数学史知识提要

1、 数学简史知识提要1 数学史的意义及研究对象：数学史是研究数学概念、数学方法和数学思想的产生、发展及其规律的科学。主要对象包括：重要数学成果、重大数学事件和重要数学人物，及其与社会、政治、经济和一般文化的联系。2 数学文化的特点 数学史在整个人类文明史上有着特殊地位，这是由数学的文化特点决定的。数学文化特点有以下几个方面：（1）数学以抽象的形式，追求高度精确、可靠的知识。（2）数学追求最大限度的一般性模式特别是一般性算法的倾向。（3）数学是创造性活动的结果，追求艺术和美的特征。3历史上对数学的认识：亚里斯多德：量的科学；笛卡儿：顺序与度量的科学；恩格斯：空间形式与数量关系；美国学者：关于模式的

2、科学。第一章 早期数学 主题：以实用为主的早期数学的形成与发展早期数与形概念产生于“河谷文明”。兴起于埃及（尼罗河）、美索不达米（亚底格里斯河和幼发拉底河）、中国（黄河和长江）、印度（印度河和恒河）等河谷地区的古代文明，史称“河谷文明”。1数与的起源（1）早期记数：手指计数、石子记数、结绳记数和刻痕记数。（2）早期的记数系统：除了巴比伦采用60进制，玛雅采用20进制，其他文明诸如：印度、中国、希腊等均属十进制数系。（3）几个文明地区几何学来源：古埃及 测地和测量；古印度 宗教；古中国 天文观测。2古埃及（1）主要文献：象形文字；两部纸草书：莱茵德纸草书（84个问题）和莫斯科纸草书（25个问题）

3、。（2）主要成果：十进制为基础的记数系统，没有位值概念；单位分数是埃及数学一个重要而有趣的特色；几何问题大都与土地面积和谷堆体积计算有关，特别是正确的平截头方锥体体积公式是一个突出贡献。（3）古代埃及早期数学发展的特点：古代埃及数学是实用数学；古代埃及人没有命题证明的思想，不过他们常常对问题的数值结果加以验证；古埃及人的面积、体积算法对精确公式与近似关系往往不作明确区分，这又使他们的实用几何带上了粗糙的色彩；古代埃及的数学发展具有和它文明一样的静止特性。莱茵德纸草书和莫斯科纸草书中的数学，就像祖传家宝一样世代相传，在数千年漫长的岁月中很少变化。3美索不达米亚（1）文献：楔形文字；泥版文书，特别

4、是普林顿322泥版文书中的“勾股数组”显得突出。（2）主要成果：60进制的记数系统，创造了位值记法（位值原理是他们的一项突出成就），位值原理（同一个记号在数中的相对位置而赋予不同的值），没有零号；利用数表进行计算，使计算更加简捷，代数成就突出（讨论了线性方程和简单的二次、三次方程）；几何与测量相联系。（3）古代美索不达米亚地区数学的特点：古代美索不达米亚数学主要是解决各类具体问题的实用知识；处于原始算法积累时期；几何学作为一门独立的学问甚至还不存在。巴比伦泥版文书中汇集的各种图形面积、体积的计算法则，本质上属于算术的应用。4 中国 （1）文献：甲骨文；老子、周易、墨经。（2）成果：十进制；筹算

5、；河图洛书；八卦与组合数学思想；墨经中的几何定义和逻辑思想；极限、运筹学思想等的萌芽。第二章 古代希腊数学 主题：论证数学的形成与发展1论证数学的开端 ：论证数学的鼻祖：泰勒斯（前625前547）和毕达哥拉斯（前580前500）。（1）泰勒斯：发现了许多几何命题（圆被直径平分）；开创了几何命题的逻辑论证；天文测量。他的逸闻趣事具有很好的教育意义。（2）毕达哥拉斯及其学派致力于哲学与数学的研究，提出了“万物皆数”是信念，推动了证明的逻辑信念的形成。 主要成果：发现毕达哥拉斯定理及其数组；几何定理的证明；正多边形（正五和正十边形）与正多面体作图；形数（把数看成形进行研究）；完全数（一个整数互为另一

6、个的不包括自身的因数之和）；亲和数（两个整数互为另一个的因数（不包括自身）之和）；不可公度量（实质是证明了是无理数）的发现。（注：什么是“可公度量”？对于任何两条给定的线段，总能找到某第三线段，以它为单位线段能将给定的两条线段划分为整数段。这样的两条线段为“可公度量”，即有公共度量的度量单位。这是古希腊毕达哥拉斯学派对世界任何量都能表示成两个整数比信念的反映。）2雅典时期的学派活动（1）诡辩学派，主要贡献是三大几何问题作图的研究，指在“尺规（没有刻度的直尺和圆规）作图”的前提下，完成下列作图。 化圆为方：作一正方形，使其面积等于一已知圆。 倍立方体：求作一个立方体，使其体积等于已知立方体的两倍

