A BABB CB以代入()()A B CABCABC 将将Y 式中式中“.”换成换成“+”,“+”换成换成“.” “0”换成换成“1”,“1”换成换成“0” 原原变量换成变量换成反反变量，变量，反反变量换成变量换成原原变量变量不属于单个变

3、量上的反号应保留不变不属于单个变量上的反号应保留不变注意注意:Y运算顺序：运算顺序：括号括号 乘乘 加加DCBDACBCADCCBAYCDCBAY)()(Y=A(B+C) =A+BC很明显很明显Y 也是也是 的对偶式。的对偶式。例如：例如： 定义定义： 对于任意一个逻辑式对于任意一个逻辑式Y，若将其中所有的，若将其中所有的 和交换，和交换，0和和1交换，得到的结果就是交换，得到的结果就是Y的对偶式，记做的对偶式，记做 。DYZ=AB+AC =(A+B)(A+C)DZ对偶定理对偶定理：若两逻辑式相等，则它们的对偶式也相等。：若两逻辑式相等，则它们的对偶式也相等。上例子中，根据分配律知上例子中，根

4、据分配律知 Y=Z，再根据对偶定理有：，再根据对偶定理有：=即即 A+BC=(A+B)(A+C) 从对偶定理可看出，只要一个逻辑函数式的变量数不少于两从对偶定理可看出，只要一个逻辑函数式的变量数不少于两个（含反变量），它就一定存在对偶式。个（含反变量），它就一定存在对偶式。DYDYDYDZ四、逻辑代数的一些特殊定理四、逻辑代数的一些特殊定理BABA BABA 同一律同一律A + A = AA A = A还原律还原律AA 德德 摩根定摩根定理理)(CBAY )(CBAY)( BAB)(BAA) )()(BABABABABABABABABA )()()(ABYABY 在在n变量逻辑函数中，若某乘积

5、项变量逻辑函数中，若某乘积项m包含包含n个变量个变量（因子），且这些变量均以原变量或反变量的形（因子），且这些变量均以原变量或反变量的形式出现一次，则称式出现一次，则称m为该组变量的最小项。为该组变量的最小项。）4个（22ABBABABA,）8个（32ABCCABCBACBABCACBACBACBA,ABCCABCBACBABCACBACBACBA1 CBA1 CBA对应规律：对应规律：1 原变量原变量 0 反变量反变量最小项的性质：最小项的性质：00000001000000100000010000001000000100000010000001000000100000000 0 00 0 1

6、0 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 1A B CCBACBACBABCACBACBACABABC(1) 任任一一最小项，只有一组对应变量取值使其值为最小项，只有一组对应变量取值使其值为 1 ；A B C 0 0 1A B C 1 0 1(2) 任意两个最小项的乘积为任意两个最小项的乘积为 0 ；(3) 全体最小项之和为全体最小项之和为 1 。变量变量A、B、C全部最小项的真值表全部最小项的真值表),()(),(763mBCAABCCABAABCCABBCCABCBAY利用公式利用公式可将任何一个函数化为可将任何一个函数化为1 AA im),()(),(763mBCAABC

7、CABAABCCABBCCABCBAY利用公式利用公式可将任何一个函数化为可将任何一个函数化为1 AA im),()(),(763mBCAABCCABAABCCABBCCABCBAY利用公式利用公式可将任何一个函数化为可将任何一个函数化为1 AA imDCBAACDBAADCBCDBDDCBDBCAADCBACBDBCDCBADCBAY)()(.)()(),(DCBAACDBAADCBCDBDDCBDBCAADCBACBDBCDCBADCBAY)()(.)()(),(DCBAACDBAADBCAADCBADCBCDBDBCAADCBADDCBDBCAADCBACBDBCDCBADCBAY)()

