哈工大建筑力学课件第6章(第6-8节)静定结构的内力计算

1、第六章第六章 静定结构的内力计算静定结构的内力计算林国昌2古代石平板桥与古代石拱桥：石平板桥施工简单，造价低，为什么还要建石拱桥？古石桥的思考！赵州桥：又名安济桥，位于河北赵县洨河上，它是世界上现存最早、保存最好的巨大石拱桥，距今已有1400多年历史，被誉为“华北四宝之一”。建于隋大业(公元605-618)年间，是著名匠师李春建造。桥长50.82米，跨径37.02米，拱高7.23米，是当今世界上跨径最大、建造最早的单孔敞肩型石拱桥。6-6 6-6 三铰拱三铰拱4CFs图M 图内容回顾梁在竖向荷载作用下，材料只承受弯矩和剪力，没有轴力作用。5第六节 三铰拱拱的种类：6第六节 三铰拱三铰拱的几何参

2、数三铰拱的几何参数: :1.拱轴线拱轴线:拱身各横截面形心的连线 (曲线部分ABC);2.拱趾:支座 A 和 C ;3.跨度跨度:两个支座间的水平距离 l ;4.起拱线:两个支座的连线 ;5.拱顶:拱轴线上距起拱线最远的一点；6.拱高拱高:拱顶到起拱线的距离 f 。7.高跨比高跨比:拱高与跨度之比 。lf拱高f起拱线高跨比高跨比:是拱的基本参数，通常高跨比控制在1/101的范围内。7第六节 三铰拱一、三铰拱的计算1.支座反力的计算取整体为分离体:i iVAiiVBHAHBHFbFlFaFlFFF得:取左半部分为分离体:( )0CMF 1122()()222VAHAlllFFaFaFf0)(FM

3、B( )0AMF 0 xF 三铰拱是静定结构，其全部约束力和内力都可以通过静力平衡方程获得。8第六节 三铰拱一、三铰拱的计算1.支座反力的计算i iVAiiVBHAHBHFbFlFaFlFFF1122()()222VAHAlllFFaFaFf三铰拱是静定结构，其全部约束力和内力都可以通过静力平衡方程获得。结论：在只有竖向荷载作用下，三铰拱产生了对支座的水平推力水平推力。而只有竖向荷载作用的简支梁不会产生水平推力。C9第六节 三铰拱一、三铰拱的计算1.支座反力的计算考察一个与该拱跨度相同、荷载相同的简支梁的内力。由规律(2)得：001122=()()222CVAlllMFFaFa0VAF0VBF

4、取整体为分离体:00i iVAiiVBFbFlFaFl得:0)(FMB( )0AMF 规律规律(2)(2)：梁的任一横截面上的弯矩代数值等于该截面一侧(左侧或右侧)所有外力对该截面与梁轴线交点的力矩的代数和。其中每一力矩的正负号按弯矩的正负号规定确定。10第六节 三铰拱一、三铰拱的计算i iVAFbFliiVBFaFlHAHBHFFF1122()()222VAHAHBlllFFaFaFFf00,VAVAVBVBFFFF0CHAHBHMFFFf001122=()()222CVAlllMFFaFa0VAF0VBF与该拱跨度相同、荷载相同的简支梁0i iVAFbFl0iiVBFaFl结论：结论：11

5、第六节 三铰拱一、三铰拱的计算1.支座反力的计算（1）在竖向荷载作用下,三铰拱的竖向支座反力 与相应简支梁的支座反力相同；（3）FH 称为水平推力水平推力，当跨度不变时,水平支座反力与f 成反比。0VAF0VBF00,VAVAVBVBFFFF0CHAHBHMFFFf结论：结论：（2）拱的水平支座反力水平支座反力等于相应简支梁截面C 处的弯矩 除以拱高 f；12第六节 三铰拱一、三铰拱的计算2.内力的计算内力有弯矩、剪力和轴力。符号规定：弯矩以使拱内侧受拉为正； 剪力以使分离体顺时针转动为正； 轴力以使分离体受拉为正。K 截面的内力:KMNKFSKF弯矩剪力轴力拱内侧拱内侧a113第六节 三铰拱

