第二章IIR数字滤波器设计all(2009)

1、2.1 滤波器的基本概念滤波器的基本概念2.2 模拟低通滤波器设计模拟低通滤波器设计2.3 模拟高通、带通及带阻滤波器设计模拟高通、带通及带阻滤波器设计2.4 从模拟滤波器到数字滤波器的转换从模拟滤波器到数字滤波器的转换2.5 数字高通、带通及带阻滤波器设计数字高通、带通及带阻滤波器设计1. 1. 滤波原理滤波原理)(nx)(ny( )h n)()()(nhnxny )()()( jjjeHeXeY | )(| )( jeYc| )(| )( jeXa| )(| )( jeHb( )( )( )|,|ccx nh ny n 通通过过系系统统后后使使输输出出中中不不再再含含有有的的频频率率成成分

2、分 而而使使的的成成分分不不失失真真的的通通过过. 信号信号中的有用成分和希望去除的成分各自中的有用成分和希望去除的成分各自, , 通过一个线性系统可将欲去通过一个线性系统可将欲去除的成分有效去除除的成分有效去除. .低通低通(LP), 高通高通(HP),带通带通(BP), 带阻带阻(BS) 分类分类: : 10)()(NnnznhzHFIR DF NkkkMrrrzazbzH101)(IIR DF 从含有噪声的数据记录从含有噪声的数据记录(又称时间序列又称时间序列)中估计出信号的某些特征或信号本身中估计出信号的某些特征或信号本身. 维纳滤波器、卡尔曼滤波器、线性维纳滤波器、卡尔曼滤波器、线性

3、预测、自适应滤波器预测、自适应滤波器通通带带截截止止频频率率:p 3. 3. 滤波器的技术指标滤波器的技术指标1 ：通带允许的最大衰减；通带允许的最大衰减；阻带截止频率阻带截止频率:s 实际低通实际低通：阻带内应达到的最小衰减阻带内应达到的最小衰减2 理想低通理想低通高通：高通：低通：低通：带通：带通：带阻：带阻：p s pasa)( a1( )20lg20lg|()|()|jjH eH e 单位 (dB)技术指标还常用表示4. DF 设计流程1）根据实际需要确定技术指标；）根据实际需要确定技术指标；wp=49.0, 51.0Hzws=49.5, 50.5Hzwp=20Hz,ap=0.1dBw

4、s=30Hz, as=30dB2) 用一个用一个、系统函数系统函数H(z)去去逼逼 近这个指标；近这个指标；3) 实现：结构的选择，硬件或软件。实现：结构的选择，硬件或软件。 10)()(NnnznhzHFIR DF NkkkMrrrzazbzH101)(IIR DF5. IIR DF 5. IIR DF 设计方法设计方法1）先设计模拟滤波器，再转换成数字滤波器；）先设计模拟滤波器，再转换成数字滤波器；2) 利用计算机辅助设计，直接设计数字滤波利用计算机辅助设计，直接设计数字滤波器。器。p s pasa)( a1( )20lg20lg|()|()|jjH eH e 单位 (dB)技术技术指标还

5、常用指标还常用表示表示)(sHa给定给定滤波器的技术指标滤波器的技术指标设计低通滤波器设计低通滤波器,psps使其衰减函数使其衰减函数2| )(|1lg10| )(|1lg20)( jHjHaaa在在 处达到处达到sp ,spaa ,幅度平方函数幅度平方函数N 阶数，阶数， -3dB频率频率cNcajH22)(11| )(| 定义：定义： 幅度平方函数幅度平方函数不同不同N时的时的2| )(| jHa根据给定的指标根据给定的指标ssppaa,;, NcajH22)(11| )(| 由：由：2| )(|1lg10| )(|1lg20)( jHjHaaa有：有：)(1lg10)(2Nca 2. 2

