小学数学竞赛学习材料(六年级上期)

1、小学数学竞赛学习材料六年级上期第一讲 速算与巧算(一)例1计算。解法一：观察发现，第一个加数与倒数第一个加数的和等于1；第二个加数与倒数第二个加数的和也等于1；由此推知，第1002个加数与第1004个加数的和也等于1；还剩下第1003个加数等于。所以原式()()()1×10021002。解法二：观察发现，分子是自然数列，于是原式2005÷21002。解法三：因为第1003个加数就是这2005个加数的平均数，于是原式×2005×20051002。例2计算 63÷34×51÷72×64÷36。(1995年全国

2、小学数学奥林匹克决赛题)解：对数据进行观察分析后发现，式中的一些乘数和除数含有相同的因数，因此，如果按照分数与除法的关系把原式变成××，计算就会比较简便，于是，原式××2。例3三个最简真分数、的积等于, 求这三个分数。(上海市第一届“从小爱数学”小学数学邀请赛试题)解：这三个最简真分数的积，肯定是约分后的结果，约分前的分母应该是 10×12×212520，分子是2520÷21260, 而 12602×2×3×3×5×7，把这6个因数合并成3个因数，并且使这三个因数分别小于10

3、、12、21，于是得到(3×3)×7×(2×2×5)9×7×20，所以这三个最简真分数是、。例4从1、1、1、六个数中选出三个数，分别记为A、B、C。要求选出的三个数使得A×(BC)尽量大，那么A×(BC)最大是多少？解：要使A×(BC)尽量大，A和(BC)就要尽可能大，为此，让A取最大数，B取次大数，C取最小数；或B取最大数，C取最小数，A取次大数，进行试算。先把六个数按照从大到小的顺序排列起来： 111当A取最大数，B取次大数1，C取最小数时，A×(BC)×(1)；当B取

4、最大数，C取最小数，A取次大数1时，A×(BC)1×()。因为，所以A×(BC)是最大值是。练 习 一1. 计算 。2在括号里填入适当的数，使下列等式成立。要求第(1)至(5)题每题中两个括号里的数必须相同，第(6)题四个括号里的数都相同。(1)×(2)×(3)2×2(4)×()()(5)()×()(6)×3计算999999999999999999999。4计算20052004200320021。5计算 1×1×1××1×1。6计算41×51&#

5、215;61×。7计算76×()23×()53×()。8计算×2×3×10。9计算(9×5)(8×6)(5×9)。10. 计算69×57×46×。11计算()×64。(吉林省小学数学邀请赛试题)12. 计算 4×55×66×77×88×9。(2002年全国小学数学奥林匹克预赛题)第二讲 分数乘法应用题例1某校五年级参加数学竞赛的同学约有200多人，考试成绩得 90100分的占，得8089分的占，得7079分

6、的占，那么70分以下的有多少人？(2001年全国小学数学奥林匹克预赛题)解：总人数应该是7、5、3的公倍数，7、5、3的最小公倍数是105，根据题意总人数应该是105×2210(人)。所以90100分的有210×30(人)，8089分的有210×42(人)，7079分的有210×70(人)，70分以下的有21030427068(人)。答：70分以下的有68人。例2一满杯水溶有10g糖，搅匀后喝去；添入6g糖，加满水搅匀后再喝去；又添入6g糖，加满水搅匀后又喝去；再添入6g糖，加满水搅匀后再喝去。求此时杯中所剩的糖水中有多少克的糖？解：开始杯中的10g糖在

7、喝了4次以后还剩10×()4(g)。第一次加入的6g糖，喝到最后还剩6×()3(g)。第二次加入的6g糖，喝到最后还剩6×()2(g)。第三次加入的6g糖，喝到最后还剩6×2(g)。所以最后杯中剩下的糖还有23(g)。答：最后杯中剩下的糖还有3(g)。例3甲有216个玻璃球，乙有54个同样的玻璃球。两人互相给对方玻璃球，给了8次以后，甲的玻璃球的个数是乙的8倍。平均每次甲少给乙多少个玻璃球？(山东省小学数学奥林匹克试题)解：两人共有21654270(个)玻璃球，给了8次以后，甲的玻璃球的个数是乙的8倍，也就是甲的玻璃球是总数的，所以甲有270×

8、240(个)，乙有27024030(个)，比原来少了543024(个)，平均每次甲少给乙24÷83(个)。答：平均每次甲少给乙3个玻璃球。例4有甲乙两个容器。甲里面装了1kg水，乙是空的。第一次把甲中的水倒给乙；第二次把乙中的水倒给甲；第三次把甲中的水倒给乙；第四次把乙中的水倒给甲；照这样倒了2007次以后，甲容器中有多少水？解：按照题意计算出前几次倒过以后两个容器中水的数量，并注意观察有没有什么规律。 甲容器乙容器开始 1 0倒了1次以后 11×(kg) 0(kg)倒了2次以后 ×(kg) 1(kg)倒了3次以后 1(kg) ×(kg)倒了4次以后 &

