第14讲飞行管理问题

1、信息与计算科学系信息与计算科学系飞行管理问题飞行管理问题数学建模算法与应用数学建模算法与应用信息与计算科学系信息与计算科学系3数学数学建模建模信息与计算科学系信息与计算科学系4数学数学建模建模信息与计算科学系信息与计算科学系5数学数学建模建模信息与计算科学系信息与计算科学系6数学数学建模建模 * 对问题仔细阅读对问题仔细阅读, 首先抓住题目中的关键词首先抓住题目中的关键词“管管理理”进行联想进行联想. * * 抓住诸如抓住诸如“碰撞碰撞”、“调整调整”、“避免碰撞避免碰撞”、“立即立即”、“判断判断”等等词语等等词语. . * * 联系解决问题的方案联系解决问题的方案, ,不加约束继续联想，再

2、不加约束继续联想，再将关键词搭配起来将关键词搭配起来. . 信息与计算科学系信息与计算科学系7数学数学建模建模立即立即 判断判断 碰碰撞撞 条件条件 实时实时 算法算法 避免避免 碰撞碰撞 调整调整 方向角方向角 实时实时 幅度尽量小幅度尽量小 相对相对距离距离优化问题优化问题优化算法优化算法优化调整方案优化调整方案信息与计算科学系信息与计算科学系8数学数学建模建模VIIIIIIIVIV160km160km飞行位置示意图飞行位置示意图信息与计算科学系信息与计算科学系9数学数学建模建模这表面上是一个有这表面上是一个有6个控制对象的最优控制问题，控制个控制对象的最优控制问题，控制方案太多，似乎很难

3、寻优。方案太多，似乎很难寻优。但仔细分析这并不是空间优化问题，只考虑但仔细分析这并不是空间优化问题，只考虑1000010000米高米高空的面包片空的面包片；因而是；因而是平面平面问题。而实际上对每架飞机问题。而实际上对每架飞机而言是而言是一维问题一维问题，因为只有，因为只有旋转角度旋转角度问题，故有可能问题，故有可能简化。简化。信息与计算科学系信息与计算科学系10数学数学建模建模 这个有六个控制对象的这个有六个控制对象的最优控制问题最优控制问题可以利用可以利用平面几何的知识平面几何的知识证明两个简单结论证明两个简单结论, ,从而转化为非从而转化为非线性线性优化优化问题。问题。信息与计算科学系信

4、息与计算科学系11数学数学建模建模 早调整一定优于晚调整。这样第六架飞机刚早调整一定优于晚调整。这样第六架飞机刚进入正方形时就调整，由于时刻确定，问题进入正方形时就调整，由于时刻确定，问题就简化为优化问题。就简化为优化问题。结论一信息与计算科学系信息与计算科学系12数学数学建模建模A(甲飞机)F(较后调整方向)EC(较早调整后方向)DB(原来方向)飞行AD段再较后调整分析图形: CDBA,且甲飞机不能通过二次调整到C点,要保证不碰撞,必调整到E点, 但EDBCDB A,更糟糕的结果!信息与计算科学系信息与计算科学系13数学数学建模建模 可根据数学归纳法证明可根据数学归纳法证明:如果发生碰撞，多

5、如果发生碰撞，多次调整不如在第一次调整时调整到位好。次调整不如在第一次调整时调整到位好。结论二信息与计算科学系信息与计算科学系14数学数学建模建模H(角度调整太大,不是最佳)A(甲飞机)DFC(不会碰撞方向)EB(飞机原飞行方向)GO(第一次调整方向)ODC+ BAOBAO+DAC= BAC,同时,经过两次调整飞机仍不能达到C点,而只能到F点,要到达AC方向,只能增大调整到E点.信息与计算科学系信息与计算科学系15数学数学建模建模这样原问题的调整时刻确定，无须考虑时间因素，这样原问题的调整时刻确定，无须考虑时间因素，问题转化为一般优化问题。问题转化为一般优化问题。信息与计算科学系信息与计算科学

6、系16数学数学建模建模 一般优化问题的数学模型都是由两部分组成，一般优化问题的数学模型都是由两部分组成，即即优化的目标函数优化的目标函数和和必须满足的约束条件必须满足的约束条件。 目标函数可以根据实际问题作出多种选择。目标函数可以根据实际问题作出多种选择。信息与计算科学系信息与计算科学系17数学数学建模建模符号定义符号定义信息与计算科学系信息与计算科学系18数学数学建模建模信息与计算科学系信息与计算科学系19数学数学建模建模幅度最小用数学语言精确表示，至少有四种函数611.miniisign612.minii163.minmaxii 6214.miniii表示第表示第i架飞机的调整方向角。架飞

