第26讲力平衡微分方程

1、金属塑性变形理论Theory of metal plastic deformation 第二十六讲第二十六讲Lesson Twenty-Six张贵杰张贵杰Zhang GuijieTel-Mail： 河北理工大学金属材料与加工工程系Department of Metal Material and Process EngineeringHebei Polytechnic University, Tangshan 0630092022-4-112o 为了进行力能参数和变形参数的工程计算，需要建立变为了进行力能参数和变形参数的工程计算，需要建立变形力学的有关方程诸如静力方程

2、（包括力平衡微分方程形力学的有关方程诸如静力方程（包括力平衡微分方程和应力边界条件方程）；几何方程（包括应变与位移关和应力边界条件方程）；几何方程（包括应变与位移关系方程和变形协调方程）；物理方程（包括塑性条件方系方程和变形协调方程）；物理方程（包括塑性条件方程和应力与应变关系方程）等。程和应力与应变关系方程）等。力平衡微分方程有力平衡微分方程有3个；个；几何方程有几何方程有6个；个；物理方程有物理方程有6个；个；塑性条件方程有塑性条件方程有1个个一般塑性加工力学问题需要建立这一般塑性加工力学问题需要建立这16个方程。本章着重个方程。本章着重讲解这些方程的导出及其相关的物理含义。讲解这些方程的

3、导出及其相关的物理含义。2022-4-113第十二章 变形力学方程主要内容Main Contento 力平衡微分方程 o 屈服条件 o 应力应变关系方程 o 等效应力、等效应变 o 平面变形和轴对称变形 2022-4-11412.1 力平衡微分方程o 一般情况下，变形体内各点的应力状态一般情况下，变形体内各点的应力状态 是是不同的，不能仅用一点的应力状态描述或表不同的，不能仅用一点的应力状态描述或表示整个变形体的受力情况。但是变形体内各示整个变形体的受力情况。但是变形体内各点间的应力状态的变化又不是任意的，其各点间的应力状态的变化又不是任意的，其各应力分量必须满足静力平衡关系应力分量必须满足静

4、力平衡关系力平衡力平衡微分方程。微分方程。 ij2022-4-11512.1.1 直角坐标系的力平衡微分方程 o 设变形体内有两相邻点设变形体内有两相邻点a及及a1，a点的坐标为点的坐标为x、y、z，a1点的坐标为点的坐标为x+dx、y+dy、z+dz，通过通过a及及a1点各作互相垂直的三个坐标面，点各作互相垂直的三个坐标面，围成一个微分六面体。在此微分体上作用着围成一个微分六面体。在此微分体上作用着法线应力和切应力。法线应力和切应力。 2022-4-116zxydxxxxdzzzxzxdyyyxyxyxzxx2022-4-117o 通过通过a点的点的x平面上作用着平面上作用着 ，而，而通过通

5、过a1点的点的x平面上作用着平面上作用着 zyxfx,zydxxfx,1222,! 21,dxxzyxfdxxzyxfzyxf可简化为可简化为 dxxxxx1其它各应力分量同理可得。其它各应力分量同理可得。 2022-4-118o 如果不考虑惯性力，按静力平衡如果不考虑惯性力，按静力平衡 0X0dzdydxzdydxdzydxdydzxzxyxxdydzdxxxxdxdydzzzxzxdzdxdyyyxyxdydzxdxdyzxdzdxyx整理得整理得0zyxzxyxx2022-4-119o 同理，由同理，由 、 有类似的结果有类似的结果 0Y 0Z0zyxzyyxy0zyxzyzxz0iij

6、0jijfi高速塑性加工时，高速塑性加工时，惯性力不可忽略惯性力不可忽略 求和约定得形式求和约定得形式 0zyxzxyxx 0Y 0Z 0X2022-4-1110o 力平衡微分方程反映了变形体内正应力的变力平衡微分方程反映了变形体内正应力的变化与切应力变化的内在联系和平衡关系，可化与切应力变化的内在联系和平衡关系，可用来分析和求解变形区的应力分布。用来分析和求解变形区的应力分布。 2022-4-111112.1.2 柱面坐标系的力平衡微分方程 0 rzrrrzrrr02rzrrrzr0 rzrrrzzzrzrd rdrrrrdr drr dzzzrzr2022-4-111212.1.3 应力边

7、界条件及摩擦应力边界条件及摩擦 o 过变形体外表面上任意点，单位表面力与过过变形体外表面上任意点，单位表面力与过该点的三个坐标面上的应力分量的关系如下该点的三个坐标面上的应力分量的关系如下式所示式所示 nmlpnmlpnmlpzyzxzzzyyxyyzxyxxxiijjlp或或该式就是应力边界条件方程该式就是应力边界条件方程 2022-4-1113应力边界条件的种类 o 自由表面自由表面 一般情况下，在工件的自由表面上，既一般情况下，在工件的自由表面上，既没有正应力，也没有切应力作用。没有正应力，也没有切应力作用。 自由表面自由表面2022-4-1114o 工件与工具的接触表面工件与工具的接触

8、表面 在此边界上，既有压缩正应力的作用，在此边界上，既有压缩正应力的作用，也有摩擦应力的作用。也有摩擦应力的作用。 接触表面接触表面2022-4-1115o 变形区与非变形区的分界面变形区与非变形区的分界面 在此界面上作用的应力，可能来自两区在此界面上作用的应力，可能来自两区本身的相互作用，也可能来自特意加的外力本身的相互作用，也可能来自特意加的外力作用。作用。 刚塑性交界面刚塑性交界面2022-4-1116金属塑性加工中的接触摩擦 o 在金属塑性加工过程中，由于变形金属与工在金属塑性加工过程中，由于变形金属与工具之间存在正压力及相对滑动（或相对滑动具之间存在正压力及相对滑动（或相对滑动趋势），这就在二者之间产生摩擦力作用。趋势），这就在二者之间产生摩擦力作用。这种接触摩擦力，不仅是变形力学计算的主这种接触摩擦力，不仅是变形力学计算的主要参数或接触边界条件之一，而且有时甚至要参数或接触边界条件之一，而且有时甚至是能否成型的关键因素。是能否成型的关键因素。 2022-4-1117库仑摩擦定律 fPT nff或或TPfnf式中式中 摩擦力摩擦力正压力正压力摩擦切应力（单位摩擦力）摩擦切应力（单位摩擦力）压缩正应力压缩正应力摩擦系数摩擦系数2022-4-1118o 由于摩擦系数受应力状态的影响，而且很难由于摩擦系