线性代数向量组的极大线性无关组和秩

1、4.3 向量组的极大无关线性组和向量组的极大无关线性组和秩秩（2）如何找出这一组线性无关向量组？）如何找出这一组线性无关向量组？（3）其余向量与这一组向量有何关系？）其余向量与这一组向量有何关系？问题问题（1）一个向量组（含有限多个向量，或无限多）一个向量组（含有限多个向量，或无限多 个向量）线性无关的向量最多有几个？个向量）线性无关的向量最多有几个？定义定义4.3.1 如果向量组如果向量组 中的每个向量中的每个向量12:,pA (1,2, )iip 都可以由向量组都可以由向量组12:,tB 线性表出，则称线性表出，则称向量组向量组A可由向量组可由向量组B线性表出线性表出.若向量组若向量组A和

2、向量组和向量组B可相互线性表出，称可相互线性表出，称向量向量组组A与向量组与向量组B等价。等价。 1122,1,2,1iiiittkkkip 1122,1,2,2iiiipplllit即即1.1.向量组的线性表出向量组的线性表出定理定理4.3.1且且,pt则向量组则向量组 必线性相关必线性相关.12,p 12,p 若向量组若向量组12,t 线性表出线性表出;可由可由证明：给出证明：给出 时的证明时的证明.2,3pt1122330.kkk123, 123,k k k为说明为说明 线性相关，需找到三个不全线性相关，需找到三个不全为零的数为零的数 使使代入上式，整理得代入上式，整理得11 11221

3、3321 122223300a ka ka ka ka ka k1 11212313112122232320.k ak ak ak ak ak a齐次线性方程组齐次线性方程组123, 所含方程个数小于未知量的个数，必有非零所含方程个数小于未知量的个数，必有非零解解. 因此因此 线性相关线性相关.由已知，由已知， 可由生成集可由生成集 线性表出：线性表出：123, 12, 111121221212223131232.aaaaaa定理定理4.3.3 两个等价的线性无关向量组，必包含相同两个等价的线性无关向量组，必包含相同个数的向量个数的向量.定理定理4.3.2 若线性无关向量组若线性无关向量组 可

4、由向量组可由向量组线性表出，则线性表出，则12,t 12,p .pt（逆否命题）（逆否命题）2.2.极大线性无关组极大线性无关组注：注：（1）只含零向量的向量组没有极大无关组）只含零向量的向量组没有极大无关组.（2）任意）任意r1个向量（如果有）都线性相关个向量（如果有）都线性相关.（1）（）（II）线性无关，）线性无关，则称（则称（IIII）是（）是（I I）的一个）的一个极大线性无关组极大线性无关组. .（2）一个线性无关向量组的极大无关组为其本身）一个线性无关向量组的极大无关组为其本身.（2）（）（I）中的任意向量可由（）中的任意向量可由（II）线性表出，）线性表出，在条件（在条件（1）

5、下，（）下，（2）等价于）等价于定义定义4.3.2设设12,() riiiII的一个部分组的一个部分组. 如果如果12,( ) pI是是例：在向量组例：在向量组123242121,354141 12, 首先首先线性无关，线性无关， 又又123, 线性相关，线性相关，所以所以12, 组成的部分组是极大无关组。组成的部分组是极大无关组。还可以验证还可以验证23, 也是一个极大无关组。也是一个极大无关组。注：注：一个向量组的一个向量组的极大无关组极大无关组一般一般不是唯一的。不是唯一的。中，中，极大无关组的一个基本性质：极大无关组的一个基本性质：任意一个极大线性无关组都与向量组本身等价。任意一个极大

6、线性无关组都与向量组本身等价。向量组的极大无关组不唯一，而每一个极大无关组向量组的极大无关组不唯一，而每一个极大无关组都与向量组等价，所以：都与向量组等价，所以：向量组的任意两个极大无关组都是等价的。向量组的任意两个极大无关组都是等价的。由于等价的线性无关的向量组必包含相同个数的由于等价的线性无关的向量组必包含相同个数的向量，可得向量，可得一个向量组的任意两个极大无关组一个向量组的任意两个极大无关组等价，且所含向量的个数相同。等价，且所含向量的个数相同。定理定理4.3.53.3.向量组的秩向量组的秩定义定义4.3.3 向量组的极大无关组所含向量的个数，向量组的极大无关组所含向量的个数，称为称为

7、向量组的秩，向量组的秩，记作记作例：向量组例：向量组123242121,354141 秩为秩为2.12(,).pr 关于向量组的秩的一些结论：关于向量组的秩的一些结论：（1）零向量组的秩为）零向量组的秩为0.（2）向量组）向量组12,p 线性无关线性无关12(,)prp 线性表出，则线性表出，则1212(,)(,)strr 向量组向量组12,p 线性相关线性相关12(,)prp （3）若向量组）若向量组可由向量组可由向量组12,t 12,p （4）等价的向量组必有相同的秩。）等价的向量组必有相同的秩。思考：两个向量组有相同的秩，并且其中一个思考：两个向量组有相同的秩，并且其中一个可以被另一个线

8、性表出，则这两个向量组等价可以被另一个线性表出，则这两个向量组等价.两个有相同的秩的向量组等价吗？两个有相同的秩的向量组等价吗？不一定不一定例：例：123451101212136,0112401131求向量组的秩和求向量组的秩和一个极大无关组一个极大无关组. 并用该极大并用该极大无关组线性表出向量组中的其余向量无关组线性表出向量组中的其余向量.4.4.向量组的秩、极大无关组的求法向量组的秩、极大无关组的求法解：解：A11012121360112401131 11012011240112400055 11012011240000000011 B11012011240001100000 12345(,)3. rB的的1，2，4列是列是B的一个列极大无关组，的一个列极大无关组，所以，所以， 124,是是12345, 的一个极大无关组的一个极大无关组.B有三个非零行，有三个非零行，思考：是否还有其他的极大无关组？思考：是否还有其他的极大无关组？进一步化进一步化A为行最简形为行最简形123451 01010 11 02,0 00110 0000 ABC 124,是是C的一个列极大无关组的一个列极大无关组3125124,2.且且相应地有相应地有3125124,2. 步骤：步骤：（1）向量组）向量组12,p 作列向量构成矩阵作列向量构成矩阵A.（2）AB 初等行变换初等行变换（阶梯形或行最简