8、()()()()(),(DCBAACDBAADBCAADCBADCBCDBDBCAADCBADDCBDBCAADCBACBDBCDCBADCBAY)()()(.)()()(),(）4个（22BABABABA,CBACBACBACBACBACBACBACBA imYikkmYikkmY)(kikkikMmY 逻辑函数式有多种形式，如与或式，或与式，逻辑函数式有多种形式，如与或式，或与式，与非与非式，或非或非式等等。与非与非式，或非或非式等等。BCDBCCAABY 1. 最简与或式：最简与或式： 乘积项的个数最少，每个乘积项中相乘积项的个数最少，每个乘积项中相乘的变量个数也最少的与或表达式。乘的变

9、量个数也最少的与或表达式。例如：例如：BCCAAB CAAB 2. 最简与非最简与非 与非式：与非式：非号最少，每个非号下面相乘的变量非号最少，每个非号下面相乘的变量个数也最少的与非个数也最少的与非 - 与非式。与非式。 例例 1. 2. 3 写出下列函数的最简与非写出下列函数的最简与非 - 与非式：与非式：CAABY 解解 CAABY CAAB )()(CA BA 3. 最简或与式：最简或与式： 括号个数最少，每个括号中相加的变括号个数最少，每个括号中相加的变量的个数也最少的或与式。量的个数也最少的或与式。 例例 1. 2. 4 写出下列函数的最简或与式：写出下列函数的最简或与式：CAABY

10、 解解 ()()17YABACAB ACACABBCACAB（公式求反函数最简与或）CABAY CABA 4. 最简或非最简或非 或非式：或非式：非号个数最少，非号下面相加的变量非号个数最少，非号下面相加的变量个数也最少的或非个数也最少的或非 或非式。或非式。 例例 1. 2. 5 写出下列函数的最简或非写出下列函数的最简或非 或非式：或非式：CAABY 解解 先求最简或与式再取先求最简或与式再取2 2次反次反)()(CA BAY CA BA 5. 最简与或非式：最简与或非式： 非号下面相加的乘积项的个数最少，非号下面相加的乘积项的个数最少，每个乘积项中相乘的变量个数也最每个乘积项中相乘的变量

11、个数也最少的与或非式。少的与或非式。 例例 1. 2. 6 写出下列函数的最简与或非式：写出下列函数的最简与或非式：CAABY 解解 YABAC（先取反求最简与或式）YAB AC结论：结论： 只要得到函数的最简与或式，再用摩根定只要得到函数的最简与或式，再用摩根定理进行适当变换，就可以获得其它几种类理进行适当变换，就可以获得其它几种类型的最简式。而最简与或式一般需要经过型的最简式。而最简与或式一般需要经过化简才能求得。化简才能求得。最简表达式小结最简表达式小结1. 最简与或式：最简与或式：2. 最简与非最简与非 与非式：与非式：最简与或式基础上取最简与或式基础上取2 2次反，次反，再去掉一个反

12、再去掉一个反3. 最简或与式：最简或与式： 先求反函数最简与或式，再取反并去先求反函数最简与或式，再取反并去掉反号。掉反号。4. 最简或非最简或非 或非式：或非式：最简或与式基础上取最简或与式基础上取2 2次反次反，再去掉一个反再去掉一个反5. 最简与或非式：最简与或非式：先求反函数最简与或式先求反函数最简与或式，再，再取反即是取反即是一、一、并项法并项法: :ABAAB BACABABCY BAAB B CBACABCBAABCY 最小项的性质 )(CBC BC BBCA A 例例 1. 2. 7 例例 与或式与或式最简与或式（结果不唯一）最简与或式（结果不唯一）公式公式定理定理 化简的意义

13、：将逻辑函数化成最简化简的意义：将逻辑函数化成最简形式便于在用电路实现时节省器件。形式便于在用电路实现时节省器件。二、二、吸收法：吸收法：AABA EBDAABY EBDABA BA BCDC BA BCAAY )( )()()(DC BA BCABCA BCA 例例 1. 2. 8 例例 例例 CDBCDAABY CDBAAB )( CDABAB AB BA 三、三、消去法：消去法：BABAA BDACABY BDACBA DCBA 例例 1. 2. 9 CBCAABY CBAAB)( CABAB CAB 例例 ABCCBABABAY )()(BCBA CBB A )()(CBA CB A

