简单鹿群增长问题

1、简单鹿群增长问题21、问题的分析问题的分析 由于公鹿和母鹿的比例大致相等，所以在此仅考虑母鹿的增长。鹿群的增长与鹿的死亡率和生育率密切相关，因为鹿的生育周期为一年，即一岁以上的母鹿可以生育，所以我们把母鹿分为两组，一岁以下的为幼鹿，其余的为成年鹿。根据这样的分组，一年以后存活的幼鹿都为成年鹿，而这一年中出生的鹿构成新的幼鹿。从以上的分析，我们可把观测的时间间隔取为一年。2、模型假设、模型假设）动物的数量足够大，故可以用连续的方法来度量。 ）只考虑母鹿，并将其分为两组，一岁以下为幼鹿组，其余为成年鹿组。 3 ）把时间离散化，每年观测一次，即环境因素、生育、死亡方式等每年重复发生。 ）不考虑饱和状

2、态，即在所考虑的时间段内，种群的增长几乎不受自然资源的制约。 ）疾病是死亡的主要原因，鹿的死亡数与鹿的总数成正比。）鹿的生育数与鹿的总数成正比。3、模型的建立与求解、模型的建立与求解分别以nx和ny表示第n年幼鹿和成年鹿的数量。 一年后，幼鹿存活的数量与nx之比叫做幼鹿的存活率。 由假设，每年的存活率是一常数，分别以1b和2b表示幼鹿和成年鹿的存活率。 4 因为年长的幼鹿在这一年之内可能超过一岁，因而有生育能力。根据假设，生育率也是常数， 分别以1a和2a表示幼鹿和成年鹿的生育率。 假设刚出生的幼鹿在哺乳期的存活率为s。一年以后，原来的幼鹿可生育幼鹿数为nxa1 成年鹿可生育的幼鹿数为nya2

3、 由于哺乳期的新生幼鹿的存活率为s， 所以一年以后新的幼鹿数： 11(asxnsyaxnn)2nnysaxa21 (10.1)一年以后，原来的幼鹿存活数为nxb1 原来的成年鹿的存活数为nyb2 所以新的成年鹿的数目是nnnybxby211 (10.2)5(10.1).(10.2)联立起来，即得下面的线性差分方程组： nnnnnnybxbyysaxsax211211 (10.3)或用矩阵表示为： 11nnyx2121bbsasannyx (10.4) 这是一个一步方程，令 nunnyx， A=2121bbsasa则(10.4)式可表示为 nnAuu1 (10.5) 6于是可推出： 0uAunn

4、或 nnyx=00yxAn n0 (10.6) 如果知道开始时幼鹿数量0 x和成年鹿的数量0y，由(10-6)可算出第n年的鹿的总数。 为了给出解的一般表达式，先把矩阵A对角化： 令 EA=0即 02121bbsasa得特征方程：0)()(1221212babasbsa (10.7)7其判别式为 )(4)(1221221babasbsa =122214)(asabsa 由于s,12,ba 都是大于零的，所以判别式 0，1和2矩阵A可以对角化。 特征方程(10.7)有两个相异的实根，这保证了 对于特征根1，从下面的线性方程组 121211bbsasayx=00可解得特征向量Tbb),(1211

5、同理可解得对应于特征根2的特征向量Tbb),(12228所以可得矩阵 P112221bbbb 使得21100APPA112221bbbb21001112221bbbb即于是得 nA112221bbbbnn21001112221bbbb将上式代入(10-6)式00yxAnnnyx=9nnyx=112221bbbbnn21001112221bbbb00yx记 21cc=1112221bbbb00yx (10.8)所以 nnyx=112221bbbbnn210021cc =nnnnbbbb2111222121)()(21cc 10计算今后6年鹿的总数。为此，将以上数据代入(10.7),解得39446. 1404458. 021将数据代入(10.8)得4798. 1133107. 021cc最后由(10.9)得011. 7,03. 5,602. 3,596. 2,829. 1,392. 1,621xxx746. 6,837. 4,471. 3,482. 2,798. 1,246. 1,621yyy11 4、模型评价、模型评价 该模型的假设中，没有考虑资源