高中数学 教学教研(名师研讨 教学设计 数学解题 反思 总结) 蜜蜂周报 第5期

1、蜜蜂周报 第五期蜜 蜂 周 报第 5 期（2020 年 4 月 13 日-4 月 19 日）蜜蜂周报 第五期关于数学解题学习的几个关键词l 联系我所解决的每一个问题都将成为一个范例,用来于解决其他问题。笛卡尔l 反思没有任何一道题可以解决得十全十美，总剩下些工作要做，经过充分的探讨总结，总会有点滴的发现，总能改进这个解答，而且在任何情况下，我们总能提高自己对这个解答的理解水平。波利亚l 分类恰当地对题目、对解法进行分类，能让你的解题经验更加有序，更有结构化地在大脑里记忆，便于你解题时进行检索，确定解题方法。沃兹基硕德蜜蜂周报 第五期2020 年第 5 期目录1.无中生有，移花接木几种双变量问题

2、中的换元法.12.若即若离椭圆与圆的公共点问题 .43.这个镇在地图上找不到，但是题不错（阿氏圆）.104.台球不是玩的，看看就行了 .175.有点神奇，不确定的长方体，固定的线段比例.216.样子怪的题的往往很难三元条件最值.257.小巧玲珑的题角分线长度 .278.一个二维到三维的类比二面角的正切.289.辅助角公式的又一次高级应用兼记一道题的延伸.2910.这是个易错题？导数构成的分式型不等式.3211.从距离到距离直线和抛物线的最值问题.3512.难以回避的三次方程？看起来常规的抛物线问题.3713.经久不衰的命题载体正方体又出现了.40蜜蜂周报1-4 期下载方式.43蜜蜂周报 第五期

3、1.无中生有，移花接木几种双变量问题中的换元法为什么我在开篇关于数学解题学习的几个关键词要提到“分类”这个关键词呢，就是因为，这首先是我的个人感受，一个很深刻的感受。至少作为一个数学老师，你做的题越多，你就越不自觉地进行着分类，对一些有意思的现象（解题经验）进行着“分类汇总”，这种行动开始可能是“不成熟的”，不成体系的，没关系，随着你的解题经验，你遇到的问题的数量增多，这种分类就越发成形。总能听到有老师对学生说你要注意总结！总结是什么，其实总结就是分类，对题目进行分类，对解法进行分类，只要你认为稍有关联的现象就可以放在一起。下面的内容， 就是我在最近遇到的几个题，我的一点思考。下面这个题，出现

4、在蜜蜂周报第四期的 15 题，这个方法的特点是：注意到了所求式子的特点，是两个因式相乘的形式，而这两个因式结构上又有关系，联立起来恰好可以求出 x，y，所以这样就把原来关于 x，y 的二元变量 换蜜蜂周报 第五期 1蜜蜂周报 第五期为关于 a，b 的二元变量问题。旧的变量走了，来了新的变量，更重要的是，有了新变量的参与，目标函数的代数结构发生了不小的变化，导致产生的新问题是比原来的问题容易解决了！再看一例：这个题出现在蜜蜂周报第四期的第 3 题：在那期中，这个题是为了说明“恒等式法”而举的例子，当然，它的解法应该很多，恒等式法也不是最简洁的方法，这些不细说。蜜蜂周报第四期发布的当晚，有个学生说

5、他有另外一种解法：蜜蜂周报 第五期 2蜜蜂周报 第五期我重新打了一下：因为 a2 + c2 - ac = 3，所以设 a = x + y,c = x - y ，带入原式，得 1 2 2 1x + y = ，然后三角3换元，ì =ïxíîy3 cosasina，则目标函数变为 2a +c = 3x + y = 3 3 cosa +sina = 2 7 sin(a +j) £ 2 7 ！你看，也是一种换元法。可见，就二元最值问题，换元有两种：（1） 将已知中的变量换元；（2） 将目标函数中的两个代数式换元；蜜蜂周报 第五期 3蜜蜂周报 第五期2.若