7、。 三等分角：分任意角为三等分。希腊数学家安提丰在研究“化圆为方”中提出了“穷竭法”思想。在解决“倍立方体”问题中，柏拉图学派的梅内赫莫斯发现了“圆锥曲线”。在解决“三等分角”问题中，诡辩学派的希比阿斯发明了“割圆曲线”。但是古希腊人都无法严格遵循尺规作图的限制，直到19世纪数学家用现代数学知识证明了三大几何问题不能用尺规作图解决，在代数方程论基础三证明倍立方和三等分角不成立，在证明的超越性基础上证明化圆为方的不可能性。（2）埃利亚学派，以芝诺为代表，主要贡献为芝诺悖论关于无限性概念的探索，他们提出了四个“悖论”（即：两分法，阿基里斯，飞箭不动，运动场），将无限性概念的困难揭示无遗，前两个针对

8、事物无限可分的观点，后两个针对不可分无限小量。（3）雅典学派（柏拉图学派）：分析法和归谬法。（4）亚里斯多德学派：创立逻辑学，为演绎几何体系形成奠定了方法论的基础。3亚历山大时期（全盛时期） 主要代表人物：欧几里得、阿基米德和阿波罗里奥斯（1）欧几里得： 主要代表作原本（又称为几何原本）。他用公理化方法对当时的数学知识作了系统化、理论化的总结。全书分为13卷，包括有5条公理、5条公设、119个定义和465条命题，构成了历史上第一个数学公理体系。原本是数学史上的一座理论丰碑，最大的功绩就在于数学中的演绎范式的确立，即公理化思想。（注：现代的公理化方法的确立是希尔伯特19世纪末完成的）。原本成为最

9、广泛流传的的学术著作，影响深远。原本不仅是传世的教育经典，而且成为后世的学术典范。原本的公理化思想：公理化思想是古希腊时期在欧氏几何中确立数学演绎范式。这种范式要求一门学科中的每个命题必须是在它之前已建立的一些命题的逻辑结论，而所有这样的推理链的共同出发点，就是一些基本定义和被认为不证自明的基本原理公理或公设。这就是所谓的公理化思想。（2）阿基米德：著作众多，成就涉及数学、力学（被称为：“力学之父”）和天文学。数学著作集中探讨面积和体积计算相关的问题：阿基米德公式（海伦公式）；椭圆面积；球表面积；用“平衡法”求球的体积公式（最早的）。（3）阿波罗尼奥斯：主要贡献涉及几何学和天文学，主要著作为圆

10、锥曲线论，共8卷，487个命题。最主要的是数学成就是创立了完美的圆锥曲线理论，广泛讨论了圆锥曲线的性质，甚至包含了现代微分几何和射影几何的思想和萌芽。阿波罗里奥斯第一次从一个对顶圆锥得到所有的圆锥曲线，并命名椭圆、双曲线和抛物线。圆锥曲线论是希腊演绎几何的最高成就，阿波罗里奥斯用纯几何的形式，推出了今天解析几何的主要结论。4亚历山大后期（希腊数学的衰落） 特点：从论证数学转向“算术”“三角”及重实用的数学（1）海伦：主要讨论几何图形的面积和体积计算，如海伦公式；光反射定理等。（2）托勒密：主要成就在三角学，代表作天文学大成；托勒密定理和弦表（第一个有明确的构造原理并流传于世系统的三角函数表）；

11、第一个怀疑“平行线公设”。（3）梅涅劳斯定理（与塞瓦定理）（4）丢番图：算术用纯分析的途径处理数论（不定方程）与代数问题（符号化），是希腊算术与代数成就的最高标志。（5）帕波斯：数学汇编主要荟萃总结前人的成果，同时也有创造性的成果。许多宝贵资料正是数学汇编的记载得以保存。5古希腊数学的成就与特点： （1）古希腊数学成果众多，人才辈出，创立了几何学、三角学，奠定了数论基础以及极限思想的萌芽；（2）开创命题论证的理论数学范式，使数学成为一门纯粹的抽象性科学；（3）开创了公理化理论体系，建立了定理证明的严密的逻辑结构；（4）形成了演绎思维的特征，奠定了探索世界的理性精神。第三章 中国古代数学 主题：

