4-7《黄金分割法》(第1课时)

1、选修选修4-74-7第一讲第一讲 优选法优选法 第第1 1课时课时 黄金分割法黄金分割法0.6180.618法法一、什么叫优选法（1）最佳点：）最佳点： 如果影响试验的某个因素如果影响试验的某个因素(记为记为x）处于某种状态（记为处于某种状态（记为x=x0)时，试时，试验结果最好，那么这种验结果最好，那么这种状态（记状态（记为为x=x0)就是这个因素的就是这个因素的最佳点。最佳点。一、什么叫优选法（2）优选问题：）优选问题： 对试验中相关因素的最佳点的选对试验中相关因素的最佳点的选择问题，称为优选问题。择问题，称为优选问题。一、什么叫优选法（3）优选法优选法： 利用数学原理，合理安排试验，利用

2、数学原理，合理安排试验，以最少的试验次数迅速找到最佳以最少的试验次数迅速找到最佳点，从而解决优选问题的科学试点，从而解决优选问题的科学试验方法。验方法。二、单峰函数二、单峰函数（1）单峰函数的定义中有两个要点单峰函数的定义中有两个要点： f(x)在在a,b上只有唯一上只有唯一 的最大的最大（小）值（小）值C。 f(x)在在a,C上递增（减），在上递增（减），在C,b上递减（增）。上递减（增）。二、单峰函数二、单峰函数（2）单峰函数的定义单峰函数的定义： 如果如果f(x)在在a,b上只有唯一上只有唯一 的最大的最大（小）值点（小）值点C，而，而f(x)在在a,C上递增上递增（减），在（减），在C

3、,b上递减（增）。则上递减（增）。则称称f(x)为区间为区间a,b上的单峰函数。上的单峰函数。规定：区间规定：区间a,b上的单调函数也是上的单调函数也是 单峰函数。单峰函数。1. 黄金分割常数黄金分割常数三、黄金分割法三、黄金分割法-0.618法法1. 黄金分割常数黄金分割常数*探究探究* 对于一般的单峰函数，如何安排对于一般的单峰函数，如何安排试点才能迅速找到最佳点？试点才能迅速找到最佳点？ 对于单峰函数，在同侧，离最佳点越对于单峰函数，在同侧，离最佳点越近的点越是好点，且最佳点与好点必在差近的点越是好点，且最佳点与好点必在差点的同侧由此，可按如下想法安排试点点的同侧由此，可按如下想法安排试

4、点:先在因素范围先在因素范围a, b内任选两点各做一次试内任选两点各做一次试验，根据试验结果确定差点与好点，在差验，根据试验结果确定差点与好点，在差点处把点处把a, b分成两段，截掉不含好点的一分成两段，截掉不含好点的一1. 黄金分割常数黄金分割常数*探究探究* 对于一般的单峰函数，如何安排对于一般的单峰函数，如何安排试点才能迅速找到最佳点？试点才能迅速找到最佳点？段，留下存优范围段，留下存优范围a1, b1，显然有，显然有a1, b1 a, b；再在；再在a1, b1内任选两点各做一次内任选两点各做一次试验，并与上次的好点比较，确定新的好试验，并与上次的好点比较，确定新的好点和新的差点，并在

5、新的差点处把点和新的差点，并在新的差点处把a1, b1分成两段，截掉不包含新好点的那段，留分成两段，截掉不包含新好点的那段，留下新的存优范围下新的存优范围a2, b2，同样有，同样有a2, b2 a1, b1 重复上述步骤，可使存优范围重复上述步骤，可使存优范围逐步缩小逐步缩小. 在这种方法中，试点的选取是任意的在这种方法中，试点的选取是任意的,只要试只要试点在前一次留下的范围内就行了点在前一次留下的范围内就行了.这种任意性会给这种任意性会给寻找最佳点的效率带来影响寻找最佳点的效率带来影响.例如，假设因素区间例如，假设因素区间为为0, 1，取两个试点，取两个试点0.2、0.1，那么对峰值在，那

6、么对峰值在(0, 0.1)中的单峰函数，两次试验便去掉了长度为中的单峰函数，两次试验便去掉了长度为0.8的区间的区间(图图1)；但对于峰值在；但对于峰值在(0.2, 1)的函数，只的函数，只能去掉长度为能去掉长度为0.1的区间的区间(图图2)，试验效率就不理想，试验效率就不理想了了.*思考思考* 怎样选取各个试点，可以最快地怎样选取各个试点，可以最快地达到或接近最佳点达到或接近最佳点?*思考思考* 怎样选取各个试点，可以最快地怎样选取各个试点，可以最快地达到或接近最佳点达到或接近最佳点? 我们希望能我们希望能“最快最快”找到或接近最找到或接近最佳点的方法不只针对某个具体的单峰函佳点的方法不只针