6、. 求求 和和 Nc)(1lg102Ncppa )(1lg102Ncssa 通带条件通带条件)/lg()110/()110lg(211 . 01 . 0spaaspN 求得求得：阻带条件阻带条件c3. 3. 确定确定)(sHaNcajH22)(11| )(| sjaaajHjHjH | )()(| )(|*2由：由：得：得：NcaajssHsH2)(11)()( 共共2N个极点个极点N取左半平面的取左半平面的 个赋予个赋予 ， 右半平面的右半平面的 个赋予个赋予 N)(sHa)( sHa12 , 1 , 0,2)12(2 NkesNkjck 2Nc即即 个极点均匀分布在个极点均匀分布在 平面半

7、径为平面半径为的圆上。的圆上。N=3N=4 10)()(NkkcNasssH为了设计方便。将频率用为了设计方便。将频率用 归一化归一化c 10)(1)(NkckcasssH归一化传递函数归一化传递函数 10)(1)(NkkapppHcspaapHsH | )()(Step1. 由由求求 和和 Ncssppaa,;, N, Wc = buttord(Wp, Ws, Ap, As, s) )/lg()110/()110lg(211 . 01 . 0spaaspN )(1lg102Ncssa Step2. 求归一化极点和传递函数求归一化极点和传递函数12 , 1 , 0,2)12(2 NkepNkj

8、k 10)(1)(NkkapppHz, p, k=buttap(N) b,a=zp2tf(z,p,k)Step3. 反归一化，得到反归一化，得到)(sHaB, A=lp2lp(b, a, Wc) cspaapHsH | )()(,0,1,1kkcspkN 例6.2.1： 设计Butterworth LP AF Step1. dBakHzfdBakHzfsspp30,12;2,5 求求 和和 Nc)/lg()110/()110lg(211 . 01 . 0spaaspN )(1lg102Ncssa N, Wc = buttord(Wp, Ws, Ap, As, s) =5)/(015. 62sk

9、radc P158 butterlp1.mStep2. 求归一化极点和传递函数求归一化极点和传递函数12 , 1 , 0,2)12(2 NkepNkjk N-101( )()akkHppp z, p, k=buttap(N) p = -0.3090 + 0.9511i -0.3090 - 0.9511i -0.8090 + 0.5878i -0.8090 - 0.5878i -1.0000 b,a=zp2tf(z,p,k)b = 0 0 0 0 0 1a=1.0000 3.2361 5.2361 5.2361 3.2361 1.0000 12361. 32361. 52361. 52361.

10、31)(2345 ppppppHaStep3. 反归一化，得到反归一化，得到)(sHaB, A=lp2lp(b, a, Wc) 12361. 32361. 52361. 52361. 31)(2345 ppppppHacspaapHsH | )()(5423324552361. 32361. 52361. 52361. 3ccccccsssss 4.Butterworth4.Butterworth滤波器的特点滤波器的特点NcajH22)(11| )(| 0)0(,1| )(|,02 ajHa（1）无衰减无衰减dBajHccac3)(,5 . 0| )(|,2 （2）即在通带内越平即在通带内越平

11、慢，慢，下降下降大大 2| )(|,jHNa单单调调下下降降2| )(|,0 jHac（3）仍仍单单调调下下降降2| )(|, jHac（4)NcajH22)(11| )(| 但比通带内衰减速度加快，但比通带内衰减速度加快，N越越大，衰减速度越大大，衰减速度越大)(sHa给定给定滤波器的技术指标滤波器的技术指标设计低通滤波器设计低通滤波器,psps使其衰减函数使其衰减函数2| )(|1lg10| )(|1lg20)( jHjHaaa在在 处达到处达到sp ,spaa ,幅度平方函数幅度平方函数Step1. 由由求求 和和 Ncssppaa,;, N, Wc = buttord(Wp, Ws,

12、Ap, As, s) )/lg()110/()110lg(211 . 01 . 0spaaspN )(1lg102Ncssa NcajH22)(11| )(| Step2. 求归一化极点和传递函数求归一化极点和传递函数12 , 1 , 0,2)12(2 NkepNkjk 10)(1)(NkkapppHz, p, k=buttap(N) b,a=zp2tf(z,p,k)Step3. 反归一化，得到反归一化，得到)(sHaB, A=lp2lp(b, a, Wc) cspaapHsH | )()(,0,1,1kkcspkN 由于由于Chebyshev 滤波器将允许的衰减均匀滤波器将允许的衰减均匀分布