12、数学的另一源头算法数学的发展我国传统数学的特点： （1）追求实用，属于实用数学，奠定了我国传统数学典籍以“问题集”的编排框架。九章算术是一本数学问题集著作，问题针对社会生活，生产实践中应用问题，反映了我国传统数学与的人们生活实际需要密切联系。同时，对问题进行分类形成章目，以问题集的形式，形成了“问-答-术”的编排框架。（2）着重算法的概括，寓理于算。我国传统数学以“术”概括算法，具有强烈的算法特征，不讲究命题的形式推导。我国传统数学创造了大量结构复杂、应用广泛的算法。算法不只是单纯为了计算，而是为了解决一整类实际或科学问题而概括出来的、带一般性的计算方法。（3）模式（模型）化思想方法突出。我国

13、传统数学的算法反映了一类问题的解决，具有广泛适用性，显示了模式（模型化）的数学思想方法。（4）归纳思维模式突出。我国传统数学的思维方式不能简单看成是经验法则，而是形成了一种归纳思维方式。成果既是归纳思维模式的结果，又反映了归纳数学思维模式的特征。我国数学发展三次发展高潮：两汉时期、魏晋南北朝时期和宋元时期，宋元时期达到中国数学顶峰。1两汉时期（前2C-3C） 主要著作：算数书、周髀算经、九章算术。（1）算数书：19831984年，在湖北江陵张家山的汉墓中出土算术书，是早于九章算术的数学书（不晚于公元前140年成书）。其中包含丰富的数学知识，而以分数运算最为突出。（2）周髀算经（公元前2世纪西汉

14、之前）这是我国从西周以来汇集起来有关天文和数学知识的早期著作，作者不详。数学知识主要有分数运算、勾股定理及其在天文学上的运用。其中用文字对勾股定理完整表述最为突出，时间可以推溯至约公元前7-公元前6世纪。这是我国勾股定理发现最早证据。中国数学史上最先完成勾股定理证明的数学家是三国时期赵爽，他在注周髀算经中用“弦图”来证明勾股定理。2002年，北京世界数学家大会的徽标就是以“弦图”为基础制作的，以彰显其重要历史意义。（3）九章算术（公元前1世纪之前） 它是我国先秦至西汉中叶长期由众多学着编撰、整理、修改和增删而形成的一部数学著作，是中国传统数学最重要的著作。九章算术包含了246个问题，分为：方田

15、、粟米、衰分、少广、商工、均输、盈不足、方程、勾股，九章。数学内容包括了：数的运算（包括分数的四则运算）、比例（比率）算法、开方算法、线性插值模型的盈不足术、方程、面积、体积、勾股等算术、代数、几何等大部分初等数学知识。其中，以“方程术”、“开方术”、“正负术”最为突出，具有世界意义。2魏晋南北朝时期（220581）代表人物：刘徽、祖冲之父子刘徽：著有九章算术注，海岛算经；“割圆术”和体积理论（割圆术是作为计算周长、面积以及圆周率的基础，割圆术的要旨在于用圆内接正多边形去逼近圆）是最突出的成就（中算史上第一位建立可靠的理论来推算圆周率的数学家）；徽率；“出入相补”原理（一个几何图形（平面和立体

16、的）被分割成若干个部分后，面积或体积的总和保持不变）。 祖冲之父子：著缀术；球的体积的推导和圆周率计算（圆周率的上下限，约率，密率）；祖氏原理：幂势既同，则积不容异。幂指水平截面积，势则指高。因此也就是：两等高立体图形，若在所有等高处的水平截面积相等，则这两个立体体积相等。隋唐时期：主要成就是数学教育制度的确立和数学典籍的整理和“算经十书”。其中孙子算经的“物不知数”问题是关于一次同余组一般解法剩余定理（中国剩余定理）的特殊形式。张邱建算经讨论不定方程问题。辑古算经最早讨论三次方程的数值解法。3宋元时期（9601386）（鼎盛时期）代表数学家（“宋元四大家”）：杨辉、秦九韶、李冶、朱世杰。高次

17、方程数值解是宋元数学的突出成就之一。贾宪：增乘开方法，是一个非常有效的和高度机械化的算法，可适用于开任意高次方（“霍纳算法”1819）。贾宪三角（“帕斯卡三角”1654）。扬辉：主要贡献在于数学的习算，是著名的数学教育家。秦九韶（12021261）：主要著作数书九章（1247），18卷，81题，分九大类。其中以“正负开方术”和“大衍总数术”最为突出。“正负开方术”：是求高次代数方程的完整算法，秦九韶是高次方程数值求解的集大成者。“大衍总数术（中国剩余定理）”：给出了一次同余式一般解的完整算法。秦九韶明确地、系统地得出了求解一次同余方程组的一般方法。李冶：测圆海镜（1248）（“天元术”学术专著