9、#215;(kg) 1(kg)倒了5次以后 1(kg) ×(kg)观察发现，倒了奇数次以后，甲容器中总是有kg水，所以倒了2007次以后，甲容器中有kg水。答：倒了2007次以后，甲容器中有kg水。练 习 二1有一堆梨不超过100个，分给幼儿园三个班的小朋友。一班分到这堆梨总数的，二班分到这堆梨总数的，剩下的分给第三班。又已知每班分到梨的个数都是整数，问：一班最多分到多少个梨？(天津市小学数学竞赛题)2某校六年级有二百多人参加了数学竞赛，结果其中的人不到70分，的人不到80分，的人达到90分。那么，得分在80到89分的有多少人？3小明和小刚共有一百多本书。如果小明给小刚一些本，小明的

10、书就比小刚少；如果小刚给小明同样多本，小刚的书就比小明少。小明和小刚共有多少本书？4一位老人有三个儿子。老人临终前留下遗嘱：把他的17匹马的分给大儿子，分给二儿子，分给小儿子。老人死后，他的三个儿子为了分马的事犯了难，因为17既不能被2整除，也不能被3和9整除。正当他们一筹莫展的时候，来了一位骑马的智者，很快帮他们解决了问题。你知道这位智者是怎样帮他们分的吗？5我国古代思想家墨子说过：“一尺之棰(chuí), 日取其半, 万世不竭。”意思是：一尺长的木棒(棰), 每天用去它的一半(还剩一半), 永远也用不完。这种对无穷的思考, 体现了先哲非凡的智慧, 这是我们中华民族的骄傲!为了领会

11、这种思想，请算一算, 这根木棒用了 5 天, 还剩多少尺? 要是用了 6 天、7 天、10 天呢?6如图，先把直角三角形ABC各边的中点连接起来，得到直角三角形DEF，再把直角三角形DEF各边的中点连接起来，得到直角三角形GHP。已知AC32cm，CB24cm，求阴影部分的面积是多少平方厘米？7. 一张等腰直角三角形纸，底长 10 cm，把两个底角折进来后再对折(如图)，求对折后的面积。 8. 荣荣家买来一筐苹果，爸爸吃了其中的，荣荣吃了其中的，剩下的都是妈妈吃的。如果爸爸比荣荣多吃了3个苹果，那么，妈妈吃了多少个苹果？（2004年浙江省小学数学竞赛试题）9. 一块冰每小时失去其重量的一半,

12、8 小时之后其重量为kg, 那么一开始这块冰的重量是多少千克? (2000 年全国小学数学奥林匹克预赛题)10有甲、乙两个数，如果把甲数的小数点向左移动两位，就是乙数的。那么，甲数是乙数的多少倍？(1992年全国小学数学奥林匹克初赛题)11澳门是世界上人口密度最大的地区之一，它由一个半岛和两个小岛组成。已知澳门的人口为43万，其中的人居住在半岛上，半岛的面积为7km2。求：半岛上平均每平方千米有多少万人？(取两位小数)(第七届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛题)12三名工人师傅张强、李辉和王充分别加工200个零件。他们同时开始工作，当李辉加工200个零件的任务完成时，张强才加工了160个，王充

13、还有48个没有加工。当张强加工200零件的任务完成时，王充还有多少个零件没有加工？第三讲 裂项相消法 例 1 计算 。 解：观察发现，第一个分数的分母是1×2的积；第二个分数的分母是2×3的积；第三个分数的分母是3×4的积第九个分数的分母是9×10的积。因此, 每个加数都可以看成是两个分数的积，而经验告诉我们，像这样的两个分数的积等于它们的差。即××××××推广到一般情况，当n为自然数时，。进一步观察又发现, 最后得到的这些减法算式, 前一个算式的减数正好是后一个算式的被减数。这就为原式的计算提

14、供了极大的便利条件, 当按照变形后的结果相加时, 中间的那些“减数”、“被减数”全部相互抵消, 最后只剩下。因此原式(1)()()() 1 1。例 2 计算 。 解：受例 1 的启发, 取出这些分数来研究。 ，。 观察发现, 上面这些加法算式, 前一个算式的第二个加数正好是后一个算式的第一个加数。这就为原式的计算提供了极大的方便, 因为有一些加数要变成减数, 所以, 按照变形后的结果计算时, 中间的那些“加数”和“减数”全部相互抵消, 最后只剩下 , 即原式(1)()()()111。上面所使用的方法，叫“裂项相消法”。例3计算。解：参考例1的方法，如，×()×；()

15、5;。一般地，当n、d都为自然数时，有()。于是，原式×()×()×。例4计算1。解：观察发现，从第二个加数开始，分母都等于从1开始的若干个自然数的和，因此，按照等差数列的求和公式得到：原式112×()12×()12×11。练 习 三1. 计算。 2. 计算。 3. 计算。 4. 计算。 5. 计算。 6. 计算。7计算。8计算。9计算12345678。10计算。(天津市小学数学竞赛试题)11计算30×()。12计算1357911。第四讲 分数与整除 例1 求与1的最大公约数和最小公倍数。解：求两个分数的最大公约数, 就是要

