用待定系数法求二次函数解析式

1、用待定系数法求二次函数解用待定系数法求二次函数解析式析式二次函数解析式有哪几种表达式？二次函数解析式有哪几种表达式？1 一般式：一般式：y=ax2+bx+c3 顶点式：顶点式：y=a(x-h)2+k2 交点式：交点式：y=a(x-x1)(x-x2)4 4 对称式：y y=a(x-xa(x-x1 1)(x-x)(x-x2 2) )5 5距离式：y=a(x-xy=a(x-x0 0)x-(x)x-(x0 0+d)+d)解：解： 设所求的二次函数为设所求的二次函数为y=ax2+bx+c由条件得：由条件得：a-b+c=10a+b+c=44a+2b+c=7解方程得：解方程得：因此所求二次函数是：因此所求二

2、次函数是：a=2, b=-3, c=5y=2x2-3x+5已知一个二次函数的图象过点（已知一个二次函数的图象过点（1,101,10）（）（1,41,4）（2,72,7）三点，求这个函数的解析式？）三点，求这个函数的解析式？1：解：解：设所求的二次函数为设所求的二次函数为y=a(xy=a(x1)1)2 2-3-3由条件得：由条件得：已知抛物线的顶点为（已知抛物线的顶点为（1 1，3 3），与轴），与轴交点为（交点为（0 0，5 5）求抛物线的解析式？）求抛物线的解析式？yox点点( 0,-5 )在抛物线上在抛物线上a-3=-5, 得得a=-2故所求的抛物线解析式为；故所求的抛物线解析式为； y=

3、2(x1)2-3即：即：y=2x2-4x52 已知二次函数已知二次函数y=ax2+bx+c的最大值是的最大值是2，图，图 象顶点在直线象顶点在直线y=x+1上，并且图象经过点上，并且图象经过点（3，-6），求此二次函数的解析式。），求此二次函数的解析式。解：解：二次函数的最大值是二次函数的最大值是2抛物线的顶点纵坐标为抛物线的顶点纵坐标为2又又抛物线的顶点在直线抛物线的顶点在直线y=x+1上上当当y=2时，时，x=1。 故顶点坐标为（故顶点坐标为（ 1 ， 2）所以可设二次函数的解析式为所以可设二次函数的解析式为y=a(x-1)2+2又又图象经过点（图象经过点（3，-6）-6=a (3-1)2

4、+2 得得a=-2故所求二次函数的解析式为：故所求二次函数的解析式为：y=-2(x-1)2+2即：即： y=-2x2+4x2解：解：设所求的二次函数为设所求的二次函数为y=a(x1)(x1）由条件得：由条件得：1：已知抛物线与：已知抛物线与X轴交于轴交于A（1，0），），B（1,0） 并经过点并经过点M（0,1），求抛物线的解析式？），求抛物线的解析式？yox点点M( 0,1 )在抛物线上在抛物线上所以：所以：a(0+1)(0-1)=1得得 ： a=-1故所求的抛物线为故所求的抛物线为 y=- (x1)(x-1)即：即：y=x2+1试一试试一试思考：思考： 1 1用一般式怎么解？用一般式怎么解

5、？ 2 2用顶点是怎么求解？用顶点是怎么求解？ 有一个抛物线形的立交桥拱，这个桥拱的最大高度有一个抛物线形的立交桥拱，这个桥拱的最大高度为为16m16m，跨度为，跨度为40m40m现把它的图形放在坐标系里现把它的图形放在坐标系里( (如图所示如图所示) )，求抛物线的解析式，求抛物线的解析式 设抛物线的解析式为设抛物线的解析式为y=ax2bxc，解：解：根据题意可知抛物线经过根据题意可知抛物线经过(0，0)(20，16)和和(40，0)三点三点 可得方程组可得方程组 通过利用给定的条件通过利用给定的条件列出列出a、b、c的三元的三元一次方程组，求出一次方程组，求出a、b、c的值，从而确定的值，

6、从而确定函数的解析式过程函数的解析式过程较繁杂。较繁杂。 评价评价3 3C = 0C = 0400a +20b +c=16400a +20b +c=161600a +40b +c=01600a +40b +c=0解得a=- b= c=01 125255 58 8有一个抛物线形的立交桥拱，这个桥拱的最大高度有一个抛物线形的立交桥拱，这个桥拱的最大高度为为16m16m，跨度为，跨度为40m40m现把它的图形放在坐标系里现把它的图形放在坐标系里( (如图所示如图所示) )，求抛物线的解析式，求抛物线的解析式 设抛物线为设抛物线为y=a(x-20)216 解：解：根据题意可知根据题意可知 点点(0，0

7、)在抛物线上，在抛物线上， 通过利用条件中的顶通过利用条件中的顶点和过原点选用顶点点和过原点选用顶点式求解，方法比较灵式求解，方法比较灵活活 。评价评价 所求抛物线解析式为所求抛物线解析式为 4 4=400a+16, a= - 1 12525有一个抛物线形的立交桥拱，这个桥拱的最大高度有一个抛物线形的立交桥拱，这个桥拱的最大高度为为16m16m，跨度为，跨度为40m40m现把它的图形放在坐标系里现把它的图形放在坐标系里( (如图所示如图所示) )，求抛物线的解析式，求抛物线的解析式 设抛物线为设抛物线为y=ax(x-40 ）解：解：根据题意可知根据题意可知 点点(20，16)在抛物线上在抛物线