6、即若离椭圆与圆的公共点问题最初是看到这个题解法如下蜜蜂周报 第五期 4蜜蜂周报 第五期两个公共点的类似题蜜蜂周报 第五期 5蜜蜂周报 第五期一个类似题，椭圆与圆有四个公共点蜜蜂周报 第五期 6蜜蜂周报 第五期蜜蜂周报 第五期 7蜜蜂周报 第五期2016 浙江那道高考题的解法，来自兰琦大神的公众号蜜蜂周报 第五期 8蜜蜂周报 第五期蜜蜂周报 第五期 9蜜蜂周报 第五期3.这个镇在地图上找不到，他们喜欢阿氏圆我们看 2020 年苏锡常镇一模的 14 题。这个“镇”的模拟题经常有一些比较高质量的，有意思的题目。如果你对高考题比较熟悉，这个题已经条件中的某个结构会让你立马想起某年的高考题。先贴一下洪老

7、师的向量法：蜜蜂周报 第五期 10蜜蜂周报 第五期洪老师的向量的解法依据代数关系，具有一般性。实际上，这里有一个隐含关系O 是 CD 的中点，这个用平面几何的方法证明，如下：得到 OC=OD 后，这相当于增加了一个已知条件，解法就比较多了。因为易知 4SD = SD ，所以问题就转化为求BOD 面积的最大值。ABC BOD原题条件：AB = 4, AD = BD, AE = 2EC,OB = 2OC ，求SD 最大值ABC现在的问题变成了：BD = 2,OB = 2DO，求SD 最大值。ABC蜜蜂周报 第五期 11蜜蜂周报 第五期这就是一个比较常规的问题了，高考也考过。就是下面这个：利用阿氏圆

8、解法比较简单，如下：仍然是以 OC=OD 为条件，有人还给出了下面的解法：sinq 2 0 -sinq = × £1这个解法中也可以这样得到： （构造单位圆，数形结3 2 2 cosq 3 2 q- 2 -cos4合利用斜率）还有个解法蜜蜂周报 第五期 12蜜蜂周报 第五期相关题：（这个题也是根源于 2008 江苏高考 13 题）蜜蜂周报 第五期 13蜜蜂周报 第五期蜜蜂周报 第五期 14蜜蜂周报 第五期蜜蜂周报 第五期 15蜜蜂周报 第五期（以上信息来源：作者 张培强老师已知等腰三角形腰上的中线长为，则该三角形的面积的最大值蜜蜂周报 第五期 16蜜蜂周报 第五期4.台球不

9、是玩的，看看就行了一个清晰的图这是个不错的题。至于台球这个背景有没有都行。条件比较新颖，也不是很难，解法还挺多，这就是一个好题了。蜜蜂周报 第五期 17蜜蜂周报 第五期向量法很赞，有一种“直捣黄龙”的气势！蜜蜂周报 第五期 18蜜蜂周报 第五期下面这个方法，是最简洁的，把所有条件都放进一个三角形了！有老师进行了解法的整理：上面是解法的探寻。蜜蜂周报 第五期 19蜜蜂周报 第五期后来我又多想了一点：这样的正方形存在吗？我们在解题的时候，都是画的示意图，是按存在做的。于是我试了画了一下，徒手画感觉总是画不出这个正方形，搞不清它是怎么待着的，可能是因为误差比较大吧，后来就用几何画板，因为不会把线段固

10、定长度，角度固定，只能是近似的画，所以多少还有有误差。似乎是存在的。心里还不太放心。然后我想，能否从代数角度，进行严格论证，是否存在这个正方形？之所以对这个问题感兴趣，其实是因为我非常好奇命题者是怎么把这个题编出来的，是经过了什么顺序，流程？他怎么保证在各种条件下这个题的科学性。于是，经过几次探索，我发现有一个基本的现实，我给忽略了，就是，现在这个图形里各个边和角都是可以算出来的，这一算才发现。它是这么一个特殊的结构，有直角，有 30 度，60 度，于是，就有了下面的推理：应该说这个题的数据设计的还是很巧的，O 那里恰好就是直角。相关角度都比较好算。好算，就好验证存在性。这样就从理论上证明了这

