磁场高斯定理与安培环路定理

1、通知通知1. 阶段二测试阶段二测试提醒提醒： 本周六（本周六（6月月4日）晚上日）晚上7:30 8:20，X2321.测试范围：测试范围：CH9（静电场），请（静电场），请 同学相互转告！同学相互转告！2. 交作业时间交作业时间提醒提醒： 第第15周周二交周周二交No.9作业（磁感应强度）作业（磁感应强度）. 第第16周周二交周周二交NO.10作业（环路作业（环路 定律）定律）. 第第17周周二交周周二交NO.11作业（电磁感应）作业（电磁感应）. 补交作业截止时间为补交作业截止时间为17周周二，过期不候！周周二，过期不候！1304 rruqB 相对于观察者以相对于观察者以 匀速直线运动的点电

2、荷的磁场：匀速直线运动的点电荷的磁场：u304ddrrlIB 电流元电流元 的磁场（毕的磁场（毕 萨定律）：萨定律）：lId点电荷电场：点电荷电场：304rrqE 2内容回顾：内容回顾： 用毕用毕 萨定律求萨定律求 分布分布B（1 1）将电流视为电流元集合（或典型电流集合）将电流视为电流元集合（或典型电流集合） （2 2）由毕）由毕 萨定律（或典型电流磁场公式）得萨定律（或典型电流磁场公式）得 BdBBd （3 3）由由叠加原理叠加原理 （分量积分）（分量积分） 电流的磁矩电流的磁矩nSIPm 3典型电流磁场公式：典型电流磁场公式：2. 2. 圆电流轴线上磁场：圆电流轴线上磁场：1. 1. 无

3、限长直电流：无限长直电流：圆电流圆心处磁场：圆电流圆心处磁场：2323)(2)(22202220 xRPxRiIRBm aIB 20 200RIB 4RIRIB 4 83)2(000 练习练习: : 求下图中求下图中o o 点处的磁场强度大小及方向。点处的磁场强度大小及方向。oRIIoR圆环圆心处磁场：圆环圆心处磁场： 200RIB RIB8)1(00 )cos(cos4 210 aIB载流直导线的磁场载流直导线的磁场: : 练习：练习： P280 10-4P280 10-4亥姆霍兹圈：亥姆霍兹圈：两个完全相同的两个完全相同的 N N 匝共轴密绕短线圈，匝共轴密绕短线圈，其中心间距与线圈半径其

4、中心间距与线圈半径 R R 相等，通同向平行等大电流相等，通同向平行等大电流 I I求轴线上求轴线上 之间任一点之间任一点 的磁场的磁场. .P21 , ooxIP1o匝匝NR RR匝匝No2oI 23)2(22220 xRRNIRBP 23)2(22220 xRRNIR 72000RNI.B 68000201RNI.BB 实验室用近似实验室用近似均匀磁场均匀磁场xo1o2B1B2o6自学自学 P251 P251 例例44载流直螺线管轴线上磁场载流直螺线管轴线上磁场. .LRon InLlR 无限长（无限长（ ）载流直螺线管内的磁场：）载流直螺线管内的磁场：( (下讲用安培环路定理求解下讲用安

5、培环路定理求解) )nIB0 7 Rox 例三例三 均匀带电球面均匀带电球面( ), ( ), 绕直径以绕直径以 匀速旋转匀速旋转 , R 求球心处求球心处0B dsin2dd2RqI 等效圆电流：等效圆电流： d2ddrRSq r取半径取半径 的环带的环带 rId旋转带电球面旋转带电球面 许多环形电流许多环形电流等效等效解：解： dsin2 2sindsin )(2dd3032220222023RRRRxrIrB RRBB003032dsin2d RB032 写成矢量式：写成矢量式： Rox rIdBd方向如图方向如图练习：练习： P 281 10-7P 281 10-7求：求：?0 B已知

6、：已知： .RoR 思考：思考：?d B?d I?d qrrqdd 2ddqI 00dd4RBBr R 041 RB0041 写成矢量式：写成矢量式：rdrrIB2dd0 方方向向： 1R2Ro 例四例四 带电圆环（带电圆环（ ）顺时针旋转（）顺时针旋转（ ）求）求mP .R.R 21)(21 dd21222121RRrrIIRRRR )(21 2122RRISPm )(2122RR 22122)(2RR )(22122RRqPm 对否？对否？解一：解一：rrqd2d rrqId2dd r解二：解二：rrqd2d rrqId2dd rrIrPmddd32 )(42122RRqPm 4)()(4

7、 dd212221224142321RRRRRRrrPPRRmm 解一错误，解二正确！解一错误，解二正确！ 1R2Ro r 10.3 10.3 磁场的高斯定理和安培环路定理磁场的高斯定理和安培环路定理描述空间描述空间矢量场一般方法矢量场一般方法用场线描述场的分布用场线描述场的分布用高斯定理，环路定理揭示场的用高斯定理，环路定理揭示场的基本性质基本性质一一. . 磁场的高斯定理磁场的高斯定理切向：该点切向：该点 方向方向疏密：正比于该点疏密：正比于该点 的大小的大小1.1.磁感应线磁感应线BB特点特点闭合闭合，或两端伸向无穷远；，或两端伸向无穷远；与载流回路互相套联；与载流回路互相套联；互不相交

