概率论与数理统计3讲-ppt课件

1、概率论与数理统计概率论与数理统计第第3讲讲本文件可从网址math.vip.sina上下载(单击ppt讲义后选择概率论讲义子目录)概率每一个事件都有它的发生概率即给定事件A, 存在着一个正数P 与之对应, 称之为事件A的概率, 记作P(A)或PA.最高的发生概率为1, 表示必然发生.最低的概率为0, 表示不能够发生.而普通的随机事件的概率介于0与1之间.这里只是概率的数学上的规定, 其实就是任何一个事件到实数轴上的0,1区间的映射.但怎样获得切合实践的一个事件的概率呢?概率的统计定义在n次反复实验中, 假设事件A发生了m次, 那么m/n称为事件A发生的频率. 同样假设事件B发生了k次, 那么事件

2、B发生的频率为k/n. 概率的统计定义假设A是必然事件, 有m=n, 即必然事件的频率是1, 当然不能够事件的频率为0. 概率的统计定义假设A与B互不相容, 那么事件A+B的频率为(m+k)/n, 它恰好等于两个事件的频率的和m/n+k/n, 这称之为频率的可加性.定义在不变的条件下, 反复进展n次实验, 事件A发生的频率稳定地某一常数p附近摆动, 且普通说来, n越大, 摆动幅度越小, 那么称常数p为事件A的概率, 记作P(A).但这不是概率的数学上的定义, 而只是描画了一个大数定律.历史上的掷硬币实验试验者抛掷次数n正面出现次数m正面出现频率m/n德.摩尔根204810610.518蒲丰4

3、04020480.5069皮尔逊1200060190.5016皮尔逊24000120190.5005维尼30000149940.4998概率的稳定性是概率的阅历根底但并不是说概率决议于阅历. 一个事件发生的概率完全决议于事件本身的构造, 指实验条件, 是先于实验而客观存在的.概率的统计定义仅仅指出了事件的概率是客观存在的, 但并不能用这个定义计算P(A). 实践上, 人们是采取一次大量实验的频率或一系列频率的平均值作为P(A)的近似值的.例如,对一个妇产医院6年出生婴儿的调查中, 可以看到生男孩的频率是稳定的, 约为0.515新生儿性别统计表出生年份新生儿总数n新生儿分类数频率(%)男孩数m1

4、女孩数m2男孩女孩197736701883178751.3148.69197842502177207351.2248.78197940552138191752.7347.27198058442955288950.5649.44198163443271307351.5648.44198272313722350951.4748.536年总计31394161461524851.4848.52概率的古典定义(概率的古典概型)有一类实验的特点是:1,每次实验只需有限种能够的实验结果2,每次实验中,各根身手件出现的能够性完全一样.在古典概型的实验中, 假设总共有n个能够的实验结果, 因此每个根身手件发生的

5、概率为1/n, 假设事件A包含有m个根身手件, 那么事件A发生的概率那么为m/n.定义假设实验结果一共由n个根身手件E1,E2,En组成, 并且这些事件的出现具有一样的能够性, 而事件A由其中某m个根身手件E1,E2,Em组成, 那么事件A的概率可以用下式计算:nmAAP试验的基本事件总数的基本事件数有利于)(简单的例掷一枚硬币的实验, 根身手件为正面和反面, 而且由于硬币的对称性, 因此出现正面和反面的概率一样, 都是1/2.掷一次骰子的实验, 根身手件有6个, 因此每个根身手件的概率为1/6, 那么P奇数点=3/6=1/2, P小于3=P1,2=2/6=1/3例 袋内装有5个白球, 3个黑

6、球, 从中任两个球, 计算取出的两个球都是白球的概率.25 325:,nCAAmC解 组成试验的基本事件总数假设事件取到两个白球 则 的基本事件数则25285 4 1 2( )1 2 8 750.35714CmP AnC例2 一批产品共200个, 废品有6个, 求(1)这批产品的废品率; (2)任取3个恰有一个是废品的概率;(3)任取3个全非废品的概率解 设P(A), P(A1), P(A0)分别表示(1),(2),(3)中所求的概率,那么9122. 0198199200321321192193194)() 3(0855. 0198199200321211931946)()2(03. 0200

7、6)() 1 (32003194032002194161CCAPCCCAPAP例3 两封信随机地向标号为1,2,3,4的4个邮筒投寄,求第二个邮筒恰好被投入1封信的概率及前两个邮筒中各有一封信的概率.解 设事件A=第二个邮筒恰有一封信事件B=前两个邮筒中各有一封信两封信投入4个邮筒共有44种投法, 而组成事件A的投法有23种, 组成事件B的投法那么只需2种, 因此81162)(,83166)(BPAP例3 两封信随机地向标号为1,2,3,4的4个邮筒投寄,求第二个邮筒恰好被投入1封信的概率及前两个邮筒中各有一封信的概率.解 设事件A=第二个邮筒恰有一封信事件B=前两个邮筒中各有一封信两封信投入

8、4个邮筒共有44种投法, 而组成事件A的投法有23种, 组成事件B的投法那么只需2种, 因此81162)(,83166)(BPAP比较难的例子：一个小型电影院出卖电影票, 每张5元. 总共有10个观众随机地排成一队买票, 其中有5人手持一张5元的钞票, 另5人手持 10元一张的钞票. 售票开场时, 售票员手里没有零钞, 求售票可以进展的概率(即不由于短少零钱找不开而需求等的概率).售票能进展的例:售票不能进展的例:持五元持十元根身手件总数n的计算:思索将5个手持五元的人随机地放入10个排队位置中的5个, 那么剩下的5个位置当然是手持十元的人的位置. 即10个位置中拿出5个来放手持五元的人的总数

