高中数学 教学教研(名师研讨 教学设计 数学解题 反思 总结) 蜜蜂周报 第14期

1、蜜蜂周报第 14 期 1 / 44蜜 蜂 周 报第 14 期（2020 年 6 月 15 日-6 月 21 日）蜜蜂周报第 14 期 2 / 44关于数学解题学习的几个关键词l 联系我所解决的每一个问题都将成为一个范例,用来于解决其他问题。笛卡尔l 反思没有任何一道题可以解决得十全十美，总剩下些工作要做，经过充分的探讨总结，总会有点滴的发现，总能改进这个解答，而且在任何情况下，我们总能提高自己对这个解答的理解水平。波利亚l 分类恰当地对题目、对解法进行分类，能让你的解题经验更加有序，更有结构化地在大脑里存储，便于你解题时进行检索，确定解题思路。蜜蜂周报第 14 期 5 / 442020 年第

2、14 期目录第 1 题 6 月 15 日 唐山二模 16 题.1第 2 题 6 月 16 日 常数代换与正弦平方差.7第 3 题 6 月 16 日 有三角参与的恒成立问题.9第 4 题 6 月 17 日 正四棱锥截面问题.13第 5 题 6 月 17 日 双自变量恒成立武汉六调 11.15第 6 题 6 月 17 日 构造函数解不等式.16第 7 题 6 月 18 日 正三角形中的动点路程问题.16第 8 题 6 月 18 日 对称的，就是最省的一个应用题.21第 9 题 6 月 18 日 三角形的一种问题结构.24第 10 题 6 月 19 日 导数证明三角不等式.30第 11 题 6 月

3、19 日 极小值 VS 最小值，概念你搞清楚了吗？.31第 12 题 6 月 20 日 三次函数的零点问题.32第 13 题 6 月 20 日 抛物线上的距离比.34蜜蜂周报1-13 合订本下载.38蜜蜂周报第 14 期 1 / 44第 1 题 6 月 15 日 唐山二模 16 题一、题目呈现6 月 11 日的唐山二模理数填空压轴题：二、解法展示蜜蜂周报 第 14 期 1 / 44蜜蜂周报第 14 期 2 / 44我觉得这个题应该有纯代数解法，经过转化后，它的代数问题就是下面这个：蜜蜂周报 第 14 期 2 / 44蜜蜂周报第 14 期 3 / 44高手们给出了几种解答：蜜蜂周报 第 14 期

4、 3 / 44蜜蜂周报第 14 期 4 / 44（这个方法用到了二次曲线理论，高中是不要求的）蜜蜂周报 第 14 期 4 / 44蜜蜂周报第 14 期 5 / 44下面这个待定系数的柯西，是我最希望看到的。看样子也不是很难。但是我没想出来，看来我的不等式还需要加强。蜜蜂周报 第 14 期 5 / 44蜜蜂周报第 14 期 6 / 44（存在最大值，考虑拉姆达0，后面是利用待定系数确定，并结合 c（用 c 的范围好操作）的取值范围来控制拉姆达的范围，以保证最大值的存在）三、联系与背景我认为，这个题是“定弦定角”问题的变式，比如：a=1，求 b+c 的最大值（或者周长的最大值）这样的问题，于是我又

5、习惯性的搜索这个关键词。一个意外发现，通过搜索我找到了证明“定弦定角时三角形周长最值”的纯平面几何证明。这个以前没看过。还不是太难，能看懂。怎 样 证 明 ： 圆 中 定 弦 定 角 围 成 的 三 角 形 ， 等 腰 时 周 长 最 大 ？ - 知 乎 &utm_medium=social&utm_oi=602475833575739392四、类似问题蜜蜂周报 第 14 期 6 / 44蜜蜂周报第 14 期 7 / 44第 2 题 6 月 16 日 常数代换与正弦平方差在一个公众号看到的：蜜蜂周报 第 14 期 7 / 44蜜蜂周报第 14 期 8 / 44蜜蜂周报 第 14