7、对某个具体的单峰函数，而是对这类函数有普遍意义数，而是对这类函数有普遍意义.由于在由于在试验之前无法预先知道哪一次试验效果试验之前无法预先知道哪一次试验效果好，哪一次差，即这两个试点有同样的好，哪一次差，即这两个试点有同样的可能性作为因素范围可能性作为因素范围a, b的分界点，所的分界点，所以为了克服盲目性和侥幸心理，在安排以为了克服盲目性和侥幸心理，在安排试点时，最好试点时，最好使两个试点关于使两个试点关于a, b的中的中心心(a+b)/2对称对称.同时，为了尽快找到最佳同时，为了尽快找到最佳点，每次截去的区间不能太短，但是也点，每次截去的区间不能太短，但是也不能很长不能很长.因为为了一次截

8、得足够长，就因为为了一次截得足够长，就要使两个试点要使两个试点x1和和x2与与(a+b)/2足够近，这足够近，这样，第一次可以截去样，第一次可以截去a, b的将近一半的将近一半.但但是按照对称原则，做第三次试验后就会是按照对称原则，做第三次试验后就会发现，以后每次只能截去很小的一段，发现，以后每次只能截去很小的一段，结果反而不利于很快接近最佳点结果反而不利于很快接近最佳点. 为了使每次去掉的区间有一定的规为了使每次去掉的区间有一定的规律性，我们这样来考虑：律性，我们这样来考虑：每次舍去的区每次舍去的区间占舍去前的区间的比例数相同间占舍去前的区间的比例数相同. 下面进一步分析如何按上述两个原下面

9、进一步分析如何按上述两个原则确定合适的试点则确定合适的试点.,2,1,12211221xbaxbaxxxxxx 即即的的中中心心对对称称关关于于且且和和试试点点分分别别为为第第试试点点设设第第如如图图abx1x2).(,3,.,(,.,)(,12331112112如如图图的的中中心心对对称称于于关关与与设设试试点点为为次次试试验验安安排排第第内内再再在在存存优优范范围围于于是是舍舍去去是是差差点点是是好好点点不不妨妨设设等等于于舍舍去去的的区区间间长长度度都都由由对对称称性性是是差差点点是是好好点点还还或或点点不不论论点点显显然然xaxxxxabxxxxbxx ax1x2x3)1(,.,)(,

10、.,(,.1211212312232323axxxabxbxxxxbxxaxxxxxx 我我们们有有等等式式成成比比例例舍舍去去的的原原则则按按于于被被舍舍去去的的区区间间长长度度都都等等差差点点是是好好点点还还是是或或点点不不论论点点于于是是原原则则违违背背成成比比例例舍舍去去的的的的长长度度相相同同区区间间的的而而它它的的长长度度与与上上次次舍舍去去舍舍去去区区间间要要是是差差点点时时是是好好点点那那么么当当的的右右侧侧在在点点因因为为如如果果点点左左侧侧应应在在点点点点)2(.,11,)1(.,1211211axaxabaxaxxxabxb 即即得得形形变变对对式式例例数数右右边边是是第

11、第二二次次舍舍去去的的比比例例数数左左边边是是第第一一次次舍舍去去的的比比其其中中)4(1)3(,.)2(2121tabaxaxxbtabaxt 可可得得则则由由即即数数为为前前全全区区间间的的比比例例弃弃后后的的存存优优范范围围占占舍舍弃弃设设每每次次舍舍比比例例数数范范围围占占舍舍弃弃前前全全区区间间的的的的存存优优两两边边分分别别是是两两次次舍舍弃弃后后式式. 01,1),5()4()3()5(,)2(2121 tttttabaxabaxabax即即得得代代入入与与把把得得由由式式.618. 0,618. 0,215.,.,.251,251121法法割割法法叫叫做做也也把把黄黄金金分分相

12、相应应地地取取其其近近似似值值我我们们往往往往具具体体应应用用时时是是无无理理数数由由于于金金分分割割法法确确定定试试点点的的方方法法叫叫做做黄黄利利用用黄黄金金分分割割常常数数试试验验方方法法中中表表示示用用分分割割常常数数这这就就是是黄黄金金为为对对本本问问题题有有意意义义的的根根中中其其解解得得 ttt2. 黄金分割法黄金分割法0.618法法2. 黄金分割法黄金分割法0.618法法 例例1 炼钢时通过加入含有特定化炼钢时通过加入含有特定化学元素的材料，使炼出的钢满足一定学元素的材料，使炼出的钢满足一定的指标要求的指标要求.假设为了炼出某种特定用假设为了炼出某种特定用途的钢，每吨需要加入某