14、ACCABABA CBABA 例例 四、四、配项消项法：配项消项法：CAABBCCAAB BCCABACBACBAY CBACBA BCCABA 或或BCCABACBACBA 例例 1. 2. 11 综合练习：综合练习：EACDECBEDCBBEAACEY DCBACDCBBAACE ) ( DCBEADEBECE DCBEADCBE )( DCBEADCBE DCBEAE DCBE DCBADBCE ) ( 2.6.2 卡诺图化简法卡诺图化简法一、逻辑变量的卡诺图一、逻辑变量的卡诺图(Karnaugh maps)卡诺图：卡诺图：1. 二变量二变量 的卡诺图的卡诺图最小项方格图最小项方格图(

15、(按循环码排列按循环码排列) ) 唯一的唯一的( (四个最小项四个最小项) )ABAABBBABABAAB0mAB01011m2m3mAB0101循环码（又称反射码或格雷码）：具有循环移位特性且能纠错的分组码。也即无循环码（又称反射码或格雷码）：具有循环移位特性且能纠错的分组码。也即无权码（每位代码无固定权值），且任何相邻的两个码组中，仅有一位代码不同权码（每位代码无固定权值），且任何相邻的两个码组中，仅有一位代码不同 卡诺图的特点：卡诺图的特点： 凡是几何相邻的最小项，凡是几何相邻的最小项，逻辑上都是相邻的逻辑上都是相邻的逻辑相邻：逻辑相邻：两个最小项除了一个变量形式不同外，其余都相同两个最

16、小项除了一个变量形式不同外，其余都相同几何相邻几何相邻紧挨着紧挨着行或列的两头行或列的两头对折起来位置重合对折起来位置重合2. 变量卡诺图的画法变量卡诺图的画法三变量三变量 的卡诺图：的卡诺图：八个最小项八个最小项逻辑相邻的两个最小项可以合逻辑相邻的两个最小项可以合并成一项，并消去一个因子。如：并成一项，并消去一个因子。如：CABCACBA ABC010001 10 1111 10逻辑不相邻逻辑不相邻逻辑相邻逻辑相邻逻辑相邻逻辑相邻m0m1m2m3m4m5m6m7五变量五变量 的卡诺图：的卡诺图：四变量四变量 的卡诺图：的卡诺图：十六个最小项十六个最小项ABCD0001111000 01 11

17、 10 当变量个数超过当变量个数超过六个以上时，无法使六个以上时，无法使用图形法进行化简。用图形法进行化简。ABCDE00011110000 001 011 010 110 111 101 100以此轴为对称轴（对折后位置重合）以此轴为对称轴（对折后位置重合）m0m1m2m3m4m5m6m7m12m13m14m15m8m9m10m11m0m1m2m3m8m9m10m11m24m25m26m27m16m17m18m19m6m7m4m5m14m15m12m13m30m31m28m29m22m23m20m21几几何何相相邻邻几何相邻几何相邻几何相邻几何相邻三十二个最小项三十二个最小项3. 变量卡诺图

18、中最小项合并的规律：变量卡诺图中最小项合并的规律：(1) 两个相邻最小项合并可以消去一个因子两个相邻最小项合并可以消去一个因子ABC010001 11 100432CBCBACBA BACBACBA ABCD0001111000 01 11 101946DCBDCBADCBA DBADCBADCBA (2) 四个相邻最小项合并可以消去两个因子四个相邻最小项合并可以消去两个因子ABCD0001111000 01 11 1004128DC 321011CB ABCD0001111000 01 11 105713 15BD02810DB 81240mmmm DCBADCABDCBADCBA DC 1

19、11023mmmm DCBADCBADCBADCBA CB 151375mmmm DCBADCBADCBADCBA BD 10820mmmm DCBADCBADCBADCBA DB (3) 八个相邻最小项合并可以消去三个因子八个相邻最小项合并可以消去三个因子ABCD0001111000 01 11 1004128C 321011B ABCD0001111000 01 11 105713 15B02810D151394612142n 个相邻最小项合并可以消去个相邻最小项合并可以消去 n 个因子。个因子。总结：总结：二、逻辑函数的卡诺图二、逻辑函数的卡诺图 根据函数的变量个数画出相应的卡诺图。根据

