线性代数子空间

1、(1) 0;H(2),;HH (3),.H kRkHHnR则称则称 为为 的的子空间子空间.H如果如果 满足性质：满足性质：H定义定义4.4.1 是是 的非空子集，的非空子集，nRnR 简单地讲，子空间是对加法和数乘运算封闭的简单地讲，子空间是对加法和数乘运算封闭的 的非空子集的非空子集.nR 加上定义在其上的向量的加法和数乘运算是加上定义在其上的向量的加法和数乘运算是n维向量空间维向量空间.必要条件必要条件4.4 子空间子空间例例4.4.1 若若 则则 是是 的的子空间子空间.12,nR 12,Hspan nR1122()().kksksH,H kR对任意对任意 有有11221122,sst

2、t111222()(),ststH证明：零向量显然在证明：零向量显然在H中中. 任取任取H中两个向量中两个向量有有nR由定义，由定义，H是是 的子空间。的子空间。定理定理4.4.1 若若12,npR 12,.,pHspan nR是是 的子空间的子空间.一般地，我们有一般地，我们有命题：等价向量组生成相同的子空间命题：等价向量组生成相同的子空间.例例4.4.2 过原点的直线是一维子空间，不过原点过原点的直线是一维子空间，不过原点的直线不是子空间的直线不是子空间.例例4.4.3 在（欧式）空间中，设在（欧式）空间中，设1, ,0,TWx yx yR2,0,TWxzx zR30, ,TWy zy z

3、R均是均是123,W W W3R的子空间的子空间.XY平面平面XZ平面平面YZ平面平面一般地，过原点的平面是子空间的一个直观描述一般地，过原点的平面是子空间的一个直观描述. , 0 .nR两个特殊的子空间：两个特殊的子空间：例：判别下列集合是否为向量空间例：判别下列集合是否为向量空间. 122222(1)0,(2)1,TnnTnnVxxxxxRVxxxxxR解：解： 221(1)0,0,TTnnaabbV 2210,TnnababV有有 21,0,.TnRaaV 有有所以，所以， 是向量空间。是向量空间。1V(2) 不是向量空间。不是向量空间。2V .2 ,2 , 2222VaaTn 则则 ,

4、 122VaaTn 因为若因为若下面引入两个与矩阵下面引入两个与矩阵A有关的重要的子空间有关的重要的子空间. .定义定义4.4.2 设设A是是mn矩阵，矩阵，A的列空间的列空间ColA是是A的列向量的所有可能的线性组合构成的的列向量的所有可能的线性组合构成的集合集合.12,.mnColAspanR |,nColAbxRbAx存在，使得mR易知易知因此，因此，ColA也称为也称为A的值域空间的值域空间Range(A).定理定理4.4.2 mn矩阵矩阵A的列空间的列空间ColA是是 的的子空间子空间.12,nA 记 则134462 ,376A 33,4b例例4.4.4134 34 62 33 76

5、4A b Axb因此，方程组因此，方程组 相容，相容，b在在ColA中中.判断判断b是否在是否在ColA中中.Axb解：解：b在在ColA中当且仅当方程组中当且仅当方程组 有解有解.13430618 15026513430618 150 000|0 .nNulAxRAx定义定义4.4.3 设设A是是mn矩阵，矩阵，A的零空间的零空间NulA是齐次线性方程组是齐次线性方程组Ax=0的所有解向量构成的所有解向量构成的集合的集合. 即即定理定理4.4.3 矩阵矩阵A的零空间的零空间NulA是是 的子空间的子空间. 等价地，等价地，m个方程个方程n个未知量的齐次线性方程个未知量的齐次线性方程组组Ax=

6、0的解集是的解集是 的子空间，称为的子空间，称为Ax=0的的解空间解空间.证明：显然，证明：显然，0在在NulA中中.nRnR000AAA.NulA()00A kk Ac .kNulA所以所以NulA是是 的子空间的子空间.nR任意实数任意实数k，, , 任取任取NulA中两个向量中两个向量例例4.4.5 求求NulA的一个生成集的一个生成集.解：首先，利用初等变换可化解：首先，利用初等变换可化A为行最简形为行最简形3 61 1712 231 ,24 584A12 01 30 01 220 00 00A124534523022000 xxxxxxx取取 为自由变量，则解为：为自由变量，则解为：245,x x x124534523 ,22 .xxxxxxx然后，将一般解分解为以自由变量为权的向量然后，将一般解分解为以自由变量为权的向量的线性组合（解的参数