8、互不相交. .2. 2. 磁通量磁通量通过磁场中某给定面的磁感应线的总条数通过磁场中某给定面的磁感应线的总条数SBSBSBmddcosdd BSdSd微元分析法微元分析法（以平代曲，以恒代变以平代曲，以恒代变）SBSmd 0 m 对封闭曲面，规定外法向为正对封闭曲面，规定外法向为正0 m 进入的磁感应线进入的磁感应线穿出的磁感应线穿出的磁感应线nn B B0d SBS3. 3. 磁场的高斯定理磁场的高斯定理穿过磁场中任意封闭曲面的磁通量为零：穿过磁场中任意封闭曲面的磁通量为零：0d SBS磁场是磁场是无源场无源场磁感应线闭合成环，无头无尾；磁感应线闭合成环，无头无尾；不存在磁单极子不存在磁单极

9、子. .S介绍：寻求磁单极问题介绍：寻求磁单极问题（教与学参考教与学参考168168170170）1.1.理论需要理论需要（1 1）对称性需要）对称性需要产生产生磁场磁场磁荷？磁荷？运动电荷运动电荷变化电场变化电场产生产生电场电场电荷电荷运动磁荷？运动磁荷？变化磁场变化磁场麦克斯韦方程尚不对称，暗示对电磁现象认识不完全麦克斯韦方程尚不对称，暗示对电磁现象认识不完全（2 2）解释电荷量子化要求（狄拉克理论）解释电荷量子化要求（狄拉克理论）)2(ghcne （ 为整数）为整数）n基本电荷基本电荷基本磁荷基本磁荷（3 3）大统一理论要求：）大统一理论要求： 带有自发对称破缺的规范场理论得出磁单极质量

10、带有自发对称破缺的规范场理论得出磁单极质量2162cGeV10 hccgm 基本磁荷基本磁荷大统一能量尺度大统一能量尺度大爆炸初期形成大爆炸初期形成 . . 至今含量如何？至今含量如何？2. 2. 实验探求实验探求（1931 1931 年年 今）今）1975 1975 年：年：美国加州大学，休斯敦大学联合小组报告美国加州大学，休斯敦大学联合小组报告 . .用装有宇宙射线探测器气球在用装有宇宙射线探测器气球在40 km 40 km 高空记录到电离高空记录到电离性特强离子踪迹，性特强离子踪迹， 认为是磁单极认为是磁单极 . . 为一次虚报为一次虚报. .1982 1982 年：年：美国斯坦福大学报

11、告，用美国斯坦福大学报告，用 d d=5 cm =5 cm 的的 超导超导线圈放入线圈放入 D D=20 cm =20 cm 超导铅筒超导铅筒. .由于迈斯纳效应屏蔽由于迈斯纳效应屏蔽外磁场干扰，只有磁单极进入会引起磁通变化外磁场干扰，只有磁单极进入会引起磁通变化 ， 运行运行151 151 天天 ，记录到一次磁通突变，记录到一次磁通突变 . . 改变量与改变量与狄拉克理论相符狄拉克理论相符 。 但未能重复，为一悬案但未能重复，为一悬案. .人类对磁单极的探寻从未停止，一旦发现磁单人类对磁单极的探寻从未停止，一旦发现磁单极，将改写电磁理论极，将改写电磁理论. .练习练习已知：已知：I，a，b，

12、l 求：求：解：解：m 方向：方向：rIB 20SBmdd rlSdd abaIlrrIlSBbaaSmlndd 2200IorablSd 10.3 10.3 磁场的高斯定理和安培环路定理磁场的高斯定理和安培环路定理0d SSB无源场无源场 内内qSES01d 有源场有源场高斯定理高斯定理0d LlE保守场保守场?d LlB？环路定理环路定理比较比较静电场静电场恒定恒定磁场磁场一般方法：一般方法：用高斯定理和环路定理描述空间矢量场的性质。用高斯定理和环路定理描述空间矢量场的性质。1）选在垂直于长直载流导线的平面内，以导线与平）选在垂直于长直载流导线的平面内，以导线与平面交点面交点o为圆心，半径

13、为为圆心，半径为 r 的圆周路径的圆周路径 L，其指向与电，其指向与电流成右旋关系。流成右旋关系。 BIroL二二. .安培环路定理安培环路定理1.1.导出：导出： 可由毕可由毕 萨定律出发严格推证萨定律出发严格推证 采用：采用： 以无限长直电流的磁场为例验证以无限长直电流的磁场为例验证推广到任意恒定电流磁场推广到任意恒定电流磁场（从特殊到一般）（从特殊到一般）IlrIlrIlBrLL02000d2cos0d2d 若电流反向若电流反向IlrIlrIlBrrL0200200d2cosd2d BIroL与环路绕行方向成右旋关系的电流与环路绕行方向成右旋关系的电流对环流的贡献为正，反之为负。对环流的