7、机的调整方向角。其中，其中，信息与计算科学系信息与计算科学系20数学数学建模建模222)()()()(tytytxtxrjijiij),(00iiyx),(00jjyx),(,sin)(,cos)(00jiivtytyvtxtxiiiiii,)()()sin)(sin()cos)(cos(2)(sin)cos(cos200200000022222jijijijijijijijiijyyxxtyyxxvtvr 初初始位置始位置 时刻时刻t飞机的位置飞机的位置两架飞机的距离两架飞机的距离信息与计算科学系信息与计算科学系21数学数学建模建模),sin)(sin()cos)(cos(2,)(sin)c

8、os(cos0000222jijijijiijjijiijyyxxvbva).0()(222ijijijijrtbtatr.64)0()(222ijijijijrtbtatr引入记号引入记号 距离表示为距离表示为 两架飞机不碰撞条件两架飞机不碰撞条件 信息与计算科学系信息与计算科学系22数学数学建模建模 2264ijijx tx ty ty t,0,min,ijij tT T /6,1,2,.,6ii 0800cosiiix txt 0800siniiiy tytiT表示第表示第i i架飞机飞出正方形区域的时刻。架飞机飞出正方形区域的时刻。其中，其中，6 , 1,)0(iiii信息与计算科学系

9、信息与计算科学系23数学数学建模建模0|)(02ijtijbtrdtd0ijb.64)0()(222ijijijijrtbtatr64)0(2ijijrc. 0)(22ijijijijctbtatr, 042ijijijcab不碰撞条件的另一表述不碰撞条件的另一表述： 初始不碰初始不碰, 距离增加距离增加距离减少可能碰撞距离减少可能碰撞 发生碰撞必须发生碰撞必须引入记号引入记号 无实根无实根,不不可能碰撞可能碰撞, ,条件为条件为 信息与计算科学系信息与计算科学系24数学数学建模建模, 042ijijijcabijijijijijijacabbT22)(),(),(),(ijjijjijiij

10、iTyTxTyTx,)(0)(,)(0)(,)(0)(,)(0)(DTyorTyDTxorTxDTyorTyDTxorTxijjijjijjijjijiijiijiiji即使有实根即使有实根, 碰撞也不必考虑碰撞也不必考虑 (不在区域内碰撞不在区域内碰撞),有实根条件有实根条件 符合条件的实根为符合条件的实根为 可能碰撞的位置可能碰撞的位置 碰撞不在区域内的条件碰撞不在区域内的条件信息与计算科学系信息与计算科学系25数学数学建模建模,04,0)3(04,0)2(;0)1(22ijijijijijijijijijcabbcorcabbcorbc,)(0)(,)(0)(,)(0)(,)(0)(DT

11、yorTyDTxorTxDTyorTyDTxorTxijjijjijjijjijiijiijiiji归结起来不在区域内碰撞的条件为归结起来不在区域内碰撞的条件为 信息与计算科学系信息与计算科学系26数学数学建模建模000),(iiiyxiii0.),(121NiiNF., 1,6, 1,64)(. .,),(min2121NijiNjitttrtsFiijijNiiN数学模型数学模型初始位置与方向角初始位置与方向角调整后的方向角调整后的方向角 总的调整量总的调整量 优化数学模型优化数学模型 信息与计算科学系信息与计算科学系27数学数学建模建模.0)(, 0, 0,6. .,),(min)3(.

12、0, 0,6. .,),(min)2(.0,6. .,),(min) 1 (212112121121ijiijijijijiNiiNijijijijiNiiNijiNiiNTxcabbtsFcabbtsFbtsF对应两架飞机不碰撞条件的另一表述的优化模型对应两架飞机不碰撞条件的另一表述的优化模型信息与计算科学系信息与计算科学系28数学数学建模建模 这个非线性优化问题可以利用物理上的相对运这个非线性优化问题可以利用物理上的相对运动原理化为一族线性优化问题，动原理化为一族线性优化问题，即把一个物体看成即把一个物体看成不动，另一物体对它作相对运动不动，另一物体对它作相对运动。 因为目标函数是分段线性