18、）和益古演段（几何和代数方法的通俗著作，作为教本）（1259）。发明了用“天元术”（用于列方程的符号），反映了代数符号化的尝试。朱世杰（1300前后）：算学启蒙（1299）（通俗著作）和四元玉鉴（1303）（“四元术”等学术专著）。突出的成就有“招差数”（即高次内插法），“垛积术”（高阶等差级数求和），“四元术”（多元高次联立方程组与消元解法）。4 明清时期传统数学衰落与中西汇通 明代时期最重要的数学成就是珠算的普及和完善。西方数学的传入，以意大利传教士利玛窦（Matteo Ricci，15521610）来华为起点。他与徐光启（15621633）合译欧几里德几何原本（Elements）前6卷（

19、1607）。 清朝的康熙注意吸收西方科学，但没有推广，同时代的俄国沙皇彼得大帝则建立科学院，促进俄国迈入了一个新时代。 “洋务运动”促进了科学的兴起，但未能达到理想。数学出现第二次翻译高潮，李善兰（18111882）与伟烈亚力（A.Wylie，18151887）合译几何原本后9卷（1857）。他还译了很多数学著作，并作出了出色的数学工作。同时期还出现了华衡芳（18331902）、戴煦（xù）等重要数学家。 元末以后，中国传统数学骤转衰落，衰落的原因主要有：社会历史原因（封建社会的社会局限性阻碍了数学的发展，数学的社会地位低下，数学发展缺乏社会的动力和新思想的刺激）；数学内部的原因（筹

20、算系统的局限性，半符号代数，缺乏演绎的算法倾向，重实用轻理论）。第四章 印度与阿拉伯数学 主题：东方数学及其东西数学交汇印度数学1、三个重要时期：达罗吡荼人（约前3000前1400），吠托时期（约前10世纪前3世纪），悉檀多时期（5世纪12世纪）。2、古代绳法经（测绳法规）（约前8世纪前2世纪）：包括几何和代数计算问题，如勾股定理、圆、求解一、二次代数方程问题。3、“巴克利沙手稿”：涉及丰富的数学，主要是算术和代数问题，特别是其中使用了一些数学符号，如减号，还有完整的十进制数码，有0的符号。4、“悉檀多”时期的印度数学（鼎盛时期）主要内容是算术和代数，著名数学家有：阿耶波多、婆罗摩笈多、马哈维

21、纳和婆什迦罗。阿耶波多（476约550）：阿耶波多历数书（499），突出的是对希腊三角学的改进和一次不定方程的解法，最大贡献建立了丢番图方程求解。 婆罗摩笈多（598665）：婆罗摩修正体系（628）和肯德卡迪亚格（约665），明确把0作为一个数来处理，并阐述了完整的运算法则，对负数也有明确的认识，提出你可了佩尔方程（，a为非平方数），圆内接四边形的面积公式：。 婆什迦罗：他是印度古代和中世纪最伟大的数学家和天文学家，代表作莉拉沃蒂和算法本源代表了印度古代数学最高水平。其中包含有丰富的算术、代数、几何的内容，包含有零的运算法则。“0”号可以说是印度数学的一大发明，“婆罗摩笈多、马哈维纳和婆什迦

22、罗”著作中记述了0的运算法则。阿拉伯数学 范围指815世纪阿拉伯帝国统治下的整个中亚和西亚地区的数学。阿拉伯数学的突出成就表现在代数学方面。1花拉子米（约783850）（花拉子米是中世纪对欧洲数学影响最大的阿拉伯数学家）：著作还原与对消计算概要（通称代数学）。代数学具有重要意义：给出了“代数学”名称，最早探讨代数方程的一般解法，建立了解方程的方法，标志了代数学的诞生。印度计算法，系统介绍了印度数码和十进制记数法，以及相应的计算方法。 2奥马.海亚姆（10551092）：还原与对消问题的论证（简称代数学），开平方、开立方算法，最杰出的贡献是用圆锥曲线解三次方程。3纳西尔.丁：开高次方的一般性算法