16、求一个最大的分数, 用它去除已知的两个分数，商都是整数。求两个分数的最小公倍数, 就是要求一个最小的分数, 用它除以已知的两个分数，商都是整数。先把1化成假分数。(1) 与的最大公约数的分母应该是27与18 的最小公倍数, 分子应该是10与25的最大公约数, 所以这两个分数的最大公约数是；(2) 与的最小公倍数的分母应该是27与18 的最大公约数, 分子应该是10与25的最小公倍数, 所以这两个分数的最小公倍数是, 即5。 例2一个数乘4得整数a, 乘3得整数b, 并且a、b 是互质数。(1)这个数最小是多少?(2)a、b分别是多少？ 解：4，3。要求的那的数分别乘以这两个分数, 得到两个互质

17、的数, 在乘的过程中必须约去34、51, 还必须约去161和184 的除了1以外所有的公约数。因此这个数一定是一个分数, 它的分子是34和51的最小公倍数, 分母是161和184的最大公约数。 (1)因为34和51的最小公倍数是102, 262和284的最大公约数是23, 所以，这个数是, 即4。 (2)a4×4×21；b4×3×16。例3有4条圆形跑道如图，每条跑道的长都是km。A、B、C、D四人同时从四个圆的交点出发，分别沿4条跑道跑步，他们的速度分别是每小时6km、9km、12km、15km。问：从出发到四人再次相遇需要多长时间？解：四人跑一圈所需

18、的时间分别是÷6(小时)，÷9(小时)，÷12(小时)，÷15(小时)。，的最小公倍数是，所以从出发到四人再次相遇需要小时。例4下面算式约简后所得最简分数的分母是多少？××××××解：在1100各数中，能被2整除的数有50个，能被4整除的数有25个，能被8整除的数有12，能被16整除的数有6个，能被32整除的数有3个，能被64整除的数有1个，所以，因数2的个数为50251263197(个)；能被3整除的数有33个，能被9整除的数有11个，能被27整除的有3个，能被81整除的数有1个，所以，因数3

19、的个数为33113148(个)。因此，分子中有97个因数2和48个因数3，而分母中有100个因数2和50个因数3，所以，约简后所得的最简分数的分母中含有100973(个)因数2和50482(个)因数3，等于23×3272。练 习 四1. 求下面各组分数的最大公约数和最小公倍数。 (1)与 (2)与1 (3)3与62求下面各组分数的最大公约数。(1)，与(2)，与1(3)5，2与63求下面各组分数的最小公倍数。(1)，与(2)，与(3)，与4用、1分别去除某个分数，所得的商都是整数，这样的分数中最小的是多少？ 5. 苹果每个重kg, 梨每个重kg, 要使两种水果的重量相等, 至少要多少

20、个苹果, 多少个梨?6在植物园的一条甬道两旁，每隔10m种一株芙蓉，每隔4m种一株牡丹，每隔4m种一株茶花，每隔2m种一株菊花。这条甬道至少有多少米？7有甲、乙、丙三种溶液，分别为4升、3升、2升。现要分别装入小瓶中，每个小瓶装入液体的体积相同，并且无剩余。问：最少要装多少瓶？每瓶装多少升？ 8. 用一个分数分别去乘5、3、, 使得数都是整数, 并且尽可能小, 求这个分数和所乘得的三个整数。9甲、乙、丙三人同时从起点出发，沿环形自行车赛场骑行。已知甲、乙、丙三人骑行1圈分别需要秒、秒、秒。问：他们至少各绕了多少圈后才能再次在起点相遇？10三条圆形跑道，圆心都在操场中心的旗杆处，甲、乙、丙三人分

21、别在里圈、中圈和外圈沿相同方向跑步。已知里圈、中圈和外圈的跑道分别长200m、240m和400m，甲、乙、丙每分钟分别跑160m、200m和300m。开始时，三人与旗杆位于同一直线上。问：经过多长时间他们三人才能同时回到出发点？11甲、乙、丙三个滑冰运动员在一起练习滑冰，已知甲滑一圈时，乙、丙分别可以滑1圈和1圈。如果甲、乙、丙同时从起点出发，那么甲滑多少圈后三人再次相遇？12. 约简后所得最简分数的分母是多少？998个6第五讲 时钟问题 例1 从时针指向4点开始，再经过多少分钟, 时针与分针正好重合?(北京市第二届“迎春杯”小学数学竞赛初赛试题) 解：钟面上是把圆周等分成60小格, 钟面上的

22、数1, 2, 3, ，12, 相邻两个数之间是5小格。时针每小时走 5 格,分针每小时走60格,时针的转动速度只有分针的5÷60。 在4 点的时候，时针指向4, 分针指向12, 分针比时针落后5×420(格), 每分钟分针比时针多走1(格), 因此, 分针追上时针, 即两针重合需要20÷21(分钟)。 例2 在7时到8时之间, 时针与分针什么时候成直角? 解：时针与分针成直角，时针可以出现在时针的两侧。 (1) 7时, 时针指向7, 分针指向12, 分针落后时针5×735(格)。当分针与时针的距离减少到15格时, 两针成直角, 这时是7时(3525)&#