6、 期 8 / 44蜜蜂周报第 14 期 9 / 44最近我在学习不等式证明，有一种方法叫“常数的代换”，这个题看到分母有根号 2，于是产生下面的解法：（这个方法得到最大值为 1，要检验，确实等号可以取得）第 3 题 6 月 16 日 有三角参与的恒成立问题一、题目呈现蜜蜂周报 第 14 期 9 / 44蜜蜂周报第 14 期 10 / 44二、解法展示这个题看上去是个常规题，含参的二次不等式恒成立问题：上海陈晓佟老师的解法如下：（后面没写完，应该是得到二倍角，解三角不等式获得范围）（这种对结构的深刻观察这下的代数变形，让我很诧异，也非常佩服，我看不出这样做）解释一个地方：这个解法用到了放缩，用均

7、值不等式获得一个比较简洁的不等式。当然不用均值不等式，按部就班按二次不等式恒成立做也是可以的，如下面两个解法，基本相同。蜜蜂周报 第 14 期 10 / 44蜜蜂周报第 14 期 11 / 44说来也巧，有一个现象很有趣，就是，当你在很多个 QQ 群、微信群逛的时候，经常会发现有些问题是很像的，或者说是彼此的变式，我把这个现象叫做解题研究的“孕妇效应”，孕妇效应本身是一个心理学上的名词，百度的解释是：我就经常遇到这样的情况。在 6 月 19 日上午，我就在一个微信群看到了一个题与本题有关：蜜蜂周报 第 14 期 11 / 44蜜蜂周报第 14 期 12 / 44解答本题，需要先化简已知，这里用

8、到一个三角函数的“平方差”公式，具体如下：叶超杰老师的解法：（注意题目中要求是“非等腰”，所以 45°那里要断开）蜜蜂周报 第 14 期 12 / 44蜜蜂周报第 14 期 13 / 44对比一下本题，发现二者是类似的：12 题把情境换成了三角形，给了一个 A,B 的关系式，让你先推出二者互余，这样的话，后面那个不等式就和 18 题完全一样了。而且 12 题对角进行了一个限制：非等腰，这个是容æ p 5p ö易忽视的。不过可惜的是，它的选项里竟然没有 ， 这个选项，所以也考查不到学ç ÷è12 12 ø生对“非等腰”这个约束

9、条件的理解，有点可惜。如果设置为填空题可能更好些。第 4 题 6 月 17 日 正四棱锥截面问题一、题目呈现表面上看，这个题的考查点、题型，是比较老套与传统的。二、解法展示蜜蜂周报 第 14 期 13 / 44蜜蜂周报第 14 期 14 / 44下面是我的解法：对立体几何问题来说，有一个宏观的，整体的认识比较重要，或者说对几何体的结构要有一个宏观的，当然越精确越好的认识，可以是从总体到局部的。比如这个题，首先认识到，底面 ABCD 当然是不垂直 PC 的，那么我们把底面想象一下以 A 为支点翘起来，旋转到一个角度让它与 PC 垂直，这就产生一个截面了。那应该旋转多少角度呢？这个题给的几何体棱长

10、关系比较特殊，PAC 是等边三角形，所以截面 AMHN 与底面成的二面角是 30°。或者说 H 是 PC 的中点，把四棱锥的高 PO 做出来，二者交点是 O。下面就是对截面 AMHN 的结构认识，这是一个轴对称的四边形，对角线互相垂直，所以只要把两个对角线的长度算出来，面积就可求了。蜜蜂周报 第 14 期 14 / 44蜜蜂周报第 14 期 15 / 44另外这个题，画图的时候，把 A 放在“最里面”不太好，像下面这个图似的，这样画对结构看的不清楚。第 5 题 6 月 17 日 双自变量恒成立武汉六调 11一、题目呈现二、解法展示这个题是个很套路化的题，把单调性确定了，在区间上的最小

11、值，最大值就确定了，那么“极差”（最大与最小的差）就确定了。蜜蜂周报 第 14 期 15 / 44蜜蜂周报第 14 期 16 / 44第 6 题 6 月 17 日 构造函数解不等式其实这个也可以叫“同构”：第 7 题 6 月 18 日 正三角形中的动点路程问题题目来自这个公众号。这里的每日一题质量很高，而且很难得是排版也很专业。蜜蜂周报 第 14 期 16 / 44蜜蜂周报第 14 期 17 / 44蜜蜂周报 第 14 期 17 / 44蜜蜂周报第 14 期 18 / 44蜜蜂周报 第 14 期 18 / 44蜜蜂周报第 14 期 19 / 44蜜蜂周报 第 14 期 19 / 44蜜蜂周报第