13、于整个通带内，所以，对于同样的指分布于整个通带内，所以，对于同样的指标，所需的阶数较少。标，所需的阶数较少。切比雪夫多项式：切比雪夫多项式：)(11| )(|222pNaCjH N 为阶数，为阶数， 为通带截止为通带截止频率频率1. 1. 定义：幅度平方函数定义：幅度平方函数p 1,)(1,)arccos(cos()(pppppNNarcchchNC222111| )(|,1)(010 jHCapNp，通通带带内内，)(11| )(|222pNaCjH 单调下降单调下降单调上升单调上升，阻带内，阻带内，22| )(|,)(1 jHCapNp2. 2. 求求 和和 N根据给定的指标根据给定的指标

14、ssppaa,;, )(11| )(|222pNaCjH 1lg10)(22 pNCa 1)(, pNpC1lg102 pa1101 . 0 pa 由通带条件由通带条件由阻带条件求由阻带条件求 N1lg1022 psNsCa 21 . 02/ )110()( sapsNC21 . 02/ )110()( sapsNarcchch)()/110(1 . 0psaarccharcchNs 3. 求极点，确定求极点，确定)(sHa)(11| )(|222pNaCjH )(11)()(22pNaajsCsHsH 可导出，可导出，2N个极点分布在短轴为个极点分布在短轴为 ，长轴，长轴在在 的椭圆上的椭圆

15、上papb)(2111NNa )(2111NNb 1112 实际转移函数为实际转移函数为 反映反映了实际频率了实际频率归一化归一化传递函数传递函数p NiiNapppH11)(21)( NipiNNpspaapspHsHp11)(2| )()( 例6.2.2： 设计Chebyshev LP AF N, Wc = cheb1ord(Wp, Ws, Ap, As, s) dBakHzfdBakHzfsspp60,12;1 . 0,5 Step1. 求求 和和 N1101 . 0 pa )()/110(1 . 0psaarccharcchNs Step2. 求归一化极点和传递函数求归一化极点和传递函

16、数z, p, k=cheb1ap(N，Ap) b,a=zp2tf(z,p,k) NiiNapppH11)(21)( 1101 . 0 pa Step3. 反归一化，得到反归一化，得到B, A=lp2lp(b, a, Wc) )(sHa NipiNNpspaapspHsHp11)(2| )()( 【例2】 cheb1lp.ml1. 阶次计算函数；阶次计算函数；l(1) Butterworth模拟滤波器模拟滤波器lN, Wc = buttord(Wp, Ws, Ap, As, s)；l(2) Chebyshev I型模拟滤波器型模拟滤波器lN, Wc = cheb1ord(Wp, Ws, Ap,

17、As, s)l(3) Chebyshev II型模拟滤波器型模拟滤波器lN, Wc = cheb2ord(Wp, Ws, Ap, As, s)l(4) 椭圆滤波器椭圆滤波器lN, Wc = ellipord(Wp, Ws, Ap, As, s)l其中：其中：Wp, Ws分别是通带和阻带的截止分别是通带和阻带的截止频率，单位为弧度频率，单位为弧度/秒。对低通和高通，秒。对低通和高通，Wp, Ws都是标量，对带通和带阻，都是标量，对带通和带阻，Wp, Ws是是12的向量。的向量。Ap, As 分别是通带和分别是通带和阻带的衰减阻带的衰减(dB)。N是求出的相应低通滤是求出的相应低通滤波器的阶次，波