23、247;(1)21(分)； (2) 当分针不仅追上了时针, 而且超过时针15格时, 两针又一次成直角。这时是7时(3515)÷(1)54(分)。 例3 李老师家的挂钟每到整点打一次点。一天他在家里备课, 10 分钟后听到挂钟打了一次点, 备课当中还听到过几次。备课结束时挂钟的时针和分针恰好重合, 他只记得挂钟打过12下, 李老师这次备课一共用了多少时间?解：12应该是几个连续自然数的和, 这样的自然数只有3、4、5, 所以李老师这次备课是2:50 开始, 5时多结束的。5×5÷(1)27(分)， 一共用了5小时27分2小时50分2小时37分。例4有一个时钟，它每小

24、时慢25秒，今年3月21日中午12点它的指示正确。请问：这个时钟下一次指示正确的时间是几月几日几点钟？(第四届“华罗庚金杯” 少年数学邀请赛试题)解：当这个时钟慢12小时的时候，它所指示的12点，恰好是准确的时间。因为这个时钟每小时慢25秒，而1小时60×603600(秒)，所以它慢12小时需要3600×12÷251728(小时)，相当于1728÷2472(天)。从3月21日中午12点到4月1日中午12点是3121111(天)，到5月1日中午12点是113041(天)，到6月1日中午12点正好是413172(天)，所以这个时钟下一次指示正确的时间是6月1

25、日中午12点钟。例5王叔叔有一只手表，他发现手表比家里的闹钟每小时快30秒，而闹钟却比标准时间每小时慢30秒。那么王叔叔的手表一昼夜与标准时间差多少秒？(北京市第三届“迎春杯”小学数学竞赛决赛试题)解：30秒0.5分钟。闹钟1小时相当于标准时间(小时)，手表1小时相当于标准时间(小时)。所以，标准时间1小时相当于手表×(小时)。手表每小时慢1(小时)，手表一昼夜比标准时间慢3600×(×24)6(秒)。例6有甲、乙两个时钟，都不准确。甲钟每走24小时，恰好快1分钟；乙钟每走24小时，恰好慢1分钟。假定今天下午3点钟的时候，将甲、乙两钟都调好，指在准确的时间上，任其

26、不停地走下去，那么，下一次这两只钟都同样指在3点时，要隔多少天？(江西省第二届“八一杯”小学数学竞赛决赛试题)解：甲钟与标准钟下一次同时指向3点时，甲钟比标准钟要多转1圈，也就是60×12720(分钟)，需要720天。同理，乙钟与标准钟下一次同时指向3点时，乙种比标准钟要少转1圈，也需要720天。所以，下一次两钟同时指向3点时，要隔720天。练 习 五1在5时10分的时候，时针与分针的夹角是多少度？ 2. 在5时到6时之间, 时针与分针什么时候重合? 3. 请你认真地想一想： (1)一昼夜, 时针与分针一共重合多少次? (2)时针与分针相邻两次重合之间, 相隔多少分钟? (3)时针与

27、分针这些次重合, 分别发生在几时几分? 4. 在钟面上, 从4时到5时, 什么时候时针与分针成直角? 5. 在8时到9时之间, 时针与分针什么时候方向相反成一直线? 6. 时钟的时针与分针从一次方向相反成一直线, 到下一次反向相反成一直线, 中间要经过多少分钟? 7. 在7时多少分的时候：(1) 时针与分针的夹角是30°；(2) 时针与分针的夹角是60°。8钟面上3时过几分，时针和分针离“3”的距离相等，并且在“3”的两旁？(第一届“九章杯”小学数学竞赛试题)9从3点钟开始，分针与时针第二次形成30°角的时间是3点几分？(北京市第六届“迎春杯”小学数学竞赛决赛试题

28、)10. 星期日下午小明从2时多开始作数学作业。这时他注意到, 闹钟的时针与分针正好重合。当他作完作业时, 他意外地发现闹钟的时针与分针恰好方向相反成一直线, 这时还不到3时。小明这次作作业一共用了多少分钟?11. 一天, 王师傅早上8时多出门时, 他的手表的时针与分针正好重合。当他下午3时多回到家里时, 他的手表的时针与分针又正好重合。这天, 王师傅出去了多长时间?12有位老师离开学校时看了看钟，外出两个多小时以后，回到学校时又看了看钟，发现时针和分针恰好互换了位置。问：这位老师离开学校多长时间？第六讲 比 例1 四个数依次相差，它们的比是1357，这四个数的和是多少？ 解：这四个数依次相差

