华东师大版九年级数学上册22.2.4一元二次方程根与系数关系

1、20(0)axbxca方程的求根公式是242bbacxa )(042 acb的系数有何关系？的值与方程你能看出的值试求出为的两根设方程2121212121200 xxxxxxxxxxacbxax,.,)(一元二次方程根与系数的关系一元二次方程根与系数的关系( (韦达定理）韦达定理）acxxabxxxxacbxax212121200,)(则的两根为若方程qxxpxxxxqpxx21212120,则：，的两根为若方程特别地：推论推论1 1一元二次方程根与系数的关系一元二次方程根与系数的关系( (韦达定理）韦达定理）012121221xxxxxxxx）（）是方程（二次项系数为为根的一元二次以两个数,

2、推论推论2 2acxxabxxxxacbxax212121200,)(则的两根为若方程利用利用根与系数的关系，求作一个根与系数的关系，求作一个一元二次方程，使它的两根为一元二次方程，使它的两根为2 2和和3.3.3 3、如果、如果 是方程是方程2X X2 2+mX+3=0+mX+3=0的一个的一个根，求它的另一个根及根，求它的另一个根及mm的值的值. .214、已知关于、已知关于x的方程的方程x2+(2k+1)x+k2-2=0 的两根的平方和比两根之积的的两根的平方和比两根之积的3倍少倍少 10，求，求k的值的值. 22.2.4 22.2.4 一元二次方程的一元二次方程的 根与系数的关根与系数

3、的关系系 复习复习已知关于已知关于x的方程的方程x2+(2k+1)x+k2-2=0 的两根的平方和比两根之积的的两根的平方和比两根之积的3倍少倍少 10，求，求k的值的值.1 1、如果、如果-1-1是方程是方程2X X2 2X+m=0X+m=0的一个根，则另的一个根，则另 一个根是一个根是_，m =_m =_。2 2、设、设 X1、X2是方程是方程X X2 24X+1=04X+1=0的两个根，则的两个根，则 X1+X2 = _ ,X1X2 = _， X12+X22 = ( = ( X1+X2)2 - - _ = _ ( ( X1-X2)2 = ( ( _ )2 - - 4X1X2 = _ 3、

4、判断正误：、判断正误： 以以2和和-3为根的方程是为根的方程是X X2 2X-6=0 X-6=0 （ ）4 4、已知两个数的和是、已知两个数的和是1 1，积是，积是-2-2，则这两个数是，则这两个数是 _ 。X1+X22X1X2-34114122和和-1基基础础练练习习（还有其他解法吗？）（还有其他解法吗？）23题题1 1口答口答下列方程的两根和与两根积各是多下列方程的两根和与两根积各是多少？少？ .X.X2 23X+1=0 3X+1=0 .3X.3X2 22X=22X=2 .2X.2X2 2+3X=0 +3X=0 .3X.3X2 2=1 =1 3.121 xx121xx32.221 xx23

5、.321 xx0.421 xx3221xx3121xx021xx基本知识基本知识在使用根与系数的关系时，应注意：在使用根与系数的关系时，应注意：不是一般式的要先化成一般式；不是一般式的要先化成一般式；在使用在使用X1+X2= 时，时， 注意注意“ ”不要漏写。不要漏写。ab练习练习1已知关于已知关于x的方程的方程012) 1(2mxmx当当m= 时时,此方程的两根互为相反数此方程的两根互为相反数.当当m= 时时,此方程的两根互为倒数此方程的两根互为倒数.11分分析析:1.0121mxx2.11221 mxx另外几种常见的求值另外几种常见的求值2111. 1xx2121xxxx ) 1)(1.(

6、321xx1)(2121xxxx1221. 2xxxx212221xxxx 21212212)(xxxxxx21. 4xx221)(xx 212214)(xxxx练习练习2 设设 的两个实数根的两个实数根 为为 则则: 的值为的值为( )A. 1 B. 1 C. D.012xx21,xx2111xx555A题题4. 点点p(m,n)既在反比例函数既在反比例函数 的的图象上图象上, 又在一次函数又在一次函数 的图象上的图象上,则以则以m,n为根的一元二次方程为为根的一元二次方程为(二次项系数为二次项系数为1): ) 0(2xxy2 xy解解:由已知得由已知得,mn22 mn即mn=2 m+n=2

7、所求一元二次方程为所求一元二次方程为:0222 xx题题5 5 以方程以方程X X2 2+3X-5=0+3X-5=0的两个根的相反数为根的的两个根的相反数为根的方程是（方程是（ ）A、y y2 23y-5=0 B3y-5=0 B、 y y2 23y-5=0 3y-5=0 C、y y2 23y3y5=0 D5=0 D、 y y2 23y3y5=05=0B分析分析:设原方程两根为设原方程两根为 则则:21,xx5, 32121xxxx新方程的两根之和为新方程的两根之和为3)()(21xx新方程的两根之积为新方程的两根之积为5)()(21xx练习练习:1.以以2和和 为根的一元二次方程为根的一元二次

8、方程（二次项系数为）为：（二次项系数为）为：062xx题6 已知两个数的和是1，积是-2，则两 个数是 。2和-1解法(一):设两数分别为x,y则:1 yx2 yx解得:x=2y=1或 1y=2解法(二):设两数分别为一个一元二次方程的两根则:022aa求得1, 221aa两数为2,三已知两个数的和与积，求两数三已知两个数的和与积，求两数题题7 如果如果1是方程是方程 的一个根，则另一个根是的一个根，则另一个根是_=_。（还有其他解法吗？)022mxx-3四求方程中的待定系数四求方程中的待定系数题题8 8 已知方程的两个实数根已知方程的两个实数根 是是且且 求求k k的值。的值。 解：由根与系

9、数的关系得解：由根与系数的关系得 X X1 1+X+X2 2=-k=-k， X X1 1X X2 2=k+2=k+2 又又 X X1 12+ X X2 2 2 = 4 = 4 即即( (X X1 1+ X X2 2)2 -2-2X X1 1X X2 2=4 =4 K K2 2- 2(k+2- 2(k+2）=4=4 K K2 2-2k-8=0 -2k-8=0 = = K K2 2-4k-8-4k-8当当k=4k=4时，时， 0 0当当k=-2k=-2时，时，0 0 k=-2 k=-2解得：解得：k=4 或或k=2022kkxx2, 1xx42221xx 题题9 在在ABC中中a,b,c分别为分别为A, B,C 的对边的对边,且且c= ,若关于若关于x的方程的方程 有两个相等的实数根有两个相等的实数根,又方程又方程 的两实数根的平方和为的两实数根的平方和为6,求求ABC的面积的面积.350)35(2)35(2baxxb0sin5)sin10(22AxAx五综合五综合题题9 9 方程方程 有一个正