11、个正方形的存在。蜜蜂周报 第五期 20蜜蜂周报 第五期5.有点神奇，不确定的长方体，固定的线段比例我选中这个题的原因是：看完了题，我比较惊奇，在长方体中，没有给出任何长度，这个比值竟然是定值。看来这里一定存在着什么秘密。我的解法算是传统方法，直接作出交点 O,需要比较多的平面几何知识。确定交线是依据：（作截面往往需要用到这两个依据）（1）直线和平面 平行，过这个直线的平面与平面 的交线是 b，则 a，b 平行。（2）如果两个平面有公共点，则这两个平面必有一条交线，所有的公共点都在交线上。第二种传统方法蜜蜂周报 第五期 21蜜蜂周报 第五期上面的方法，并没有精确的确定 O 的位置，关键是过两点做

12、平行线找到和截面交点来算比值。和我的方法比较，我的是上下找相似，它是前后找相似。还可以利用体积比的方法。构造两个以 EFC 为底的三棱锥，D-EFC，B1-EFC，这两个三棱锥的体积比，就是距离比。蜜蜂周报 第五期 22蜜蜂周报 第五期可以看到，体积转化是比较难想到的，辅助线已经做到了长方体外部。有老师提供了向量法，那关键就是确定点 O 的位置。即使是向量法，求点 O 的方法也是不唯一的，有两个方法；解法 1解法二，蜜蜂周报 第五期 23蜜蜂周报 第五期按着时间顺序，我是最后想到下面的方法。还是按着体积的思路直接求体积不好求，转化也比较难想，那干脆就用减法，把长方体大卸八块，差不多真的是八块，

13、把不好求的那个三棱锥体积算出来。下面这个图能否让你更直观了解问题蜜蜂周报 第五期 24蜜蜂周报 第五期类似题6.样子怪的题的往往很难三元条件最值这题很难，拼凑的技巧很高：蜜蜂周报 第五期 25蜜蜂周报 第五期如上图，二次判别式也可以。蜜蜂周报 第五期 26蜜蜂周报 第五期7.小巧玲珑的题角分线长度第二种蜜蜂周报 第五期 27蜜蜂周报 第五期8.一个二维到三维的类比二面角的正切我的解法如下：相关题一个：蜜蜂周报 第五期 28蜜蜂周报 第五期搜题软件中的这个题的条件是等腰直角三角形，如果放开条件：在一个直角三角形中，就会存在最值问题了。如下图：在直角三角形中，P, Q 是 AB 的两个三等分点，求

14、角 PCQ 的正切的最大值。解法和立体那个一样，用两角差的正切公式。这个和前面那个题可以看成是二维到三维的类比。9.辅助角公式的又一次高级应用兼记一道题的延伸题目如下：我一看到这个题，马上就想到前一阵做过的，使用了“辅助角的高级应用”的题，结构有相似之处（见蜜蜂周报第 2 期 15 题），马上如法炮制，果然可行，如下：蜜蜂周报 第五期 29蜜蜂周报 第五期然后有老师提供了更简洁的方法，对比之下，我的解法太麻烦了！不过看到这个解法后，我并没有停止思考，我觉得它这个方法的价值还可以再挖掘，最小值也可以求啊！但是要给一个约束条件：锐角三角形。如下：（图中那个应该是大于）当然，二分之一并不一定是最小值

15、，上面的证明只能说明大于二分之一。于是我们陷入了探寻它的最小值的征程。实际上，最小值就得用高级武器了，褚小光老师用的是拉乘：蜜蜂周报 第五期 30蜜蜂周报 第五期有人用数学工具软件验证如下：蜜蜂周报 第五期 31蜜蜂周报 第五期现在问题已经很完美了，我们得到的结论是：在锐角ABC 中， 2 ³ 2 sin C +sin Asin B >1 .我的思考还是没有停止：因为我觉得右边这个不等式很简洁很漂亮啊，这是一个多么好的证明题！我要去试着证明它！经过了一些尝试，最后终于成功了。还是要想办法消元，3 个变量变两个，能变一个更好！如下：解法中用到了放缩。回顾思考的心路历程，能成功解决

16、问题带有一定的摸索或者说运气成分，不过也是在一些指引之下，比如， 2 ，1，这两个数字在三角函数中有丰富的含义，让人不得不联想：最值，正方形，45°等等。对，我甚至想过正方形中数形结合，但没有成功。因为要想办法减少变量，我脑子里是有这个不等式的“sin A+cos A >1（A 是锐角）”，一尝试，果然可以用来放缩。所以再次说明，要解题成功，脑子里是需要储藏很多知识、经验的，在适当的时候能提取、联系起来。10.这是个易错题？导数构成的分式型不等式这个题我以前见过，没特别在意。然后有学生在做，提出了一个疑问：蜜蜂周报 第五期 32蜜蜂周报 第五期他的疑问就是：为什么 1/e 要取