29、2份，每份是÷2，所以，这四个数的和是×(1357)×16。 答：这四个数的和是。 例2 有一堆黑棋子和白棋子，从中取走15粒白棋子以后，余下的黑棋子与白棋子个数的比是21，又取走45粒黑棋子以后，余下的黑棋子与白棋子个数的比是15。那么，这堆棋子原来共有多少粒？ 解：认真读后发现，第二次取走的是黑棋子，白棋子数没有变，这说明第一次取走白棋子后，把剩下的白棋子看作“1”份，与后来又把白棋子看作“5”份，实际上同样多。因此，可以把21中代表白棋子的“1”份变成“5”份，代表黑棋子的“2”份变成“10”份。这样一来，第二次取走的45粒黑棋子就相当于1019(份)，1份

30、是45÷95(粒)，所以，原来有黑棋子5×1050(粒)，白棋子取走15粒以后有50÷225(粒)，原来有251540(粒)，于是，这堆棋子原来共有504090(粒)。 答：这堆棋子原来共有90粒。例3一把小刀售价3元。如果小明买了这把小刀，那么小明与小强剩余的钱数之比是25；如果小强买了这把小刀，那么小明与小强剩余的钱数之钱变成813。小明原来有多少钱？解：25410615，与813对比，发现615813，而6比8少2份；15比13多2份，说明一把小刀的价钱相当于2份，因此，小明原来有3÷2×(62)12(元)。答：小明原来有12元。例4甲、

31、乙两包糖的重量比是41，如果从甲包中取出10g放入乙包，则甲、乙两包糖的重量比变成75，那么两包糖重量的总和是多少克？(1989年全国小学数学奥林匹克初赛题)解：依题意可知，从甲包中取出10g放入乙包后，甲、乙两包糖的总重量不变，如果把两包糖的重量看作单位“1”，原来甲包糖占两包糖总重量的，从甲包中取出10g放入乙包后，甲包糖占两包糖总重量的,10g糖相当于两包总重量的，两包糖重量的总和是10÷46(g)。答：两包糖重量的总和是46g。练 习 六1. 一个直角三角形，已知它的直角的度数与一个锐角的度数之比是54，那么，另一个锐角是多少度？ 2. 一个长方形被分为面积相等的甲、乙、丙、

32、丁四份如图。已知图形甲的长和宽的比是 21，图形乙的长和宽的比是多少？乙 丁 甲 丙 3. 图中三角形ABC三角形DEC都是等腰直角三角形，阴影部分是正方形。三角形ABC与三角形DEC面积的比是多少？(第九届小学生数学报数学竞赛题) D A B E C 4. 一张长方形纸片, 长7cm、宽5cm。把它的右上角往下折叠如甲图, 再把左下角往上折叠如乙图, 那么未盖住的阴影部分面积与原纸片面积的比是多少？(1995年全国小学数学奥林匹克初赛题) 甲图 乙图5. 甲、乙两数是自然数, 如果甲数的恰好是乙数的, 那么甲、乙两数和的最小值是多少？(1991年全国小学数学奥林匹克初赛题) 6. 甲、乙两厂

33、共同完成了一批机床的生产任务, 已知甲厂比乙厂少生产 3 台机床, 并且甲厂的产量是乙厂的 , 那么, 甲、乙两厂共同生产了机床多少台？(1993年全国小学数学奥林匹克初赛题)7车库中停放着若干辆双轮摩托车和四轮小卧车，车的辆数与车的轮子数的比是25。问摩托车的辆数与小卧车的辆数之比是多少？(第四届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛题)8有一个长方体，长与宽的比是21，宽与高的比是32。已知这个长方体全部棱长之和是220cm，求这个长方体的体积。96枚壹分硬币摞在一起与5枚贰分硬币摞在一起一样高。4枚壹分硬币摞在一起与3枚伍分硬币摞在一起一样高。用壹分、贰分、伍分硬币各摞成一个圆柱体，并且三个圆

34、柱休一样高，共用了124枚硬币，问：这些硬币的币值为多少元？10甲厂有工人910人，乙厂有工人790人。从这两个工厂中抽调同样多的工人去参加义务植树活动，则两个工厂剩下的工人人数的比是1714。这两个工厂被调去参加植树活动的共有多少人？(安徽省小学生数学竞赛试题)11三批货物共值152万元。第一、二、三批货物的重量比是243，单位重量的价格比是652。这三批货物各值多少万元？12甲、乙两包糖的重量比是41，如果从甲包取出10g包放入乙包后，甲、乙两包糖的重量比变为75，那么两包糖重量的总和是多少克？(1998年全国小学数学奥林匹克初赛题)第七讲 综合练习(一)1计算。2计算(1)×(

35、1)×(1)××(1)×(1)。3计算51÷71÷91÷。4用和1分别去除某个分数，所得的商都是整数，这样的分数中最小的是。5化工商店有甲、乙、丙三种油漆，分别为5升、2升、6升。为了方便顾客，准备把三种油漆都分装成体积相同的小桶，并且没有剩余，最少一共可以分装小桶。6计算12345678。7在3时到4时之间，时针与分针指向两侧成一条直线的时刻是。8四个数依次相差，它们的比是1357，那么，这四的数的和是。9下图平行四边形ABCD中，E、F分别是AB、BC的中点，三角形BEF与平行四边形ABCD的面积比是。ADEBFC10下