23、。4三角学与几何学：阿拉伯天文学家都致力于高精度三角函数表的编制。第五章 文艺复兴前后欧洲数学 主题：向近代数学的过渡 概述：5-11世纪欧洲处于宗教统治中，没有重要的数学成果；12世纪欧洲兴起了向阿拉伯学习，翻译了大量的古希腊和东方著作。东西文化被欧洲吸收，孕育了1517世纪文艺复兴运动。数学上的进步主要有：13世纪出现了重要数学家斐波那契。16世纪，意大利解决了3、4次代数方程的代数求解问题；法国数学家韦达开创了数学代数符号化运动。几何上，三角学已经开始进行系统的理论研究。17世纪，英国的纳皮尔发明了对数，比纳皮尔晚6年，瑞士工匠比尔吉也独立发明了对数；在绘画投影研究中，射影几何也开始萌芽

24、；数论的进步在17世纪，表现在一系列的猜想上，这些猜想引导了这一方向直至今天21世纪，仍然表现出巨大的生命力。不过，这个时期最重要事件仍然是解析几何的诞生，把数学带到了近代数学的门槛，这将在下一章讨论。先声 斐波那契（11701250）：著作算盘书（算经），这是具有东方色彩的名作汇集了源自古代中国、印度和希腊数学问题。书中介绍了完整的印度-阿拉伯数码，对欧洲数学发展影响很大。书中提出了著名的“斐波那契数列”：1,1,2,3,5,8，其中，。代数学的进步 三次、四次方程的求解与符号代数是两个主要的成就。1三、四次方程代数解法的突破过程：费罗（14651520）1515年发现那形如的三次方程的代数

25、解法；塔塔尼亚发现形如的解法；卡尔丹（15011576）在1545年出版大术（大法）（Ars Magna），介绍了三次方程的代数解法；卡尔丹学生费拉里解决了一般的四次方程求解，不久也被写入大术中。 五次及以上代数方程求解问题，在经历了欧拉，拉格朗日等努力下，要等到19世纪，有阿贝尔、伽罗瓦等人才彻底解决，并引导代数学进一步变革。 1572年，意大利数学家邦贝利引进了“虚数”，进一步，荷兰数学家吉拉德1629年提出了“代数学基本定理”，即对于n次多项式方程，如果把“不可约”（复数）根考虑在内，并包括重根，则应有n个根。1799年，这个定理才由高斯第一次给出实质性的证明。 2数学符号化在近代的发展

26、过程：数学符号系统化首先归功于法国大学数学家韦达，他第一次有意识系统地使用代数字母和符号，区分了算术与代数。吉拉德的代数新发现和奥特雷德的实用分析术继承了韦达的做法，推动了数学符号的推广和流行。笛卡尔对韦达所使用的代数符号进行了改进。到17世纪末，欧洲数学家已普遍认识到，数学符号使数学问题具有一般性，并广泛创造了大量的符号。不过，经过历史的检验和淘汰，才最终形成大家所普遍认可的符号，并且具有精确的数学含义，以至于今天数学语言被作为世界普遍使用的符号语言。 3代数学符号化的意义：代数学符号化，是推动数学向近代数学发展最关键的要素，它使得代数学的性质发生了根本的变化。符号化体系的建立，才使代数有可

27、能成为一门科学。近现代数学最为明显的标志之一，就是普遍地使用了数学符号，符号成为现代数学的基本工具，也是数学学习的基本内容。数学符号化不仅体现了数学学科的高度抽象与简炼，而且也是人们把握数学思想，推动数学思维发展必不可少的工具。 4 韦达（15401603）的成就：著有分析引论（1591）、论方程的整理与修正（1615）、有效的数值解法（1600）等方程论著作。这些著作探索了很多代数方程的成果，这些成果成为后来关于高次代数方程探索的起点。几何学的进展 1三角学：雷格蒙塔努斯对三角学作出完整、独立的阐述。三角学进一步发展，是法国数学家韦达所做的平面三角与球面三角系统化工作。16世纪，三角学从天文

28、学中分离出来，成为一个独立的数学分支。 2 射影几何：绘画促进了透视法和投影法，德沙格（15911661）从数学上对此进行了研究，得到了如：投影变换下的交比不变性质；从对合点问题出发首次讨论了调和点组的理论。帕斯卡（16231662），研究投射与取景法，得到了：帕斯卡定理。这些工作在17世纪引导了射影几何的萌芽，出现了一些几何上的新思想和观点：（1）一个数学对象从一个形状连续变化到另一形状；（2）变换与变换不变性；（3）讨论几何图像的相交与结构关系，而不涉及度量。计算技术与对数的发明 1苏格兰数学家纳皮尔（15501617），1614年，奇妙的对数定理说明书用运动与连续的几何量提出了他的对数方