20、函数的变量个数画出相应的卡诺图。 在函数的每一个乘积项所包含的最小项处都填在函数的每一个乘积项所包含的最小项处都填 1 ，其余位置填其余位置填 0 或不填。或不填。1. 逻辑函数卡诺图的画法逻辑函数卡诺图的画法2. 逻辑函数卡诺图的特点逻辑函数卡诺图的特点用几何位置的相邻，形象地表达了构成函数的用几何位置的相邻，形象地表达了构成函数的各个最小项在逻辑上的相邻性。各个最小项在逻辑上的相邻性。优点：优点：缺点：缺点：当函数变量多于六个时，画图十分麻烦，其优当函数变量多于六个时，画图十分麻烦，其优点不复存在，无实用价值。点不复存在，无实用价值。 例例 1. 2. 12 画出函数的画出函数的卡诺图卡诺

21、图DCABBAY 1 3. 逻辑函数卡诺图画法举例逻辑函数卡诺图画法举例 解解 根据变量个数画出函数的根据变量个数画出函数的卡诺图卡诺图ABCD0001111000 01 11 10 根据函数的每个乘积项确定函数的最小项，根据函数的每个乘积项确定函数的最小项，并在相应的位置上填并在相应的位置上填 1 。BA m0、m1、m2、m31111ABm12、m13、m14、m151111DC m0、m4、m8、m1211 例例 1. 2. 13 画出函数的画出函数的卡诺图卡诺图DBACBAY 2 解解 根据变量个数画出函数的根据变量个数画出函数的卡诺图卡诺图ABCD0001111000 01 11 1

22、0 根据函数的每个乘积项确定函数的最小项，根据函数的每个乘积项确定函数的最小项，并在相应的位置上填并在相应的位置上填 1 。CBAm4、m51111DBAm9、m11三、三、 用卡诺图化简逻辑函数用卡诺图化简逻辑函数化简步骤化简步骤: : 画出函数的卡诺图画出函数的卡诺图 合并最小项：合并最小项： 画包围圈画包围圈 写出最简与或表达式写出最简与或表达式 例例 1. 2. 14 CBADCACBCDBY ABCD0001111000 01 11 1011111111CB DBACBACBADB ACBY 解解 CBADCACBCDBY ABCD0001111000 01 11 101111111

23、1画包围圈的原则：画包围圈的原则： 先圈孤立项，再圈仅有一先圈孤立项，再圈仅有一种合并方式的最小项。种合并方式的最小项。 圈越大越好，但圈的个数圈越大越好，但圈的个数越少越好。越少越好。 最小项可重复被圈，但每最小项可重复被圈，但每个圈中至少有一个新的最小项。个圈中至少有一个新的最小项。 必需把组成函数的全部最小项圈完，并做认真必需把组成函数的全部最小项圈完，并做认真比较、检查才能写出最简与或式。比较、检查才能写出最简与或式。不正确不正确的画圈的画圈 例例 mD,C,B,AF) 15 , 13 , 21 , 8 , 6 , 5 , 4 , 1 () ( 解解 画函数的卡诺图画函数的卡诺图ABC

24、D0001111000 01 11 1011111111 合并最小项：合并最小项： 画包围圈画包围圈 写出最简与或表达式写出最简与或表达式多余多余的圈的圈FACDACDABDABD注意：注意：先圈孤立项先圈孤立项利用图形法化简函数利用图形法化简函数利用图形法化简函数利用图形法化简函数 例例 mF) 15 , 14 , 11 , 10 , 8 , 4 , 3 , 2 , 1 , 0 ( 解解 画函数的卡诺图画函数的卡诺图ABCD0001111000 01 11 101111111111 合并最小项：合并最小项： 画包围圈画包围圈 写出最简与或写出最简与或 表达式表达式FA BACA C DB D