8、上 选用两根式求解，选用两根式求解，方法灵活巧妙，过方法灵活巧妙，过程也较简捷程也较简捷 评价评价5 5 16=20a(20 40) =- 1 125256 6说明：若已知二次函数图像上的两点（x1,h）(x2,h)由其坐标特点可知这两点是关于对称轴对称的对称点，这时，可由对称式求函数解析式。已知抛物线过两点A(1,0)(0,-3)且对称轴是直线x=2,求这个抛物线的解析式。解：解：抛物线的对称轴是直线抛物线的对称轴是直线x=2抛物线上的点抛物线上的点B（0，-3)的对称点是（的对称点是（4，-3设所求抛物线的解析式是设所求抛物线的解析式是y=a(x-0)(x-4)-3 将将A点坐标代入，得：

9、点坐标代入，得：a(1-0)(1-4)-3=0a=-1所求抛物线的解析式是所求抛物线的解析式是y= -x(x-4)-3即：即：y= -x2+4x-37 7若抛物线若抛物线y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c与轴两个交点间距离为与轴两个交点间距离为2 2且过且过点点(0,-2),(2,6),(0,-2),(2,6),求这个抛物线的解析式。解：解：设所求抛物线的解析式是设所求抛物线的解析式是y=a(x-xy=a(x-x0 0)x-(x)x-(x0 0+d)+d) 将（将（0，-2），（），（2，6），），d=2代入上式，代入上式， 得：得： 解这个方程组，得：解这个方程组，得： 所求抛物线的

10、解析式是所求抛物线的解析式是y= 2(x+1)x-(-1+2) 即即y=2x2-2-2=a(0-2=a(0-x x0 0)0-()0-(x x0 0+22) +22) ) ) 6=a(2-6=a(2-x x0 0)2-()2-(x x0 0+ +a =2a =2X X0 0=-1=-18 8若抛物线若抛物线y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c与轴两个交点间距离为与轴两个交点间距离为2 2且过且过点点(0,-2),(2,6),(0,-2),(2,6),求这个抛物线的解析式。解：解：设所求抛物线的解析式是设所求抛物线的解析式是y=a(x-xy=a(x-x0 0)x-(x)x-(x0 0+d)

11、+d)将（将（0，-2），（），（2，6），），d=2代入上式，代入上式， 得：得：-2=a(0-2=a(0-x x0 0)0-()0-(x x0 0+2) +2) 6=a(2-6=a(2-x x0 0)2-()2-(x x0 0+ ) + ) 解这个方程组，得：解这个方程组，得：a =2a =2X X0 0=-1=-1 所求抛物线的解析式是所求抛物线的解析式是y= 2(x+1)x-(-1+2) 即即y=2x2-21 1、已知抛物线上的三点，通常设解析式为、已知抛物线上的三点，通常设解析式为_2、已知抛物线顶点坐标（、已知抛物线顶点坐标（h, k），通常设），通常设抛物线解析式为抛物线解析式为

12、_3、已知抛物线与、已知抛物线与x 轴的两个交点轴的两个交点(x1,0)、 (x2,0),通常设解析式为通常设解析式为_4 4、已知二次函数图像上的两点（、已知二次函数图像上的两点（x x1 1,h,h）(x(x2 2,h),h)，通常设解析式为通常设解析式为_5 5、当已知图象与、当已知图象与x x轴两交点的距离为轴两交点的距离为d d时，时，通常通常设解析式为设解析式为_y=ax2+bx+c(a0)y=a(x-h)2+k(a0)y=a(x-x1)(x-x2) (a0)y y=a(x-xa(x-x1 1)(x-x)(x-x2 2) ) (a0)y=a(x-xy=a(x-x0 0)x-(x)x

13、-(x0 0+d) +d) (a0)根据下列条件，求二次函数的解析式。根据下列条件，求二次函数的解析式。(1)、图象经过、图象经过(0，0)， (1，-2) ， (2，3) 三点；三点；(2)、图象的顶点、图象的顶点(2，3)， 且经过点且经过点(3，1) ；(3)、图象经过、图象经过(0，0)， (12，0) ，且最高点，且最高点 的纵坐标是的纵坐标是3 。一个二次函数，当自变量一个二次函数，当自变量x= -3时，函数值时，函数值y=2当自变量当自变量x= -1时，函数值时，函数值y= -1，当自变量，当自变量x=1时时，函数值，函数值y= 3，求这个二次函数的解析式？，求这个二次函数的解析式？已知抛物线与已知抛物线与X轴的两个交点的横坐标是、，轴的两个交点的横坐标是、，与与Y轴交点的纵坐标是轴交点的纵坐标是3，求这个抛物线的解析式？，求这个抛物线的解析式？32124、5、你学到那些二次函数解析式的求法你学到那些二次函数解析式的求法求二次函数解析式的一般方法：求二次函数解析式的一般方法：已知图象上三点或三对的对应值，已知图象上三点或三对的对应值， 通常选择一般式。通常选择一般式。 已知图象的顶点坐标对称轴和最值已知图象的顶点坐标对称轴和最值,通常选择顶点式。通常选择顶点式。 已知图象与已知图象与x轴的两个交