36、图长方形ABCD中，AEEDCFFD12，三角形ABE与三角形DEF的面积的比是。AEDFB C11袋里有若干个球，其中红球占，后来又往袋里放了6个红球，这时红球点总数的。现在袋里有个球。12甲、乙、丙三个村合修一水渠，修完后甲、乙、丙村可灌溉面积的比为875。原来三个村计划按可灌溉面积的比派出劳力，后来因为丙村抽不出劳力，经协商，丙村应抽出的劳力由甲、乙两村分担，丙村付给甲、乙两村工钱1350元。结果甲村共派出60人，乙村共派出40人。甲村应分得工钱元，乙村应分得工钱元。第八讲 速算与巧算(二)例1计算：(0.75)÷(2×0.41÷1.8)？(2000年小学数

37、学奥林匹克预赛题)解： (0.75)÷(2×0.41÷1.8)(0.250.75)÷(×1.8÷1.8)1÷(11)。例2计算：987÷987？解法一：987÷987987÷987×。解法二：987÷987(987÷987)÷(987÷987)1÷11×。例3用简便方法计算。解：原式1。例4化简。解：像这样分子或分母中含有分数的复杂分数叫“繁分数”，又叫繁分式。繁分数实际上就是根据分数与除法的关系，对某些分数四则混合运算算式所

38、进行的一种改写。本题的繁分数就相当于1÷25÷36÷(4)。所以，原式1÷1练 习 八1. 计算：(1)6(8.5)÷3.5×(2)？(北京市第十四届“迎春杯”数学竞赛决赛题)(2)(4.2×1)÷1。(1996年小学数学奥林匹克初赛题) 2. 从 2003 里面减去它的 , 再减去余下的 , 再减去余下的 , 再减去余下的 ，依此类推，直到减去余下的 , 最后还剩多少? 3. 将、×、÷四个运算符号分别填入下面的四个方框中，使算式的值最大。 4. 把 1、2、3、4、5 填入下面的方格内, 使

39、得运算结果最大。(1994 年全国小学数学奥林匹克决赛题) ×÷ 5. 计算：(1)3.6×3143.9×6。(1991年小学数学奥林匹克初赛题) (2)(0.1÷2)×1÷1。(1997年小学数学奥林匹克决赛题) 6. 计算：(1)×4.53÷16.2。(1993年小学数学奥林匹克初赛题) (2)14.8(31.5)×1÷4。(1993年小学数学奥林匹克决赛题) 7. 已知等式 3×(19.98×5)×(0.75)0, 那么式中所表示的数是多少? (19

40、98年小学数学奥林匹克决赛题) 8. 减去一个分数, 加上同一个分数, 两次计算结果相等, 那么这个相等的结果是多少? (1996年小学数学奥林匹克预赛题) 9.计算 (1)×(1)×(1)×(1)××(1)×(1)。(1992年小学数学奥林匹克初赛题)10计算：(1) 。(2) 。11计算：(1)(9636)÷(3212)。 (2) 。12化简：(1) 。 (2) 。第九讲 分数应用题(一)例1某小学六年级选出男生的和12名女生参加数学竞赛，剩下的男生人数是女生人数的2倍，已知这个学校六年级共有学生156人，那么，男生和女

41、生各有多少人？ 解：选出男生的以后，还剩下男生的1，这时，男生人数是女生人数的2倍，也就是说，剩下的女生人数是男生总人数的÷2，所以男生有(15612)÷(1)99(人)，女生有1569957(人)。例2有两个同样大小的杯子，甲杯盛满了纯水，乙杯盛着半杯含有10g盐的盐水。先用甲杯里的水倒满乙杯并搅匀，然后再用乙杯里的盐水倒满甲杯并搅匀，上述过程算是进行了一次操作。如果这样连续进行五次操作后，那么甲杯里含有多少克盐？(第一届“祖冲之杯”小学数学竞赛题)解：用列表法。甲杯含盐(g)乙杯含盐(g)原来010第一次操作后5 5第二次操作后10 (55×)×第三

42、次操作后10 (×)×第四次操作后10 (×)×第五次操作后10 (×)×所以，第五次操作后甲杯里含盐g6g。例3一袋玉米粒中是白色颗粒是黄色颗粒，放在爆玉米机中，有的白色颗粒没有爆花，的黄色颗粒没有爆花，这袋玉米粒爆花的占几分之几？解：白色颗粒爆花的占×(1)，黄色颗粒爆花的占×(1)，所以这袋玉米粒爆花的占。例4某校五年级共有三个班，已知一班、二班、三班各班的学生人数相同，一班的男生人数与二班的女生人数相同，三班的男生人数占全年级男生的，那么全年级女生占全年级学生的几分之几？(第三届“祖冲之杯”小学数学竞赛题)