25、 例例 用图形法求反函数的最简与或表达式用图形法求反函数的最简与或表达式ACBCABY 解解 画函数的卡诺图画函数的卡诺图ABC010001 11 1011110000 合并函数值为合并函数值为 0 的最小项的最小项 写出写出 Y 的反函数的的反函数的 最简与或表达式最简与或表达式CACBBAY 一、一、 约束的概念和约束条件约束的概念和约束条件(1) 约束：约束： 输入变量取值所受的限制输入变量取值所受的限制例如，例如，逻辑变量逻辑变量 A、B、C，分别表示电梯的分别表示电梯的 升、降、停升、降、停 命令命令。A = 1 表示升表示升，B = 1 表示降表示降，C = 1 表示停表示停。AB

26、C 的可能取值的可能取值(2) 约束项：约束项：不会出现的变量取值所对应的最小项。不会出现的变量取值所对应的最小项。不可能取值不可能取值0010101000000111011101111. 约束、约束项、约束条件约束、约束项、约束条件2.7具有无关项的逻辑函数及其化简具有无关项的逻辑函数及其化简(3) 约束条件：约束条件：ABCCABCBABCACBA 0 ABCCABCBABCAC B A 在逻辑表达式中，用等于在逻辑表达式中，用等于 0 的条件等式表示。的条件等式表示。000011101110111由约束项相加所构成的值为由约束项相加所构成的值为 0 的的逻辑表达式。逻辑表达式。约束项：约

27、束项：约束条件：约束条件：或或0) 7 , 6 , 5 , 3 , 0 ( d2. 约束条件的表示方法约束条件的表示方法 在真值表和卡诺图上用叉号在真值表和卡诺图上用叉号( () )表示。表示。例如，上例中例如，上例中 ABC 的不可能取值为的不可能取值为二、二、 具有约束的逻辑函数的化简具有约束的逻辑函数的化简 化简具有约束的逻辑函数时，如果充分利用约化简具有约束的逻辑函数时，如果充分利用约束条件，可以使表达式大大化简。束条件，可以使表达式大大化简。1. 约束条件在化简中的应用约束条件在化简中的应用(1) 在公式法中的应用：在公式法中的应用： 可以根据化简的需要加上或去掉约束项。可以根据化简

28、的需要加上或去掉约束项。例例化简函数化简函数 Y = ABC，约束条件，约束条件0 CABCBCA 解解 ABCY )(BAABC )(ABABC C 问题：问题：当函数较复杂时，公式法不易判断出哪些约束当函数较复杂时，公式法不易判断出哪些约束项应该加上，哪些应该去掉。项应该加上，哪些应该去掉。CBCA (2) 在图形法中的应用：在图形法中的应用： 根据卡诺图的特点（逻辑相邻，几何也相邻），根据卡诺图的特点（逻辑相邻，几何也相邻），在画包围圈时包含或去掉约束项，使函数最简。在画包围圈时包含或去掉约束项，使函数最简。例例化简函数化简函数 Y = ABC，约束条件，约束条件0 CABCBCA 解解

29、 画出三变量函数的卡诺图画出三变量函数的卡诺图ABC010001 11 10 先填最小项，再填约束先填最小项，再填约束项，其余填项，其余填 0 或不填。或不填。1000 利用约束项合并最小项利用约束项合并最小项，使包围圈越大越好，但，使包围圈越大越好，但圈的个数越少越好。圈的个数越少越好。 写出最简与或式写出最简与或式CY 2. 变量互相排斥的逻辑函数的化简变量互相排斥的逻辑函数的化简互相排斥的变量：互相排斥的变量： 在一组变量中，只要有一个变量在一组变量中，只要有一个变量取值为取值为 1，则其他变量的值就一，则其他变量的值就一定是定是 0。ABC010001 11 101011 画出该函数的

30、卡诺图画出该函数的卡诺图 画包围圈，合并最小项画包围圈，合并最小项 写出最简与或表达式写出最简与或表达式例例 1. 2. 16 函数函数 Y 的变量的变量 A、B、C 是互相排斥的，试是互相排斥的，试用图形法求出用图形法求出 Y 的最简与或表达式。的最简与或表达式。 解解 根据题意可知根据题意可知CBACBACBAY约束条件约束条件0ABCCABCBABCACBAY 例例 化简逻辑函数化简逻辑函数 dmDC ,B ,A ,F ) 15 , 14 , 12 , 10 , 9 , 5 , 3 () 8 , 7 , 1 () ( 化简步骤化简步骤: : 画函数的卡诺图，顺序画函数的卡诺图，顺序 为：