17、等呢？那样分母不是为零了吗？他的问题让我注意到这个题的价值。恰好前一阵我是见过小丸子（王海刚）讲过这个题的，当时没怎么在意，就去 B 站转了过来。其实问题很好解释，因为首先要保证，分母是不为零的，所以那个分母函数的极值是取不到的，那么 a 自然就可以等于极值了。有兴趣的可以扫码看看小丸子怎么讲的这个题。我把两个最重要的步骤截图了：蜜蜂周报 第五期 33蜜蜂周报 第五期注意函数定义域，首先要让分母不为零，所以定义域不是零到正无穷。所以分母函数的极值是取不到的，所以 a 可以取等号。这里是个坑。蜜蜂周报 第五期 34蜜蜂周报 第五期11.从距离到距离直线和抛物线的最值问题说的是下面这个题（温州 4

18、 月份二模）一种解法如下：我简单重复录入一下：1设 2 x + x ) + (x +1+ x )P(x , x +1), Q(x , x ) ，则所求距离表达式为： （ 2 2 ，下面转换1 1 2 2 1 2 1 22 场景：1把这个两点间距离看成另外两个点的距离，即 x + x )2 +x + (1+ x 2 )（ ，表示两个点1 2 1 22(x , x ), (-x ,-(1+ x 2 )之间的距离，就是上图中画的，直线 y = x ，抛物线 y = -(1+ x2)1 1 2 2之间的距离，这个比较好求，最后算出二者的最小距离是3 28，则所求值为3 216。这个解法把一种距离，转化

19、成了另外一种距离，在我看来，不太自然，从距离到距离，总感觉有点怪，是不是多此一举？不这样做有没有更直接一点的解法？最后我果然找到了这个题的直接方法，可以说是几何法。看下面的图。蜜蜂周报 第五期 35蜜蜂周报 第五期我们先把 Q 固定，这时不难知道：当 M 在直线 l：y=x+1 上移动时，二者连线的中点 M 的轨迹是一条直线，与 l 平行，如果过 Q 作一条与 l 平行的直线的话，轨迹直线恰好在两条平行线之间，与他们等距。这个时候，要求原点 O 和 M 之间距离的最小值，只需要过原点 O 向轨迹做垂线，设垂足为 M，点到直线的距离即为所求。那么这时点 M 怎么求呢，只需要连接 QM，延长与直线

20、 l 相交即得 M。所以不用担心 M 的存在性。上面的分析明白了就好办了。刚才是让点 Q 固定，现在让它动起来。易知，点 Q 越靠上，刚才那个点线距越大，因此要求最小值，就得让点 Q 尽量靠下，不断地过 Q 做 l 的平行线，然后再做那个轨迹直线，那么在抛物线上最靠下的、能做与 l 平行线的位置，就是切点Q ，下面的计算过程就是上0图里的。这就是本题的直接方法。下面我想说的是：我得到这个直接解法，并不是正面分析得来的。我采取的方法是从罗增儒教授那里学来的，叫做“结果是已知条件”，这是进行解题研究经常采用的方法。我记得罗教授的很多解题研究文章都是这样把结论当成已知条件，带回原问题，这样会加深对问

21、题的理解，也能比较容易地发现更深层次的问题或者多种解法。当然，你可以说这不就是“事后诸葛亮”吗，对！是的！好，我们看一下这个题我是怎么做的。接第一种解法：1目标距离达式为： （ 2 2 ，我们把这个两点间距离看成另外两x + x ) + (x +1+ x )1 2 1 2 21个点的距离，即 （x + x )2 +x + (1+ x 2 ) ，表示两个点 (x , x ), (-x ,-(1+ x 2 )之间1 2 1 2 1 1 2 22的距离，几何意义是直线 y = x ，抛物线 y = -(1+ x2 ) 之间距离。1 5不难知道，当二者之间的距离取得最小值时，抛物线上的点是(- ,- ) ，直线上的2 4 7 7点是(- ,- ) ，这是转换