9、n.! 5 ! 5!10510 Cn! 5 ! 5!10510 Cn将问题改动一下, 假设售票员手里还是有足够的零钞找换的, 因此售票能进展的事件就等于售票员一直没有运用本人手中的零钞的事件, 而售票不能进展的事件就是售票员要动用本人手中的零钞的事件.假设在售票开场时, 售票员手中的五元零钞数目为0, 在售票过程中, 遇到手持五元钞的观众那么零钞数目增1, 否那么零钞数目减1, 假设必需动用售票员手中原有的零钞时, 零钞数目能够变为负值. 将售票过程中的零钞数目的变化绘成折线图.售票能进展的例子:01234-1-2-3-4售票不能进展的例子:01234-1-2-3-4将曲线从第一个不能进展的点

10、处开场对折01234-1-2-3-4对于售票不能进展的例子, 在遇到第一个手持10元却必需给他找本人的零钞的人时, 将后面的人的手中钞票都换一下, 5元的换10元, 10元的换5元, 这样总的效果就是有6人持10元钞, 4人持5元钞, 在售完票时零钞总损失必然是2个5元钞.反过来, 假设一开场就是有6人持10元4人持5元, 那么售票必然不能进展, 因此必然存在第一个无法找零钞的人, 假设这时将其后面的人10元换5元, 5元换10元, 那么对应于一个5人持10元5人持5元且售票不能进展的事件.因此, 6人持10元4人持5元的排队事件总数, 和5人持10元5人持 5元售票不能进展的事件总数该当是一

11、样的. 我们只需计算前者的事件总数, 而这等于先将10个排队位置中拿出4个放持5元的人的总数.! 6 ! 4!10410CnB因此, 假设事件A为售票能进展, 事件B为售票不能进展, 有利于A的根身手件数为nA, 有利于B的根身手件数为nB, 那么61651! 6 ! 4!10!10! 5 ! 5111)(510410CCnnnnnAPBB这还可以扩展到更普通的情况, 即假设共有2k个人排队买票, 其中k个人持五元钞, k个人持十元钞, 每张票五元, 售票开场时售票员没有零钞, 求售票可以进展的概率.假设所求事件的概率为P(A), 售票不能进展的概率为P(B), 那么B的事件总数为2k个排队位

12、置中取出k-1个位置的事件数.1111)!2(!)!1()!1()!2(111)(212kkkkkkkkkCCnnnnnnnAPkkkkBBA几何概型设样本空间S是平面上的某个区域, 它的面积记为m(S);SA向区域S上随机投掷一点, 该点落入任何部分区域A的能够性只与区域A的面积m(A)成比例.SA那么必然有( )( )( )AP AS(3.2)如样本空间S为一线段或一空间立体, 那么向S投点的相应概率仍可用上式确定, 但m()应了解为长度或体积.例 某人一觉悟来, 觉察表停了, 他翻开收音机, 想听电台报时, 设电台每正点报时一次, 求他(她)等待时间短于10分钟的概率.解 以分钟为单位,

13、 记上一次报时时辰为0, 那么下一次报时时辰为60, 于是这个人翻开收音机的时间必在(0,60), 记等待时间短于10分钟为事件A, 那么有S=(0,60), A=(50,60)S,于是101( )606P A 例 甲,乙两人相约在0到T这段时间内, 在预定地点会面. 先到的人等候另一个人, 经过时间t(tT)后离去. 设每人在0到T这段时间内各时辰到达该地是等能够的, 且两人到达的时辰互不牵连. 求甲,乙两人能会面的概率.解 以x,y分别表示甲乙两人到达的时辰, 那末0 xT, 0yT.假设以x,y表示平面上点的坐标, 那么一切根身手件可以用一正方形内一切点表示, 两人能会面的条件是 |x-

14、y|tyOtTxx-y=ty-x=ttTAyOtTxx-y=ty-x=ttTA所以所求概率为OtTxx-y=ty-x=ttTA222211)(TtTtTTp正方形面积阴影部分面积222211)(TtTtTTp正方形面积阴影部分面积引见蒙特卡洛实验技术我们知道象掷硬币这样的实验作一次是很费时间的. 但是计算机出现以后, 通常都有一个随机函数, 此随机函数每次调用的前往值都不一样, 会产生一个随机的数字, 因此我们就可以利用这样一个随机的数字进展反复的实验来求出我们所希望的事件的概率. 特别是有一些事件的概率求起来非常困难, 但用计算机进展仿真实验, 就可以经过统计的方法求出概率的近似值, 这叫做

15、蒙特卡洛实验.在word上编程实验掷硬币Word字处置器带有一个virsal basic编译器, word的宏都是用它来编写的. 在进入word之后, 选择工具|宏|宏菜单, 在宏名上键入他想要的宏的名字, 这里我们键入test, 然后单击创建按钮, 这就进入virsal basic编译器.Basic言语中有一个函数叫rnd(), 每调用一次它就会前往一个在区间0,1)内的随机数, 因此可以在调用此函数后断定前往值能否小于0.5, 假设小于就是反面, 否那么就是正面, 这样可以保证正面和反面的时机都是0.5.因此键入这样的语句If rnd()0.5 thenselection.typetext text:=反面Else selection.typetext text:=正面End if那么每调用一次这个宏就相当于用计算机模拟作了一次掷硬币实验假设要连做10次实验, 那么语句改成这样For i=1 to 10If rnd()0.5 thenselection.typetext text:=反面Else selection.ty