相似及相似对角化

1、1、定义定义1,.设设是是 阶阶方方阵阵, ,若若有有 阶阶可可逆逆方方阵阵 ，使使 则则称称 与与 相相记记作作似似，nnA BPPAPBAABB1,APAPA对对 进进行行运运算算称称相相为为对对 进进行行似似变变换换；PAB可可逆逆矩矩阵阵 称称为为把把 变变为为 的的相相似似变变换换矩矩阵阵. .2、 性质(1)AA反反身身性性：；(2)ABBA对对称称性性：；(3)ABBCAC传传递递性性：且且；等等价价关关系系(4)detdet ,相相似似矩矩阵阵的的可可逆逆性性：与与 同同时时可可逆逆或或同同时时不不可可逆逆；BABAAB11detdetdetdetdetABBPAPBPAPA证

2、11(5)逆逆矩矩阵阵相相似似性性: :且且 可可逆逆；ABAAB证111111()BPAPBPAPPA P证(6)() ,()mmkkkmABABRABN同同幂幂矩矩阵阵、数数乘乘矩矩阵阵相相似似性性：11111()mmmmBPPPAPPAAAPPA PPP 个个 (7),f Af BfAB矩矩阵阵多多项项式式相相似似性性：是是多多项项式式；证1110( )ssssf xa xaxa xa设设111011111110111101( )()( )ssssssssssssfaaaaaaaaaaaafBBBBEPA PPAPPAPPEPPAAAE PPA P,pA设设是是 的的特特征征值值和和特特

3、征征向向量量，则则推论(1),kkpA是是的的特特征征值值和和特特征征向向量量；,sspA( (2 2) )是是的的特特征征值值和和特特征征向向量量；1,ApA- -1 1( (3 3) ) 当当 可可逆逆时时，是是的的特特征征值值和和特特征征向向量量. .4、矩阵多项式1、相似对角化条件问题：方阵A 与对角阵相似的条件？对角化条件：定义：1212diag(,)可可 若若 阶阶方方阵阵，则则对对角角。化化称称nnnAA n 阶方阵 A 与对角阵相似 A 有 n 个线性无关的特征向量.推论1 n阶方阵A的n 个特征值互不相同A 与对角阵相似。说明12(,),ndiag A A ( (1 1) )

4、若若则则 与与 的的特特征征值值相相同同， 相似变换矩阵不唯一；,iA A ( (3 3) ) 若若不不计计 的的排排列列顺顺序序, ,则则 唯唯一一，称称为为的的相相似似标标准准形形. .12,n A的的主主对对角角线线元元素素为为 的的全全部部特特征征值值. .121212(,),nnn Pp ppp pp设设相相似似变变换换矩矩阵阵为为，则则列列向向量量是是对对应应的的特特依依次次征征向向量量. .1、相似对角化条件推论2121212,.1,2,)mmmiiiAmr rrrrrnrrim AA 设设是是的的个个互互不不相相同同的的特特征征值值，重重数数依依次次为为且且则则与与对对角角阵阵

5、相相似似的的 重重特特征征值值 恰恰有有 个个线线性性无无关关的的特特征征向向量量( (12111211112122222212mrrmmmrmmmnnnrrrrrrppppppppp 互互异异和和为为共共 个个合合之之仍仍线线性性无无关关共共 个个重重个个线线性性无无关关重重个个线线性性无无关关即即重重个个线线性性无无关关1、相似对角化条件称为代数维数； 的维数称为的几何重数。 1122mmA对对角角阵阵1r个个2r个个mr 个个注1、相似对角化条件推论3 如果 n 阶方阵 A 可对角化，则 rank(A)=A的非零特征值的个数。证明若 A 可以对角化，设与其相似的对角阵为 即存在可逆矩阵P

6、，使得 。 APP1 因此 A 与 等价，则有r(A)=r( ). 所以 对角线上的非零元个数为r(A). 又因为 A 与 相似，所以 A 的特征值与 的特征值相同，所以r(A)= A 的非零特征值的个数。 证毕1、相似对角化条件 把一个矩阵对角化,不仅可以使矩阵运算简化,而且在理论和应用上都有意义.主要有以下几种应用:1） 由特征值特征向量反求矩阵2、相似对角化的应用2） 求方阵的幂3） 求行列式说明说明：1. 1. 一般方阵常常不能对角化一般方阵常常不能对角化 2. 2. 对角化条件一般难于判断。对角化条件一般难于判断。本小节主要结论本小节主要结论：实对称矩阵实对称矩阵 (1) (1) 特

7、征值必为实数特征值必为实数 (2) (2) 必相似于对角矩阵必相似于对角矩阵 (3) (3) 且可正交相似于对角矩阵且可正交相似于对角矩阵( (相似变换可相似变换可为正交变换为正交变换) )2、实对称矩阵的特征值和特征向量实对称矩阵的特征值和特征向量定理：定理：实对称矩阵的特征值为实数，对应的特征实对称矩阵的特征值为实数，对应的特征向量是实向量向量是实向量. 复复数数是是实实数数0 0zabibabiabiabiabizz分析分析定理：定理：12,.1 12 21 12 2 设设实实对对称称阵阵 的的两两个个特特征征值值互互异异，是是对对应应特特征征向向量量，则则实实对对称称阵阵的的不不同同特

8、特征征值值所所对对应应的的特特征征向向量量：互互相相正正交交. .即即 Apppp证毕证毕2、实对称矩阵的特征值和特征向量实对称矩阵的特征值和特征向量3、实对称矩阵正交相似于对角矩阵、实对称矩阵正交相似于对角矩阵定理：定理：12112,(,). 设设 是是 阶阶实实对对称称阵阵正正交交相相似似于于, ,是是 的的特特征征值值则则有有正正交交矩矩阵阵使使此此时时称称nnndiag AAQQAQQ AQA推论推论121212,., 设设是是 阶阶实实对对称称矩矩阵阵 的的个个不不同同的的特特征征值值，重重数数依依次次为为且且则则重重特特征征值值必必有有个个线线性性无无关关的的特特征征向向量量. .

9、mmmiiinmr rrrrrnrr A3、实对称矩阵正交相似于对角矩阵、实对称矩阵正交相似于对角矩阵n 阶实对称阵阶实对称阵 A 正交相似于对角阵的问题与正交相似于对角阵的问题与 求解步骤求解步骤1.求求正正交交阵阵，使使问问题题：QQAQ（1）求）求 A 的全部特征值的全部特征值(含重数含重数)，即，即 步骤步骤121212det()0,;,解解一一元元次次方方程程根根：重重数数：且且mmmnrrrrrrn AE3、实对称矩阵正交相似于对角矩阵、实对称矩阵正交相似于对角矩阵12,d(2),1,2,.im,对对每每个个求求对对应应的的个个线线性性无无关关的的特特征征向向量量：求求齐齐次次线线性性即即，注注意意：必必有有对对应应方方程程组组的的基基础础解解解解间间系系空空iiiiiiiiriiiiranknrrimrpppAE xSES0A1212(3),iiiiiriiriipppqqq，得得, ,仍仍将将，正正交交化化，为为之之特特单单位位化化征征向向量量；121112121