43、解：由“三班各班的学生人数相同”和“一班的男生人数与二班的女生人数相同”可知，一班和二班男生人数的和正好等于一个班的人数，即，一班和二班男生人数的和占全年级人数的。再由“三班的男生人数占全年级男生的”可知，一班和二班男生人数的和占全年级男生人数的1。从而全年级男生占全年级学生人数的÷，于是全年级女生占全年级学生的1。练 习 九1一只空水缸，早晨放满了水。白天用去了，傍晚又用去29升，这时，水缸中的水比半缸多1升。求早晨放入水缸多少升水？(第七届“小学生学习报”数学竞赛初赛题)2. 某校选派360名学生参加夏令营，结果发现男生只占，为了使男生占到，又增派了一批男生，又增派了男生多少人？

44、3. 食品公司运进一批橘子，第一天卖出全部的，第二天卖出剩余的，第三天比第一天少卖，这时还剩50kg。这批橘子共有多少千克？4. 学校植树，第一天完成了计划的，第二天完成了余下计划的，第三天植树55棵，结果超过计划的。原计划植树多少棵？ 5. 甲数除以乙数，商是，甲数增加7后，商是，那么甲、乙两数各是多少？ 6. 客车从甲站开往乙站，货车同时从乙站开往甲站，客车行到全程的的地方与货车相遇。如果客车每小时行56km，货车9小时行完全程，求甲、乙两站之间间距多少千米？ 7. 水果超市有一批苹果，第一天批发出，第二天批发出剩下的。第三天运进一批苹果，数量是第二天批发后剩下的一半。这时水果超市有279

45、kg苹果。问水果超市原来有多少千克苹果？ 8. 华舍实验学校六年级的男生比女生多9名，且男生人数的与女生有数的相同，求六年级一共有有学生多少名？ 9. 小虎的藏书还没有超过50本，其中的画册，是故事书，是数学书，还有1本脑筋急转弯。小虎有藏书多少本？10一堆桃子，第一只猴子取走了全部的，第二只猴子取走了全部的(n为自然数)，还剩下26只桃子留给了第三只猴子。这堆桃子共有多少个？(2004年浙江省小学数学竞赛试题) 11. 唐僧师徒四人吃了许多馒头。唐僧和猪八戒共吃了总数的, 唐僧和沙僧共吃了总数的, 唐僧和孙悟空共吃了总数的, 那么唐僧吃了总数的几分之几? (1995年全国小学数学奥林匹克决赛

46、题)12有三堆棋子，每堆棋子数一样多，并且都只有黑、白两色棋子。第一堆里的黑子和第二堆里的白子一样多，第三堆里的黑子占全部黑子的，把这三堆棋子集中在一起，问白子占全部棋子的几分之几？(第一届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛试题)第十讲 分数应用题(二) 例1把甲、乙、丙三根铁棒竖直地插入水池中。已知三根铁棒在水面以下的长度相等，而甲铁棒有露出水面，乙铁棒有露出水面，丙铁棒有露出水面，并且三根铁棒的长度之和为360cm。问水池中的水有多深？解：因为三根铁棒在水面以下的长度相等，所以甲铁棒的1，等于乙铁棒的1，也等于丙铁棒的1，于是有下面几种解题思路：(1)如果把甲铁棒的长度看作单位“1”，乙铁棒的长

47、度就是甲铁棒的÷，丙铁棒的长度就是甲铁棒的÷，所以甲铁棒的长度是360÷(1)180(cm)，水深是180×45(cm)。(2)如果把乙铁棒的长度看作单位“1”，甲铁棒的长度就是乙铁棒的÷，丙铁棒的长度就是乙铁棒的÷，所以乙铁棒的长度是360÷(1)105(cm)，水深是105×45(cm)。(3)如果把丙铁棒的长度看作单位“1”，甲铁棒的长度就是丙铁棒的÷，乙铁棒的长度就是丙铁棒的÷，所以丙铁棒的长度是360÷(1)75(cm)，水深是75×45(cm)。(4)如果把水深看

48、作单位“1”，甲铁棒的长度是水深的1÷4倍，乙铁棒的长度是水深的1÷2倍，丙铁棒的长度是水深的1÷1倍，三根铁棒长度的和是水深的4218倍，所以水深360÷845(cm)。 例2 甲、乙两人一共做了84个零件，其中甲做的与乙做的共58个。求甲、乙人各做了多少个零件？解法一：甲做的与乙做的一共的84×63(个)，比58个多63585(个)，对应于甲的，所以甲做了5÷40(个)，乙做了844044(个)解法二：甲做的与乙做的一共是84×52.5(个)，比58个少5852.55.5(个)，对应于乙的，所以乙做了5.5÷4

49、4(个)，乙做了844440(个)。例3足球门票原来15元一张，降价后观众增加了一半，收入增加了，那么一张门票降价多少元？(1994年全国小学数学奥林匹克初赛题)解：设原来的收入为“1”，现在的收入就是1，如果观众不增加，收入就只有(1)÷(1)，对于每张门票的价格变化，情况也是这样，因此每张门票降价15×(1)3(元)。例4某校有学生465人，其中女生的比男生的少20人，那么男生比女生少多少人？解：女生的比男生的少20人，也就是说女生的比男生的少10人，还可以说女生的全部比男生的少30人。所以，男生有(46530)÷(1)225(人)，女生有465225240(