6、一、三铰拱的计算2.内力的计算求 K 截面的内力！取 AK 段为分离体:（1）弯矩计算得:11()KVAKKHKMF xF xaF y0KHKMF y结论: 1)拱内任一截面的弯矩等于相应简支梁对应截面处的弯矩减去拱的水平支座 反力引起的弯矩 FHyK 。11( )0,()0KVAKKHKKMFF xF xaF yM00,VAVAVBVBFFFF由于水平推力的存在,拱中各截面的弯矩要比相应简支梁的弯矩小。14第六节 三铰拱一、三铰拱的计算2.内力的计算取 AK 段为分离体:（2）剪力计算S10,cossincos0yKKHKVAKFFFFF得:S1()cossinKVAKHKFFFF0coss

7、inSKKHKFFxy（3）轴力计算N10,()sincosxKVAKHKFFFFF0NsincosKSKKHKFFF 00,VAVAVBVBFFFF15第六节 三铰拱一、三铰拱的计算（2）剪力计算0cossinKSKKHKFFFxy（3）轴力计算0NsincosKSKKHKFFF （1）弯矩计算0KKHKMMF y内力计算方法：先求等跨度梁的内力，之后代入上式。结论：与该拱跨度相同、荷载相同的简支与该拱跨度相同、荷载相同的简支梁相比，拱的截面所受的轴向压力较大，梁相比，拱的截面所受的轴向压力较大，而弯矩和剪力较小。而弯矩和剪力较小。16第六节 三铰拱拱结构在工程中有着广泛的应用。常见的拱结构

8、三铰拱。总结拱的特点: 2.水平推力减小了横截面的弯矩,使得拱主要承受轴向压力作用;3.建筑材料可选用抗压性能好而抗拉性能差的材料(砖、石、混凝土等)。4.要求有坚固的基础,施工困难。1.在竖向荷载作用下,支座处产生水平推力水平推力;17第六节 三铰拱例 611 试绘制图所示三铰拱的内力图，拱的轴线方程为 。)(42xLxLfy解: (1)求支座反力i iVAiiVBHAHBHFbFlFaFlFFF01122()()222=VACHAlllFFaFaMFff18第六节 三铰拱例 611 试绘制图所示三铰拱的内力图，拱的轴线方程为 。)(42xLxLfy解:(2) 把拱跨八等分,分别算出相应各截

9、面的 M、FS、FN值。0CHMFf424 44(164)3m16y计算 4m 处截面的M、FS、FN值:2d4tan(2 )dyfLxxL424 4tan(162 4)0.516 0S4444cossin0SHFFF0N4444sincos13.4kNSHFFF 04444kN.mHMMF ykN/m2q（2）剪力计算0cossinKSKKHKFFF（3）轴力计算0NsincosKSKKHKFFF （1）弯矩计算0KKHKMMF y19第六节 三铰拱例 611 试绘制图所示三铰拱的内力图。拱的轴线方程为)(42xLxLfy解: 各截面内力列表如下:0cossinKSKKHKFFF0Nsinc

10、osKSKKHKFFF 0KKHKMMF y20第六节 三铰拱例 611 试绘制图所示三铰拱的内力图。拱的轴线方程为)(42xLxLfy解: 各截面内力列表如下:0cossinKSKKHKFFF0NsincosKSKKHKFFF 0KKHKMMF y21第六节 三铰拱例 611 试绘制图所示三铰拱的内力图。拱的轴线方程为)(42xLxLfy解: (3) 绘制内力图22第六节 三铰拱 拱的内力计算步骤总结如下:(1)先将拱沿水平方向分成若干部分。(2)求出相应简支梁各截面的 M 0 及 。(3)由给定的拱轴方程求出拱各截面的倾角 。(4)求出各截面的弯矩M、剪力FS 和轴力FN 。(5)按各截面

11、的弯矩M、剪力FS 和轴力FN 值绘制内力图。0SF23第六节 三铰拱二、拱和梁的比较拱的合理轴线1.拱和梁的比较(1)在竖向荷载作用下,拱的轴力较大,为主要内力;(2)在竖向荷载作用下,梁没有轴力,只承受弯矩和剪力,不如拱受力合理, 拱比梁能更有效地利用材料的抗压性。0KKHKMMF y拱任一截面K 的弯矩值由于水平推力的存在,三铰拱的弯矩比同跨简支梁相应截面的弯矩值小。,其中水平推力:0CHMFf(3) 在竖向荷载作用下,拱对支座有水平推力,所以设计时要考虑水平推力 对支座的作用。屋面采用拱结构时,可加拉杆来承受水平推力。24第六节 三铰拱二、拱和梁的比较拱的合理轴线2.拱的合理轴线一般情