14、贡献为正，反之为负。如果规定如果规定L与与 绕向成右旋关系绕向成右旋关系与与 绕向成左旋关系绕向成左旋关系L0 I0 I统一为：统一为：IlBL0d IIrrIlBlBLLL02000d2d2dcosd 2）选在垂直于导线平面内围绕电流的任意闭合路径）选在垂直于导线平面内围绕电流的任意闭合路径B dldrLII0 若若电电流流反反向向，则则为为 如果规定如果规定L与与 绕向成右旋关系绕向成右旋关系与与 绕向成左旋关系绕向成左旋关系L0 I0 I统一为：统一为：IlBL0d 0)(2)dd(2ddd002121 IIlBlBlBLLLLL3）闭合路径不包围电流）闭合路径不包围电流1L2LI不穿过

15、不穿过 的电流：的电流：对对 上各点上各点 有贡献；有贡献； 对对 无贡献无贡献穿过穿过 的电流：的电流：对对 和和 均有贡献均有贡献LBlBLd BLLlBLd 4）闭合路径不在垂直于电流的平面内）闭合路径不在垂直于电流的平面内ILoo L ld ld/ld)LI()LI(IlBlBlB)ll(BlBLLLLL不穿过不穿过穿过穿过00dddddd0/ 0cos 将将投影到垂直于电流的平面投影到垂直于电流的平面（即线所在的平面）内（即线所在的平面）内B lllddd/ )L(iLnLLnLLIlBlBlBl)BBB(lB穿穿过过02121ddddd 由磁场叠加原理由磁场叠加原理nBBBB 21

16、5）空间存在多个长直电流时）空间存在多个长直电流时1IL3I2I4I空间所有电空间所有电流的贡献流的贡献穿过穿过L电流的贡献电流的贡献2.2.推广：恒定磁场的安培环路定理推广：恒定磁场的安培环路定理 )(0dLiLIlB穿穿过过 恒定磁场中，磁感应强度恒定磁场中，磁感应强度 沿任意闭合路径沿任意闭合路径 的线的线积分（环流）等于穿过闭合路径的电流的代数和与真积分（环流）等于穿过闭合路径的电流的代数和与真空磁导率的乘积空磁导率的乘积. .BL成立条件：恒定电流的磁场成立条件：恒定电流的磁场场中任一闭合曲线场中任一闭合曲线 安培环路（规定绕向）安培环路（规定绕向）:L环路上各点总磁感应强度（包含空

17、间穿过环路上各点总磁感应强度（包含空间穿过 ，不穿过不穿过 的所有电流的贡献）的所有电流的贡献）L:BLL与与 绕向成右旋关系绕向成右旋关系与与 绕向成左旋关系绕向成左旋关系L0 iI0 iI规定：规定：21)(2 IIILi 穿穿过过穿过以穿过以 为边界的任意曲面的电流的代数和为边界的任意曲面的电流的代数和. .: )( LiI穿穿过过L )(0dLiLIlB穿穿过过 例如例如 )(0dLiLIlB穿穿过过 的环流：只与穿过环路的电流代数和有关。的环流：只与穿过环路的电流代数和有关。B与空间所有电流有关；与空间所有电流有关；:B注意注意穿过穿过 的电流：对的电流：对 和和 均有贡献。均有贡献

18、。LBlBLd 不穿过不穿过 的电流：对的电流：对 上各点上各点 有贡献；有贡献； 对对 无贡献。无贡献。BLLlBLd 安培环路定理揭示磁场是非保守场（无势场，涡旋场）安培环路定理揭示磁场是非保守场（无势场，涡旋场）比较比较0d SSB无源场无源场 内内qSES01d 有源场有源场高斯定理高斯定理环路定理环路定理静电场静电场稳恒稳恒磁场磁场0d LlE保守场、有势场保守场、有势场 ）（穿穿过过LiLIlB0d 非保守场、无势场非保守场、无势场（涡旋场）（涡旋场）三三 . .安培环路定理的应用安培环路定理的应用 求解具有某些对称性的磁场分布求解具有某些对称性的磁场分布 )(0dLiLIlB穿过穿过 适用条件：适用条件：稳恒电流的磁场稳恒电流的磁场求解条件：求解条件：电流分布（磁场分布）具有某些对称性，电流分布（磁场分布）具有某些对称性，以便可以找到恰当的安培环路以便可以找到恰当的安培环路 ，使积分，使积分 能够积出，从而方便地求解能够积出，从而方便地求解LlBLd BoPLL对称性分析对称性分析IorPIRLI 在在 平面内，作以平面内，作以 为中心、半径为中心、半径