18、器的阶次，Wc是求出的是求出的3dB频率，它频率，它和和Wp稍有不同。稍有不同。 l(1) Butterworth模拟滤波器模拟滤波器lz, p, k=buttap(N)；l l(2) Chebyshev I型模拟滤波器型模拟滤波器lz, p, k=cheb1ap(N,Ap)l(3) Chebyshev II型模拟滤波器型模拟滤波器lz, p, k= cheb2ap (N,As) l(4) 椭圆滤波器椭圆滤波器l z, p, k=ellipap(N,Ap,As) 模拟高通模拟高通, 带通带通, 带阻滤波器设计流程带阻滤波器设计流程设计模拟设计模拟滤波器滤波器G(p)G(p)频率转换频率转换得到

19、得到或或滤波器滤波器H(s)H(s)的技术指标的技术指标,pspsaa 滤波器技滤波器技术指标术指标频率转换频率转换,pspsaapqs频率转换频率转换,pspsaa ,pspsaa给定给定HPHP、BPBP或或BSBS的技术指标的技术指标 jssHa, )(归一化归一化 jqqHa , )(LPLP技术指标技术指标 jssG, )(归一化归一化 jppG , )(,pspsaa频率转换频率转换,psps ,psps 给定给定HP、BP或或BS的技术指标的技术指标 jssHa, )(归一化归一化 jqqHa , )(LP技术指标技术指标 jssG, )(归一化归一化 jppG , )(想办法实

20、现高通到低通的转换想办法实现高通到低通的转换：高通幅频高通幅频给定高通滤波器的技术指标给定高通滤波器的技术指标：,pspsaa先作频率归一化先作频率归一化：,1,1pps 10sp01sp1/( )( )|( )|ppq spsH sH qG p于是可得到模拟高通滤波器的转移函数于是可得到模拟高通滤波器的转移函数【例6.2.3】 butterhp1.m11jjj1pq1/( )( )|pqH qG p对带通滤波器，如何实现频率的归一化对带通滤波器，如何实现频率的归一化定义：定义：有有 ：31BWBW 用带宽归一化1s 2s 1 3 2 1s 2s 1 3 2 213 然后要实现然后要实现技术指

21、标到技术指标到的转换。关键问题是找到的转换。关键问题是找到 对应关系：对应关系： 0spps 与 的转换关系0spps 1230slsh 1230slsh 2213 222 ,pspsaa 由由设计归一化低通设计归一化低通 jppG , )(BW/( )( ) |aaq sHsHq 222 2222222132222( / )( / )()()( /)BWBWBWq jpjjjq jsqqs 21331()sps 21331()( )( )|spsH sG p N阶低通滤波器转换到带通后阶低通滤波器转换到带通后, 阶次变为阶次变为2N。【例4】 cheb1bp.m带阻滤波器频率归一化方法同带通

22、滤波器带阻滤波器频率归一化方法同带通滤波器定义：定义：有有 ：31BWBW 2312000sppsshsl 22/1322p312221,1,p ( )( )得得到到中中的的 和和中中之之间间的的对对应应关关系系为为G ppH ss31213()sps 带带阻阻滤滤波波器器的的转转移移函函数数为为31213()( )( )|spsH sG p l1. 阶次计算函数；阶次计算函数；l(1) Butterworth模拟滤波器模拟滤波器lN, Wc = buttord(Wp, Ws, Ap, As, s)；l(2) Chebyshev I型模拟滤波器型模拟滤波器lN, Wc = cheb1ord(W

23、p, Ws, Ap, As, s)l(3) Chebyshev II型模拟滤波器型模拟滤波器lN, Wc = cheb2ord(Wp, Ws, Ap, As, s)l(4) 椭圆滤波器椭圆滤波器lN, Wc = ellipord(Wp, Ws, Ap, As, s)l其中：其中：Wp, Ws分别是通带和阻带的截止分别是通带和阻带的截止频率，单位为弧度频率，单位为弧度/秒。对低通和高通，秒。对低通和高通，Wp, Ws都是标量，对带通和带阻，都是标量，对带通和带阻，Wp, Ws是是12的向量。的向量。Ap, As 分别是通带和分别是通带和阻带的衰减阻带的衰减(dB)。N是求出的相应低通滤是求出的相