29、法。 2 瑞士工匠比尔吉（15521632）1600年也独立地发明了（但到1620年才发表）对数方法简化天文计算。数学猜想1费马大定理：不存在正整数x、y、z，使得不定方程，对于任意大于2的自然数n有解。这是1637年由费马提出的一个数学猜想，数学史上称为“费马大定理”。1994年，英国数学家怀尔斯证明了这一定理。 2费马小定理：如果p是素数，a与p互素，则可以被p整除。这是费马在1640年提出的。1736年欧拉证明该定理是正确的。3 费马数：形如（）的数都是素数。这是1640年费马给梅森的一封信中提出的。1732年，欧拉推翻了这一猜想，当到16，都是一个合数。 4 哥德巴赫猜想：每个（不小于

30、6的）偶数是两个（奇）素数之和；每个（不小于9的）奇数是三个（奇）素数之和。这是1742年，德国数学家哥德巴赫写给欧拉的一封信中提出的。第六章 解析几何的诞生主题：解析几何的诞生 近代数学本质上可以说是变量数学。16世纪，对运动与变化的研究已变成自然科学的中心问题。变量数学的第一个里程碑就是解析几何的发明。 解析几何的发明归功于法国数学家笛卡儿和费马。过程： 笛卡儿（15961650）：1637发表方法论，该书附录之一几何学中阐述了他的解析几何思想。笛卡尔工作的出发点是一个古希腊问题帕普斯问题。他用解析几何的方法解决了这一问题，清晰表达了点与坐标的对应关系，通过动点满足的几何关系求出了曲线的轨

31、迹方程，并构建了第一个倾斜的坐标系。他还提出了一系列关于坐标系和曲线方程的看法和研究方向，如曲线方程的次数与坐标轴选择无关；利用曲线方程可以求曲线的交点；曲线分类等。 费马（1601-1665）：费马工作的出发点是恢复失传的阿波罗尼奥斯论平面轨迹中某些证明。为此，1629年他写了论平面和立体的轨迹引论的著作。书中费马提出并使用了坐标的概念，建立有坐标系。他将一个动点的位置由两个方向的量（坐标）来确定，并清晰阐述了他的解析几何思想：只要最后的方程中出现两个未知量，我们就有一条轨迹。解析几何的基本思想： 在平面内引进“坐标”的概念，把平面上的点和有序实数对（x,y）之间建立一一对应的关系，即：每一

32、对实数（x,y）都对应于平面上的一个点，反之，每一个点都对应于它的坐标（x,y）。这样，可以将一个代数方程f(x,y)=0与平面上一条曲线对应起来，于是几何问题便可归结为代数问题，并反过来通过代数问题的研究发现新的几何结果。简要地说，在平面上引进“坐标”运算，点与实数对对应，方程与曲线对应，将几何问题化为代数问题，用代数方法研究几何曲线性质。解析几何的重要意义：（1）解析几何使运动与变化的定量表述成为可能，为解决当时科学问题准备了数学工具。（2）解析几何用代数方法来研究几何问题，突破了欧氏几何方法的局限，为几何进一步发展开辟了道路。（3）解析几何的诞生，标志近代数学的诞生，变量开始进入数学。（

33、4）解析几何作为研究变量的工具，为微积分创立奠定了基础。 第七章 微积分的创立 主题：微积分的创立 萌芽与酝酿：1 早期的的微积分思想：古希腊和中国有用无限小过程计算特殊形体的面积、体积和曲线长的例子，都是早期的积分思想和方法。如古希腊的“穷竭法”，阿基米德“平衡法”求球的体积，祖冲之求球的体积公式等。另外，古希腊也尝试过求曲线的切线等微分问题。2 近代酝酿：17世纪上半叶自然科学的发展，使微分学的基本问题成为人们关注的焦点，如：瞬时变化率问题；任意曲线的切线问题；函数极大值、极小值问题；面积、体积、曲线长、重心和引力计算等。 一批数学家沿着不同方向开拓了现代意义的微积分方法。如：开普勒运用无

34、限小方法求旋转体体积；卡瓦列里建立不可分量原理；笛卡儿“圆法”；费马求极大值与极小值的方法；巴罗“微分三角形”；沃利斯“无穷算术”等。 这些工作对微积分的创立奠定了关键的基础。但是这些方法仍然缺乏足够的一般性，而且对于微分与积分的联系也未能明确提出来。因此，还不足以证明微积分的诞生，这关键的一步，还要等到牛顿和莱布尼茨来完成。创立：1 牛顿（16421727）贡献：牛顿一生为近代科学奠定了四个基础：一是创立了微积分，为近代数学奠定了基础；二是进行光谱分析实验，为近代光学奠定了基础；三是建立力学三大定理，奠定了经典力学基础；四是发现了万有引力定理，为近代天文学奠定了基础。牛顿被誉为“有史以来最伟