13、的，约束条件是关于坐因为目标函数是分段线性的，约束条件是关于坐标的平方，并不是标的平方，并不是 的非线性函数，因此有可能的非线性函数，因此有可能转化为线性优化问题。转化为线性优化问题。i信息与计算科学系信息与计算科学系29数学数学建模建模PiijPj8iVjVijV相对运动及相对速度示意图相对运动及相对速度示意图 （注意与课本不同！注意与课本不同！）飞机 视为不动，坐标系定义在 上。ji信息与计算科学系信息与计算科学系30数学数学建模建模利用相对运动原理相对运动原理可以将坐标的非线性约束等价转换为飞行方向角的线性约束。 任给两架飞机 和 ，让坐标系固定在 上， 在新坐标系下的运动即 对 的相对

14、运动，显然， 与 在相撞（不考虑正方形区域限制）的充要条件是 的方向见上图，其中相对速度方向不落在这个扇形内，就一定是安全的。0tiPjPiPiPiPjPjPjP88arcsin,arcsinijijijijijdd1222( (0)(0)(0)(0) ijijijdxxyyijV信息与计算科学系信息与计算科学系31数学数学建模建模对飞行速度矢量vi ，由题目条件有，|vi=|vi=800 =a(km)飞行方向角为i用复数表示vi得。iiivae信息与计算科学系信息与计算科学系32数学数学建模建模信息与计算科学系信息与计算科学系33数学数学建模建模信息与计算科学系信息与计算科学系34数学数学建

15、模建模非线性规划化为线性规划图示非线性规划化为线性规划图示jvivjivvX轴ijji易得到：易得到： )( )(22)(22jijijijijiij无方向信息与计算科学系信息与计算科学系35数学数学建模建模相对速度方向相对速度方向 ()22ijijijsign信息与计算科学系信息与计算科学系36数学数学建模建模当当P Pj j的飞行方向不变时，因为的飞行方向不变时，因为V Vi i=V=Vj j=800km/h=800km/h，所以，所以相对速度相对速度V Vijij方向由方向由P Pi i的飞行方向角的飞行方向角i i唯一决定，且唯一决定，且根据矢量法则是根据矢量法则是i i的线性函数的线

16、性函数(0)(0),(0)(0)22(0)(0),(0)(0)(1)22(0)(0)iijjiijjiijjiijjijiijj 无方向信息与计算科学系信息与计算科学系37数学数学建模建模因此原来关于坐标的非线性约束转化为飞行方向角增量的线性约束：ij(0)(0)(0)(0)8arcsin(0)(0)22iijjiijjjjiiijd(0)(0)1,2,1, ,iijjinnji或者或者jjiijjiijjiiijijd)0()0()0()0(22)0()0(8arcsin信息与计算科学系信息与计算科学系38数学数学建模建模目标函数可以从前三个任选一个。这样线性规划模型其中一个如下：61min

17、|.|,1,2,66(0)(0)8arcsin2( (0)(0)21,2,5;1,6iiiiijjijijiijjstidsigniji 信息与计算科学系信息与计算科学系39数学数学建模建模课本表示方法课本表示方法信息与计算科学系信息与计算科学系40数学数学建模建模信息与计算科学系信息与计算科学系41数学数学建模建模信息与计算科学系信息与计算科学系42数学数学建模建模信息与计算科学系信息与计算科学系43数学数学建模建模信息与计算科学系信息与计算科学系44数学数学建模建模信息与计算科学系信息与计算科学系45数学数学建模建模信息与计算科学系信息与计算科学系46数学数学建模建模信息与计算科学系信息与

18、计算科学系47数学数学建模建模arg()()nmiimmnneexiyxiyq qq q-=+-+信息与计算科学系信息与计算科学系48数学数学建模建模信息与计算科学系信息与计算科学系49数学数学建模建模信息与计算科学系信息与计算科学系50数学数学建模建模信息与计算科学系信息与计算科学系51数学数学建模建模信息与计算科学系信息与计算科学系52数学数学建模建模信息与计算科学系信息与计算科学系53数学数学建模建模信息与计算科学系信息与计算科学系54数学数学建模建模信息与计算科学系信息与计算科学系55数学数学建模建模信息与计算科学系信息与计算科学系56数学数学建模建模本题简化有三大步：本题简化有三大步： 第一步第一步，最优控制转化为，最优控制转化为非线性优化问题非线性优化问题，这，这只利用了平面几何的两个简单结论，总是成立的。只利用了平面几何的两个简单结论，总是成立的。 第二步第二步，利用相对运动原理，将非线性优化问，利