24、应低通滤波器的阶次，波器的阶次，Wc是求出的是求出的3dB频率，它频率，它和和Wp稍有不同。稍有不同。 l(1) Butterworth模拟滤波器模拟滤波器lz, p, k=buttap(N)；l l(2) Chebyshev I型模拟滤波器型模拟滤波器lz, p, k=cheb1ap(N,Ap)l(3) Chebyshev II型模拟滤波器型模拟滤波器lz, p, k= cheb2ap (N,As) l(4) 椭圆滤波器椭圆滤波器l z, p, k=ellipap(N,Ap,As) 将模拟低通原型转换为实际的低通、高通、带将模拟低通原型转换为实际的低通、高通、带通及带阻滤波器。通及带阻滤波器

25、。l(1) B, A=lp2lp(b, a, wc),l(2) B, A=lp2hp(b, a, wc)l(3) B, A=lp2bp(b, a, wo, Bw),l(4) B, A=lp2bs(b, a, wo, Bw)l b, a 是是AF LP 的分子、分母的系数向量，的分子、分母的系数向量，B, A是转换后的的分子、分母的系数向量；在是转换后的的分子、分母的系数向量；在（1）、（）、（2）中，）中，wc是低通或高通滤波器的截是低通或高通滤波器的截止频率；在（止频率；在（3）、（）、（4）中，）中，wo是带通或带阻是带通或带阻滤波器的中心频率，滤波器的中心频率，Bw是其带宽。是其带宽。

26、(1) Butterworth模拟滤波器模拟滤波器lb,a=butter(N,Wc,s) % 低通或带通低通或带通lb,a=butter(N,Wc,high,s) %高通高通lb,a=butter(N,Wc,stop,s) %带阻带阻 (2) Chebyshev I型模拟滤波器型模拟滤波器lb,a= cheby1 (N,Ap,Wc,s) % 低通或带通低通或带通lb,a= cheby1 (N,Ap,Wc,high,s) %高通高通lb,a= cheby1(N,Ap,Wc,stop,s) %带阻带阻 l(3) Chebyshev II型模拟滤波器型模拟滤波器lb,a= cheby2 (N,As,

27、Wc,s) % 低通或带通低通或带通lb,a= cheby2 (N,As,Wc,high,s) %高通高通lb,a= cheby2(N,As,Wc,stop,s) %带阻带阻l (4) 椭圆滤波器椭圆滤波器lb,a= ellip(N,Ap,As,Wn,s) % 低通或带通低通或带通lb,a= ellip (N,Ap,As,Wn,high,s) %高通高通lb,a= ellip(N,Ap,As,Wn,stop,s) %带阻带阻 l举例举例 lSmp311Butterworth Analog bandpass filter smp306Chebyshev Analog bandpass filte

28、r冲激响应不变法冲激响应不变法双线性变换法双线性变换法sz( )H s( )H z（1) 1) 稳定，稳定， )(sHa)(zH稳定稳定要求：要求：(2) | )(| jHa| )(| jeH1. 1. 原理原理( (principle)principle)AF的微分方程的微分方程DF的差分方程的差分方程2. 2. )(zH)(sHa(Bilinear Transform)(sHaL)(zHZ（1)1)()()(001txdtyCdttdyC 010)()()(CsCdsXsYsHa 2)1()(2)1()()1()(001TnxnTxdTnynTyCTTnynTyCAF微分方程微分方程（2)

29、2)微分方程微分方程 差分方程差分方程（3)3) Z变换变换)()1 (2)()1 (2)()1 (101011zXzdzYzCzYzTC)()1 (2)()1 (2)()1 (101011zXzdzYzCzYzTC)1(2)1()1(2)()()(101110 zCzTCzdzXzYzH01110112)(cczzTdzH 010)(CsCdsHa 11112 zzTs)(sHa)(zHsTsTz 223. S3. S与与Z Z平面的映射关系平面的映射关系11112 zzTs11112zzTs（1)1)S 平面的虚轴平面的虚轴 Z平面的单位圆平面的单位圆设设 jez )2tan(2)2cos