13、元素的量在途的钢，每吨需要加入某元素的量在1000g到到2000g之间，问如何通过试验之间，问如何通过试验的方法找到它的最优加入量？的方法找到它的最优加入量？ 例例2 若某原始的因素范围是若某原始的因素范围是100, 1100，现准备用黄金分割法进行试验找，现准备用黄金分割法进行试验找到最优加入量到最优加入量.分别以分别以an表示第表示第n次试验的次试验的加入量加入量(结果都取整数结果都取整数). (1) 求求a1，a2. (2) 若干次试验后的存优范围包含在若干次试验后的存优范围包含在区间区间700, 750内，请写出内，请写出an的前的前6项项. (3) 在条件在条件(2)成立的情况下，写

14、出第成立的情况下，写出第6次试验后的存优范围次试验后的存优范围. 解：解：(1) 由黄金分割法知：第一次的加入量由黄金分割法知：第一次的加入量为：为：a1=100+0.618(1100100)=718. 所以所以a2=100+1100718=482. (2) 因为因为700, 750包含存优范围所以最优包含存优范围所以最优点在区间点在区间700, 750上上. 由此知前两次试验结果中，好点是由此知前两次试验结果中，好点是718，所，所以此时存优范以此时存优范围围取取482, 1100， 所以所以a3=482+1100718=864， 同理可知第三次试验后同理可知第三次试验后，好点仍是好点仍是7

15、18，此，此时存优范围是时存优范围是482, 864 所以所以a4=482+864718=628. 同理可求得同理可求得a5=628+864718=774； a6=628+774718=684. (3) 由由(2)知第知第6次试验前的存优范围是次试验前的存优范围是628, 774， 又又718是一个好点，第是一个好点，第6次试验点是次试验点是684，比较，比较可知可知718是好点，去掉是好点，去掉684以下的范围，故所求存优以下的范围，故所求存优范围是范围是684, 774. 例例3 调酒师为了调制一种鸡尾酒调酒师为了调制一种鸡尾酒.每每100k烈性酒中需要加入柠檬汁的量烈性酒中需要加入柠檬汁

16、的量1000g到到2000g之间，现准备用黄金分割法找到之间，现准备用黄金分割法找到它的最优加入量它的最优加入量. (1) 写出这个试验的操作写出这个试验的操作流流程程. (2) 如果加入柠檬汁误差不超出如果加入柠檬汁误差不超出1g，问需要多少次试验问需要多少次试验? 解：解：(1)试验可按以下进行：试验可按以下进行： 做第一次试验：第一次试验的加入量为做第一次试验：第一次试验的加入量为:(20001000)0.618+1000=1618(g)，即取，即取1618g柠檬汁进行第一次试验柠檬汁进行第一次试验. 做第二次试验：在第一点的对称点处做为做第二次试验：在第一点的对称点处做为第二次试验点，

17、这一点的加入量可用下面公式计第二次试验点，这一点的加入量可用下面公式计算算(此后各次试验点的加入量也按下面公式计算此后各次试验点的加入量也按下面公式计算)：大大+小小中中=第二第二点点.即第二点的加入量为：即第二点的加入量为：2000+10001618=1382(g). 比较两比较两次次试验结果试验结果，如果第二点比第一点如果第二点比第一点好，则去掉好，则去掉1618克以上的部分；如果第一点克以上的部分；如果第一点较好，则去掉较好，则去掉1382克以下部分假定试验结果克以下部分假定试验结果第一点较好，那第一点较好，那么么去掉去掉1382克以下的部分，即克以下的部分，即存优范围为存优范围为138

18、2，2000，在此范围找出第一，在此范围找出第一点点(即即1618)的对称点做第三次试验的对称点做第三次试验.其加其加入入量用量用公式计算：加入量公式计算：加入量=大大+小小中中.即第三次试验即第三次试验的加入量为：的加入量为：2000+13821618=1764(g). 再将第三次试验结果与第一点比较，如再将第三次试验结果与第一点比较，如果仍然是第一点好些，则去掉果仍然是第一点好些，则去掉1764克以上部分，克以上部分，如果第三点好些，则去掉如果第三点好些，则去掉1618克以下部分克以下部分.假设假设第三点好些，则在留下部分第三点好些，则在留下部分(即即1618, 2000)找找出第三点出第三点(即即1764)的对称点做第四次试验的对称点做第四次试验.第四第四点加入量为：点加入