12、况下,拱任一截面上内力有弯矩、剪力和轴力。若能适当地选择拱的轴线形状,使得在给定的荷载作用下,拱上各截面只承受轴力,而弯矩为零,这样的拱轴线称为合理轴线合理轴线。0KKHKMMF y拱任一截面K 的弯矩值拱上任意截面形心处纵坐标用y(x)表示;该截面弯矩用M(x)表示;相应简支梁上相应截面的弯矩用M0(x)表示。要使拱的各横截面弯矩都为零,则应有：0)()()(0 xyFxMxMH0( )( )HMxy xF结论：在竖向荷载作用下,三铰拱的合理轴线的纵坐标与相应简支梁弯矩图的纵坐标成正比。25第六节 三铰拱二、拱和梁的比较拱的合理轴线例612试求图所示三铰拱在均布荷载作用下的合理轴线。解： 相

13、应简支梁如图所示其弯矩方程为)(212121)(20 xlqxqxqlxxM拱的水平推力为022H188CMqlqlFfff合理轴线方程为：022()( )42( )()8Hqx lxMxfy xx lxqlFlf结果表明：在满跨均布荷载作用下,三铰拱的合理轴线是抛物线。 房屋建筑中拱的轴线常采用抛物线。C6-7 6-7 静定平面桁架静定平面桁架27第七节 静定平面桁架一、概述桁架 是由若干直杆用铰连接而组成的几何不变体系。桁架的特点是:(1)所有各结点都是光滑铰结点。桁架结构的优点是：（1）重量轻,受力合理, (2)能承受较大荷载,可做成较大跨度。(2)各杆的轴线都是直线并通过铰链中心。(3

14、)荷载均作用在结点上。平面桁架 桁架中各杆轴线处在同一平面内。二力杆符合上述假定条件的桁架称为理想桁架。因此杆的横截面上只产生轴力。28第七节 静定平面桁架桁架的杆件布置必须满足几何不变体系的组成规则。常见的桁架一般是按下列两种方式组成：（1）由一个基本铰接三角形或基础开始,逐次增加二杆结点,组成一个桁架, 用这种方式组成的桁架称为简单桁架。29第七节 静定平面桁架(2) 由几个简单桁架联合组成的几何不变体系,称为联合桁架。CAB30上边的各杆称为上弦杆, 下边的各杆称为下弦杆在中间的各杆称为腹杆, 腹杆又按方向分为竖杆和斜杆。弦杆上相邻两结点的区间称为节间, 其间距 d 称为节间长度。两支座

15、的连线到桁架最高点之间的垂直距离 H 称为桁高。两支座间的水平跨距离称为跨度, 用 l 表示。上弦杆下弦杆竖杆斜杆dH第七节 静定平面桁架l31ByF第七节 静定平面桁架二、结点法计算桁架内力例6-13 试计算图示桁架各杆内力。解： 先计算支座反力。以桁架整体为分离体,求得：kN20kN,20ByAyFF逐次截取出各结点求出各杆的内力。画结点受力图时,一律假定杆件受拉。结点1：130, (205)kNsin300yFF得：1330kNF 由：13120,cos300 xFFF得：1225.98kNF 32ByF第七节 静定平面桁架二、结点法计算桁架内力例6-13 试计算图示桁架各杆内力。解：结

16、点2：0,yF 得：230F 由：0,xF 得：252125.98kNFF2由：结点3：由：得：343520kN,10kNFF 3435310,cos30cos30cos300 xFFFF3435310,sin30sin30sin30100yFFFF1225.98kNF 1330kNF 33ByF第七节 静定平面桁架二、结点法计算桁架内力例6-13 试计算图示桁架各杆内力。解：结点4：0,xF 得：434720kNFF 由：由：得：4510kNF 45430,102sin300yFFF注意：因为结构及荷载是对称的,故只需计算一半桁架,处于对称位置的 杆件具有相同的轴力,也就是说,桁架中的内力是