31、为：ABCD0001111000 01 11 10先填先填 1 0111000000 合并最小项，画圈时合并最小项，画圈时 既可以当既可以当 1 ，又可以当，又可以当 0 写出最简与或表达式写出最简与或表达式DA DAY 解解 0) 15 , 14 , 12 , 10 , 9 , 5 , 3 ( d三、三、 化简举例化简举例 例例 化简逻辑函数化简逻辑函数DCBADCBADCAY 约束条件约束条件0 ACAB 解解 画函数的卡诺图画函数的卡诺图ABCD0001111000 01 11 101111 合并最小项合并最小项 写出最简与或表达式写出最简与或表达式DAD BDCY 合并时，究竟把合并时

32、，究竟把 作为作为 1 还是作为还是作为 0 应以得到应以得到的的包围圈最大且圈的个数最少为原则。包围圈包围圈最大且圈的个数最少为原则。包围圈内都是约束项无意义内都是约束项无意义( (如图所示如图所示) )。注意：注意：0 ACAB第一章第一章 小小 结结1. 数制：数制：计数方法或计数体制（由基数和位权组成）计数方法或计数体制（由基数和位权组成）种种 类类基基 数数位位 权权应应 用用备备 注注十进制十进制0 910i日常日常二进制二进制0 ，12i数字电路数字电路2 = 21八进制八进制0 78i计算机程序计算机程序8 = 23十六进制十六进制0 9，A F16i计算机程序计算机程序16

33、= 24 各种数制之间的相互转换，特别是各种数制之间的相互转换，特别是十进制十进制二进制二进制的转换，的转换，要求熟练掌握。要求熟练掌握。2. 码制：码制：常用的常用的 BCD 码有码有 8421 码、码、2421 码、码、5421 码、余码、余 3 码等，其中以码等，其中以 8421 码码使用最广泛。使用最广泛。 练习练习 1 完成下列数制和码制之间的相互转换完成下列数制和码制之间的相互转换161028) () () () 35 ( . 2 1 1 0 1 0 18421BCD210) () () 151 ( . 4 128 16 4 2 10001 0101 000110216) () (

34、) DE2 ( . 3 BD8421BCD) () () 1 0 0 1 0 1 ( . 5 0 1 1 1 1 0 1 1 0 11 0 1 1 192512 128 64 16 8 4 21 1 1 0 1 0 0 132 8 2 143168210) () () () 37 ( . 1 1 0 1 0 0 1 32 4 145252B73416 8 4 11. 三种基本逻辑运算：三种基本逻辑运算：与与 、或、非、或、非2. 四种复合逻辑运算：四种复合逻辑运算： 与非与非 、或非、与或非、异或、或非、与或非、异或 是推演、变换和化简逻辑函数的依据，有些与普通是推演、变换和化简逻辑函数的依据

35、，有些与普通代数相同，有些则完全不同，要认真加以区别。这些定代数相同，有些则完全不同，要认真加以区别。这些定理中，理中，摩根定理摩根定理最为常用。最为常用。真值表真值表 函数式函数式 逻辑符号逻辑符号练习练习2 求下列函数的反函数（用摩根定理），并化简。求下列函数的反函数（用摩根定理），并化简。DACBAY 解解)( )(DACBADACBADACBAY DCCADBABDA CAABDA 化简的目的是为了获得最简逻辑函数式，从而使逻辑电路简单、化简的目的是为了获得最简逻辑函数式，从而使逻辑电路简单、成本低、可靠性高。化简方法主要有成本低、可靠性高。化简方法主要有公式化简法公式化简法和和图形化简法图形化简法两种。两种。1. 公式化简法：公式化简法：可化简任何复杂的逻辑函数，但要求能熟可化简任何复杂的逻辑函数，但要求能熟练和灵活运用逻辑代数的各种公式和