数字滤波器中系数量化效应

1、数字滤波器中系数量化效应2 引言引言 数字滤波器数字滤波器(DF)的量化效应表现在以下方的量化效应表现在以下方面：面：DF的系数量化效应；的系数量化效应；运算量化效应；运算量化效应；定点补码溢出极限环振荡和定点舍入引起的定点补码溢出极限环振荡和定点舍入引起的低电平极限环振荡；低电平极限环振荡； 时间原因，我们只给大家介绍时间原因，我们只给大家介绍DF的系数量化效应中的系的系数量化效应中的系数量化对极零点位置的影响数量化对极零点位置的影响.3 系数量化对极系数量化对极( (零点零点) )位置的影响位置的影响 IIR数字滤波器系统函数数字滤波器系统函数)()(1)(10zAzBzazbzHNkkk

2、Mkkk 系数系数ak、bk 决定系统零极点的位置，决定系统决定系统零极点的位置，决定系统性能性能 ak、bk字长有限，字长有限，量化误差，量化误差，零极点位置零极点位置偏差偏差 本节研究系统零极点位置对系数量化偏差的敏本节研究系统零极点位置对系数量化偏差的敏感度感度4 系数量化对极系数量化对极( (零点零点) )位置的影响位置的影响 思路：思路：首先介绍极点首先介绍极点(零点零点)位置敏感度的概念位置敏感度的概念分析极点位置（偏差）对于系数量化效应的敏分析极点位置（偏差）对于系数量化效应的敏感度感度给出结论，低敏感度的系统结构给出结论，低敏感度的系统结构5 系数量化对极系数量化对极( (零点

3、零点) )位置的影响位置的影响 设设IIR Filter的传输函数的传输函数H(z)为为)()(1)(10zAzBzazbzHNkkkMkkk考察分母部分，将考察分母部分，将A(z)因式分解：因式分解：NiiNkkkzPzazA111)1 (1)(对于对于N个个ak和和N个个Pi，对于任一，对于任一Pi研究：研究：某某ak的误差对于的误差对于Pi的影响情况的影响情况所有所有ak的误差对于的误差对于Pi的影响情况的影响情况6 系数量化对极系数量化对极( (零点零点) )位置的影响位置的影响 敏感度敏感度A(z)中，第中，第k个系数个系数ak量化引起量化引起A(z)多项式第多项式第i个根个根(即即

4、H(z)第第i个极点个极点)Pi的变化率为的变化率为 ，称为极点称为极点Pi对系数对系数ak量化的量化的敏感度敏感度；类似的定义可以推广到零点的情况；类似的定义可以推广到零点的情况；通常希望对系数量化敏感度越低越好。通常希望对系数量化敏感度越低越好。/ikPa/ikPa7 系数量化对极系数量化对极( (零点零点) )位置的影响位置的影响 定义（由系数量化引起的）极点偏差：定义（由系数量化引起的）极点偏差：/ikPaiP1 1,.,NiikkkPPaiNaA(z)中所有系数的量化误差，对第中所有系数的量化误差，对第i个极点个极点Pi的的误差都有影响误差都有影响 先推导先推导iP先求先求iiiPP

5、Pkkkaaa8 系数量化对极系数量化对极( (零点零点) )位置的影响位置的影响 根据复合函数微分法则：根据复合函数微分法则：( )( )iiiikkz Pz PPA zA zPaa( )( )iikkiz PA zPaA zaP9 系数量化对极系数量化对极( (零点零点) )位置的影响位置的影响)()1 ( )1 ()(111111NilllNlNilliNlliPzzzPzPzPPzA( )kkA zza NilllikNiNillliNikiPzikkiPPPPPPPPzAazAaPi1)(1)()(/ )(/ )(10 系数量化对极系数量化对极( (零点零点) )位置的影响位置的影响

6、 A(z)中各个系数的量化效应引起第中各个系数的量化效应引起第i个极点的偏差个极点的偏差111,.,()N kNiikNkilll iPPa iNPP分母因式分母因式(Pi-Pl)表示由极点表示由极点Pl指向极点指向极点Pi的矢量，的矢量，整个分母是所有极点整个分母是所有极点(除了除了Pi极点极点)指向指向Pi极点的矢极点的矢量之积量之积极点间距短，则极点位置敏感度大极点间距短，则极点位置敏感度大NilllikNikiPPPaP1)()( Pi对系数对系数ak量化效应的量化效应的敏感度为：敏感度为：11 系数量化对极系数量化对极( (零点零点) )位置的影响位置的影响 一般对于窄带滤波器或过渡

7、带很窄的滤波一般对于窄带滤波器或过渡带很窄的滤波器，都会有几个极点器，都会有几个极点(零点零点)靠得很近，且靠得很近，且Filter的阶数也较高。这时系数量化效应引的阶数也较高。这时系数量化效应引起的极点起的极点(零点零点)偏差也大，严重时极点可能偏差也大，严重时极点可能移到单位圆上或单位圆外，引起系统的不移到单位圆上或单位圆外，引起系统的不稳定。因此，在具体实现稳定。因此，在具体实现Fiter时，对于二时，对于二阶以上的阶以上的Filter，最好不用直接型结构，而，最好不用直接型结构，而用一阶或二阶的基本节进行级联和并联实用一阶或二阶的基本节进行级联和并联实现。现。12 系数量化对极系数量化

8、对极( (零点零点) )位置的影响位置的影响NillliPP1)(13例题 下面举例说明极点位置灵敏度。极点位置下面举例说明极点位置灵敏度。极点位置变化和系数字长的选择变化和系数字长的选择例一例一(P411)：设：设DF的系统函数为的系统函数为利用利用a2变化造成的极点位置灵敏度，为保持极变化造成的极点位置灵敏度，为保持极点在其正常值的点在其正常值的0.5%内变化，试确定所需要内变化，试确定所需要的最小字长。的最小字长。1212120.03730.0373( )1 1.70.7451H zzza za z14解：令解：令H(z)的分母为的分母为0，即，即 解得解得则则 P1和和P2共扼出现共扼

9、出现敏感度式，看敏感度式，看a2变化的影响变化的影响12( )1 1.70.7450A zzz 10.850.15Pj 20.850.15Pj 120.863PP901212113.33330.3ojPeaPPj902221113.33330.3ojPeaPPj15 由此可见，由此可见，a2的变化对于的变化对于P1、P2影响的大小是相同的影响的大小是相同的 根据题意，要求出根据题意，要求出a2对对P2(或或P1)的影响，即要求的影响，即要求 或或 有有 即所需的系数即所需的系数“量化阶量化阶”应为应为若采用定点二进制小数表示，设小数点后为若采用定点二进制小数表示，设小数点后为b位，则分辨位，则