35、大的科学家”。（1）牛顿创立微积分的过程：1664年，牛顿对笛卡儿几何学中“圆法”发生兴趣并试图寻找更好的方法，这构成了他创立微积分的工作起点。1665年夏至1667年春，在家乡躲避瘟疫期间，牛顿创立了微积分。1665年11月，发明了流数术（微分法）；次年5月又建立了反流数术（积分法），1666年10月，牛顿写成流数简论，在同事中传阅。这是历史上第一篇系统的微积分文献。 流数简论反映了牛顿微积分的运动学背景，此文以速度形式引进了“流数”（即“微商”），并提出了微积分的基本问题。 后来，牛顿不断改进、完善自己的微积分学，先后写成了三篇微积分论文：运用无限多项方程的分析（简称分析学）（完成于169

36、9，发表于1711），流数法与无穷级数（完成于1671，发表于1736（去世之后），曲线求积术（完成于1691，发表于1704）。三篇论文反映了微积分学说的发展过程，并对于微积分的基础先后给出不同的解释。牛顿的积分学说最早公开表述在1687年出版的力学名著自然哲学的数学原理中。 （2）意义：牛顿将自古希腊以来将求解无限小问题的各种特殊技巧统一为两类普遍的算法正、反流数术即微分与积分，并将他统一的算法应用于当时各种重要的微积分问题（多达16类问题），展示了他的算法具有极大的普遍性和系统性。另一方面，牛顿将面积计算与求切线问题的互逆关系明确作为一般规律揭示出来，证明了二者的互逆关系，并将其作为建立

37、微积分普遍算法的基础，从而将这两类运算进一步统一成整体。2 莱布尼茨（16461716）的贡献： 德国数学家、科学家和哲学家，被誉为17世纪的全才。 1672年1676年，莱布尼茨派往巴黎作外交官，这四年奠定了他的学术基础。 他著作涉及数学、力学、机械、地址、逻辑、哲学、法律、外交、神学和语言学。在数学上，除了微积分，还发明了二进制（1679年撰写二进制算术）、行列式、提出了符号逻辑的思想，以电脑了布尔、罗素等人的数理逻辑。他还制作了世界上第一台能做四则运算的计算机。（1）微积分创立过程: 莱布尼茨创立微积分首先是出于几何问题的思考，对帕斯卡和巴罗等著作中的特征三角形的研究，构成了他工作的起点

38、。1673年，他将特征三角形在一般曲线上推广，完成了他的微积分认识：曲线的切线依赖于纵坐标差值和横坐标差值变成无限小之比；求曲线所围的面积则依赖于无限小区间上与曲线衔接的矩形面积之和。这两类问题具有互逆关系。因此，他建立了更一般的算法，将以往解决这两类问题的各种结果和技巧统一起来，从而完成了微积分的创立。（2）论文发表 :早期的微积分成果都记载他的手稿中，1684年，莱布尼茨发表了他的第一篇微分学论文一种求极大与极小值和求切线的新方法，这是数学史上第一篇正式发表的微积分文献。1686年，他发表了第一篇积分学论文深奥的几何与不可分量及无限的分析，这篇文章初步论述了微分与积分的互逆关系。（3）特点

39、: 莱布尼茨创立了大量的微积分符号，来表达他的新运算。这些符号包括现在通用的微分、积分符号。重视微积分的形式运算法则和公式系统，因此他的微积分更加具有代数特征。微积分创立的重要意义：微积分的创立是数学史上划时代的成就，主要体现在以下几个方面： （1）微积分创立解决了自古代有关用无穷小计算面积和体积的算法问题，解决了特别是自文艺复兴以来一系列科学问题。牛顿和莱布尼茨把先前有关微积分一系列问题的特殊算法统一为两类算法，即微分与积分，同时证明了二者的互逆关系，进而将这两类算法统一为一个整体。 （2）微积分划时代的贡献更多表现在它对后世数学和科学的影响。微积分的创立给整个科学带来了革命性的影响，特别是

40、18世纪围绕微积分在物理学上的应用极大推进了科学和微积分本身的发展，微积分形成一个在观念和方法上都具有鲜明特点的数学领域。 （3）微积分的创立标志近代数学的到来，微积分把数学刻画的领域从初等静态领域扩展到高等动态领域，也即是用连续变化的方法刻画事物围观过程。在后继的微积分基础讨论中，给数学的发展提供了无限可能的空间。第八章 微积分的发展主题：微积分在18、19世纪沿着建构基础和应用开拓方向的发展。 微积分诞生主要是作为一种算法而产生，从诞生之初，就显示了强大的应用生命力，然后18世纪伴随应用极大拓展了微积分的领域，同时对微积分的基础也进行了广泛的讨论。 1 .18世纪微积分基础问题（1）无限小