17、对称分布的。34ByF第七节 静定平面桁架二、结点法计算桁架内力例6-13 试计算图示桁架各杆内力。解：注意：因为结构及荷载是对称的,故只需计算一半桁架,处于对称位置的 杆件具有相同的轴力,也就是说,桁架中的内力是对称分布的。35第七节 静定平面桁架注意零杆的判断： 不在一直线上的两杆相交于一个结点,且此结点上无外力作用时, 此两杆的内力为零。内力为零的杆称为零杆F2=0F1=0(2)三杆结点上无外力作用,如其中任意二杆共线,则第三杆是零杆。F1F2F3=012FF 36第七节 静定平面桁架例题 12： 求图示桁架中杆 a 的内力。AB4m4m4m30kN2m2ma51234解: 由结点 1

18、可知：120F 450由结点 2 可知：230F340F由结点 3 可知：由结点 4 可知：450F37第七节 静定平面桁架例题： 求图示桁架中杆 a 的内力。AB30kN2ma51234解:4502m取节点 5 为脱离体，画受力图。00,300sin45yaFF42.4kN(aF 拉力）4m4m4m545030kNFA5FaF2538第七节 静定平面桁架三、截面法求内力 截面法就是用一个截面截断若干根杆件, 将整个桁架分为两部分( 包括若干结点在内 )作为脱离体, 建立平衡方程, 求出所截断杆件的内力。例 614 求图示桁架中指定杆件1、2、3 的内力。解： 先求出桁架的支座反力。以桁架整体

19、为分离体,求得：0,5 . 2,5 . 2AxByAyFFFFF39第七节 静定平面桁架三、截面法求内力例 614 求图示桁架中指定杆件1、2、3 的内力。用截面-将桁架截开 取截面左半部为分离体。10, 2.50yFFFFF得：10.5FF40第七节 静定平面桁架三、截面法求内力例 614 求图示桁架中指定杆件1、2、3 的内力。用截面-将桁架截开 取截面右半部为分离体。2( )0,2.50CMFFaF aF a得：21.5FF 30,cos452.50yFFFFF得：322FF 41第七节 静定平面桁架例 13 试求图示桁架 CK中杆的内力ddd900300600F/2GABCDEKFBF

20、A解: (1) 求支座反力2ABFFFFF/2F23由-截面,取截面右边为脱离体, 画受力图。F42第七节 静定平面桁架例 13 试求图示桁架 CK中杆的内力ddd900300600F/2GABCDEKFBFA解:FF/2FF900300600FF/2GBKFBEFCKFGEFKE033330,0tan302422CKEddFdMFF2BFF43第七节 静定平面桁架 结点法和截面法是计算桁架的两种基本方法,各有其优缺点。（1）结点法适用于求解桁架全部杆件的内力,但求指定杆内力时, 一般说来比较繁琐。（2）截面法适用于求指定杆件的内力,但用它来求全部杆件的内力时, 工作量要比结点法大得多。应用时

21、,要根据题目的要求来选择计算方法。应用时,要根据题目的要求来选择计算方法。44第七节 静定平面桁架四、几种梁式桁架受力性能的比较桁架中各杆的内力是与桁架的形状、杆件布置、外荷载作用位置等因素有关的。常用的几种桁架:1.平行弦桁架2.三角形桁架3.抛物线型桁架讨论:三种桁架在相同荷载、相同跨度、相同高度条件下各杆的内力值。通过分析可知,所有桁架的上弦杆受压,下弦杆受拉。45第七节 静定平面桁架四、几种梁式桁架受力性能的比较(1) 平行弦桁架的内力分布不均匀，内力变化较大。这类桁架在工程上一般采用相同截面的弦杆,并广泛用于轻型桁架中,而不会造成较大的浪费。(2) 三角形桁架的内力分布也不均匀,上、下弦杆的内力,随靠近支座递增,支座处最大。腹杆的内力随靠近支座递减。支座端结点处弦杆间夹角很小,构造复杂。但它有较大的坡度,便于排水,适合屋顶结构的要求,广泛用于屋架结构中,且木屋架应用