50、人)，男生比女生少24022515(人)。练 习 十1甲、乙两袋米的总质量是220kg，甲袋米吃了、乙袋米吃了以后，这时，甲袋米的质量是乙袋米的1倍。求甲、乙两袋米原来各有多少千克？2一名工人加工一批机器零件，第一天完成任务的，第二天完成了剩下部分的，第二天比第一天多完成20个。问：这批零件共有多少个？ 3. 有 A、B、C、D、E 五筐苹果。如果把 B 筐中苹果的一半放入 A 筐，把 C 筐中苹果的 放入 B 筐，把 D 筐中苹果的 放入 C 筐，把 E 筐中苹果的 放入 D 筐，那么五筐苹果就都是 30 kg。原来每筐苹果各有多少千克？ 4一块地里的西红柿喜获丰收，摘下全部的 时，装满了若

51、干筐还多 24 kg，摘完其余部分后又装了 6 筐。共摘西红柿多少千克？ 5. 一批货物, 第一天运走 20 t, 第二天运走的比第一天多 , 还剩总数的 , 这批货物有吨? (1999年全国小学数学奥林匹克决赛题) 6. 有梨和苹果两种水果, 梨的个数比总数的 少 17 个, 苹果的个数比总数的 少 31 个, 梨有多少个? (1944年全国小学数学奥林匹克决赛题) 7. 甲乙丙丁四人去买电视机，甲带的钱是另外三人所带总钱数的一半，乙带的钱是另外三人所带总钱数的，丙带的钱是另外三人所带总钱数的，丁带910元，四人所带总钱数是多少元？(2001年全国小学数学奥林匹克决赛题)8一批苹果平均分装在

52、20个筐中。如果每筐多装，可以节省多少只筐？(第十届小学生学习报数学竞赛决赛题)9库房有一批货物，第一天运走20t，第二天运的吨数比第一天多，还剩这批货物总重量的，这批货物有多少吨？10师徒二人共同加工170个机器零件，师傅加工零件分数的比徒弟加工零件分数的多10个。那么，徒弟一共加工了多少零件？(北京市第十五届“迎春杯”数学竞赛决赛题)11加工一批零件，原计划每天加工15个，若干天可以完成。当完成加工任务的时，采用了新技术，效率提高了，使得完成任务的时间提前了10天。这批零件有多少个？(“我爱数学”小学数学竞赛题)12图书馆内座无虚席，后来看书的人走了又进来21人。这时座位不够了，只好是12

53、人每两人挤在一起坐一个凳子。学校图书馆有多少个席位？第十一讲 分数应用题(三) 例 1 小明和小刚共买了10支铅笔，小明给小刚1支后，小明铅笔支数的等于小刚铅笔支数的。小明、小刚原来各买了多少支铅笔？ 解法一：小明给小刚1支以后，小明的支数是小刚的÷1，小刚有10÷(11)4(支)，原来有413(支)，小明原来有1047(支)。解法二：小明给小刚1支以后，小明与小刚铅笔支数的比是32，小明有10×6(支)，原来有617(支)，小刚原来有1073(支)。例2甲、乙两个仓库，乙仓库原有存货1200t，当甲仓库的货物运走，乙仓库的货物运走以后，再从甲取出剩下货物的放入乙

54、仓库，这时，甲、乙两仓库中的货物重量恰好相等。求甲仓库原有存货多少吨？(北京市第十三届“迎春杯”数学竞赛初赛题)解：乙仓库的货物运走以后，还剩下1200×(1)800(t)，相当于甲仓库运走后剩下货物的(1×2)，这时甲仓库有货物800÷1000(t)，所以甲仓库原有存货1000÷(1)1875(t)。例3某校四年级原有两个班，现在在重新编为三个班，将原一班的与原二班的组成新一班，将原一班的与原二班的组成新二班，余下的30人组成新三班。如果新一班的人数比新二班的人数多，那么新一班和新二班各有多少人？(1993年全国小学数学奥林匹克初赛题)解：依照题意，也

55、就是将原来两班的组成新一班和新二班，所以余下的30人占原来两班的1，原来两班共有30÷72(人)。新一、二班共有723042(人)，新一班的人数比新二班的人数多，所以新二班有42÷(11)20(人)，新一班有422022(人)。例4在一次节日游园会上，规定：第一位入场者可以取1件礼品和剩下礼品的；第二位入场者可以取2件礼品和剩下礼品的；第三位入场者可以取3件礼品和剩下礼品的；依此类推。直到准备的礼品全部取完为止。结果发现，得到礼品的人所取礼品的件数都相等。那么，一共准备了多少件礼品？得到礼品的共有多少人？解：设礼品的总数为x件。依题意，第一人得到：1×(x1)x；第二人得到：2×x(x)2x。因为第一人和第二人得到的礼品件数相等，所以xx，解得x81。每人得到×819(件)，得到礼品的共有81÷99(人)。练 习 十一 1. 有一堆煤，