12、 14 期 20 / 44就像公众号评论的，这个题难度并不算大，题型也不新鲜（很久之前就有这种题型了，作为分段函数学习的必经），但考查的东西还是不少的。蜜蜂周报 第 14 期 20 / 44蜜蜂周报第 14 期 21 / 44第 8 题 6 月 18 日 对称的，就是最省的一个应用题在一个公众号看到的，单墫老师写的文章：蜜蜂周报 第 14 期 21 / 44蜜蜂周报第 14 期 22 / 44蜜蜂周报 第 14 期 22 / 44蜜蜂周报第 14 期 23 / 44蜜蜂周报 第 14 期 23 / 44蜜蜂周报第 14 期 24 / 44第 9 题 6 月 18 日 三角形的一种问题结构来自这

13、个公众号：蜜蜂周报 第 14 期 24 / 44蜜蜂周报第 14 期 25 / 44蜜蜂周报 第 14 期 25 / 44蜜蜂周报第 14 期 26 / 44蜜蜂周报 第 14 期 26 / 44蜜蜂周报第 14 期 27 / 44蜜蜂周报 第 14 期 27 / 44蜜蜂周报第 14 期 28 / 44蜜蜂周报 第 14 期 28 / 44蜜蜂周报第 14 期 29 / 44蜜蜂周报 第 14 期 29 / 44蜜蜂周报第 14 期 30 / 44第 10 题 6 月 19 日 导数证明三角不等式蜜蜂周报 第 14 期 30 / 44蜜蜂周报第 14 期 31 / 44第 11 题 6 月

14、19 日 极小值 VS 最小值，概念你搞清楚了吗？一、题目呈现二、解法展示下面的解法来自北京孙丕训老师。这个题，在理解上存在一个难度，开始我也想错了。因为函数在左侧（x 属于负无穷大时），有极限零，右侧趋于无穷大，开始我觉得有“极小值”就可以保证有“最小值”了。后来发现不行，因为有左侧极限零的存在，所以必须得让那个极小值0，也就是孙老师上面的解法。后来，看到孙老师的解答，答案是 a1，正好是让x2 + 2x + a 这个式子有零点的范围，于是就想， f (x) = (x2 + 2x + a)ex 有零点是否就能保证有最小值？（这里我使用的方法又是解题研究的基本方法答案就是已知条件）其实是可以的

15、函数有零点就可以保证有最小值了。甚至都不用求导判断极值。也不蜜蜂周报 第 14 期 31 / 44蜜蜂周报第 14 期 32 / 44用判断两侧的极限。因为我们比较容易可以判断出两侧函数值都为正，用类似“穿根法”来画函数草图，必须有零点才有最小值。所以只要让前面那个二次函数 x2 + 2x + a 有根，即判别式大于等于零。左边比它大，右边也比它大，而且能取到，那它就是最小值。（图像可以参考孙老师的解法）这是根据图像特点来说明极值（最值），不求导！思路和下面这个高考题的解释类似（图片来自公众号“帅琪的数学笔记”）第 12 题 6 月 20 日 三次函数的零点问题蜜蜂周报 第 14 期 32 /

16、 44蜜蜂周报第 14 期 33 / 44（杨宏宇）（卢军）一开始我是这样做的：从图形角度考虑，根据三个自变量的关系，找到 x0 的位置（实际上下面的草图是极为不准确的），这样确定函数 g（x）的零点是 3 个。这个草图不准确，所以得出的结论也是错的。实际上，x 的位置应该满足0f (x ) = f (x ) ，卢军老师的解法中进行了证明。0 1也就是这个样子：蜜蜂周报 第 14 期 33 / 44蜜蜂周报第 14 期 34 / 44第 13 题 6 月 20 日 抛物线上的距离比题目：解法呈现：上图中解答为杨宏宇老师提供。下面是洪一平老师的解答，可以看出，这两个解法都用到了均值不等式，解题长度相对比较短。只是他们用于表示线段的代数式不同，所以最后用的均值形式也不一样。蜜蜂周报 第 14 期 34 / 44蜜蜂周报第 14 期 35 / 44其他解法：蜜蜂周报 第 14 期 35