30、()2sin(2112 jTjTeeTjsjj )2tan(2,0 T jezr ,1非线性关系非线性关系一对一转换一对一转换)2tan(2 T （2)2) S 平面的左半平面平面的左半平面 Z平面的单位圆内平面的单位圆内S 平面的右半平面平面的右半平面 Z平面的单位圆外平面的单位圆外 jTjTsTsTz)2()2(22 2222)2()2(| TTz 1|,01|,0zz则则则则 4. 4. 评价评价（3) 3) 频率变换非线性频率变换非线性（1) 1) 稳定，稳定， )(sHa)(zH稳定稳定（2)2)无混叠失真无混叠失真)2tan(2T解决方法：解决方法：“预畸预畸”AF DF 幅频特性

31、产幅频特性产生畸变生畸变 。 和和 的非线的非线性关系称为频率的畸性关系称为频率的畸变。变。上述上述 和和 的非线性关系又称为频率的非线性关系又称为频率的预变形（的预变形（Freq. Warping) 。例如。例如 ： DF:100Hz,300Hz,1000Hz0.2 ,0.6 ,2AF:tan(/2)685.82109(Hz)2tan(/2)2452.762438(Hz)psspsppssssffFTT 设计的设计的 AF 并不是按给定的技术指标，但再并不是按给定的技术指标，但再由由 变回变回 后，保证了后，保证了 DF的技术要求。的技术要求。sz),2/tan(2),2/tan(2sssp

32、spTT ,psps 给给定定 D D F F 技技术术指指标标Step1.Step2. 将将DF指标转换成指标转换成AF指标指标：Step3.).()2(sH设设计计模模拟拟滤滤波波器器Step4.11112)|()(zzTssHzHbilinear bilinear 双线性变换双线性变换实现模拟滤波器到数字滤波器的变换。实现模拟滤波器到数字滤波器的变换。Bz, Az=impinvar(B, A, Fs) Bz, Az=bilinear(B, A, Fs)式中式中B, A分别是模拟滤波器传递函数分别是模拟滤波器传递函数G（s）的分子、分母多项式的系数向量，的分子、分母多项式的系数向量， Bz

33、, Az分别是数字滤波器系统函数分别是数字滤波器系统函数H(z)的分子、的分子、分母多项式的系数向量，分母多项式的系数向量，Fs是抽样频率。是抽样频率。 Impinvar Impinvar 冲激冲激响应不变法应不变法 【例【例7.5.1】设计】设计 IIR LP DF DF :100Hz,300Hz,1000HAF :2109(Hz),2438(Hz)psspsffF 3dB,20dB,ps%MATLAB PROGRAM example751_p228 给出给出数字高通数字高通的技术要求的技术要求)(zHdhpspsp , 得到得到模拟高通模拟高通的技术要求的技术要求)(sHahpspsp ,

34、 得到得到模拟低通模拟低通的技术要求的技术要求)(pGspsp ,)2tan(2 T 1stepp 1 2step设计出设计出)(pG3stepspp 4step 得到得到模拟高通转移模拟高通转移函数函数)(sHahp5step最后得到最后得到数字高通转移数字高通转移函数函数)(zHdhp数字高通滤波器设计步骤数字高通滤波器设计步骤11112 zzTs例例6.5.16.5.1： 设计一设计一Butterworth DF HP Butterworth DF HP p183 p183Step2. 将将DF HP 指标转换成指标转换成AF HP 指标：指标：Step3.dBapp3,8 . 0 dBass15,44. 0 Step1.DF HP 指标指标sradpp/155.6)2tan(2 sradss/655. 1)2tan(2 1 T设设将将AF HP 指标转换成指标转换成AF LP 指标：指标：163. 0155. 61 p604. 0655. 11 s2N 121)(2 pppG求出：求出：Step4.设计归一化设计归一化AF LPStep5.Step6.将将AF LP 转换成转换成AF HP (含反归一化含反归一化)222( )( )|2capsccsHsG pss 将将AF HP 转换成转换成DF HP11112| )()( zzsasHzH 阶次计算函数阶次计算