41、量与连续变量的矛盾；（2）极限概念模糊；（3）形式化代数运算也不彻底； 2 欧拉对微积分的贡献（1）著作：无穷小分析引论、微分学原理、积分学原理。（2）形式化微积分，推进微积分。（3）创造了大量微积分符号。3 .18世纪微积分有关成果（1）柯茨-欧拉公式：（2）重要的超越函数：（3）棣莫弗公式：（4）插值法：（5）泰勒展式：（6）欧拉常数：4. 18世纪分析应用领域发展（1） 18世纪分析技术发展的几个方面（了解）：（2） 悬链线问题：（3）最速降线：5. 18世纪微积分发展的特点：6 柯西的贡献：（1）著作：（2）以极限和连续性为核心，定义了一系列分析基础概念，形成了极限理论的分析基础；（3

42、）重建了一些事实和定义，补充定理的条件，构建了现代分析体系。（4）为分析领域基础部分建立了秩序，为分析严格化迈出了关键步骤，推动了一系列分析基础概念不断深化。7 威尔斯特拉斯的贡献：（1）用形式化方法揭示了微积分基础概念的算术本质，重建了分析体系；（2）创造了一套纯算术化语言来建立微积分的算术基础；（3）引导了“分析算术化运动”，被称为“现代分析之父”；（4）分析算术化纲领：8 实数理论（对实数定义）：维尔斯特拉斯是第一个给严格的实数定义（1857），戴德金、康托尔、海涅、梅雷等人发表了各自的实数理论。实数的定义及其完备性的确立，标志着由维尔斯特拉斯长到了的分析算术化运动大致宣告完成。实数理论

43、是微积分严格化过程中一个重要的部分。9 集合论的诞生：10 .19世纪微积分基础严格化的意义：第九章 代数学抽象化 主题：从方程理论到近世代数的形成线性代数的发展1行列式与解方程2矩阵3四元数与向量空间：四元数是哈密顿在考察复数的逻辑结构后，对平面复数系结构推广的产物；四元数的定义（形如abicjdk，其中a,b,c,d是实数，i,j,k满足i2=j2=k2=-1,ij=-ji=k,jk=-kj=i,ki=-ik=j。）；四元数发明的意义：四元素是历史上第一次构造的不满足交换律的数系。它的发现对于代数学的发展是革命性的，从此数学家们可以更加自由地构造新的数系，通过减弱、放弃或替换普通代数中的不

44、同定律和公理（如交换律、结合律），就为众多代数系的研究开辟了达道路。高次方程代数接与近世代数的形成 代数学在19世纪的主要问题集中在五次和高于五次的代数方程上。1、阿贝尔（18021829）：论代数方程：证明一般五次方程的不可解性（1824），在这一文章中，他证明了五次和高于五次方程根式不可解。2、伽罗瓦（18111832）：在18291831年间完成的几篇论文中，提出的群的概念来解决方程根式可解性问题，通过引进全新的群的概念，建立了判别方程根式可解的充分必要条件，从而宣告了方程根式可解这一经历了三百年的难题的彻底解决。群概念产生的意义：伽罗瓦的工作可以看成是近世代数的发端。这不只是因为它解决

45、了方程根式可解这样一个难题，更重要的是群的概念的引进导致了代数学在对象、内容和方法上的深刻变革。19世纪后半叶，数学家们又认识到，“群”可以是一个更加普遍的概念，而不必仅限于置换群。代数学由于群的概念的引进和发展而获得了新生，它使代数不再仅仅是研究代数方程，而是更多地研究各种抽象的“对象”的运算关系，19世纪中叶以后，这种抽象“对象”层出不穷，从而为20世纪代数结构观念奠定了基础。第十章 几何学的突破和发展 主题：欧氏几何的突破与发展非欧几何的诞生 1第五公设：若一直线落在两直线上所构成的同旁内角和小于两直角和小于两直角，那么把两直线无限延长，它们将再同旁内角和小于直角的一侧相交。 替代公设是：过已知直线外一点能且只能作一条直线与已知直线平行。 2先驱：萨凯里（用“归谬法”证明第五公设，而最先得到一系列实质性的非欧几何性质）、兰伯特（第一位对能否给出第五共设表示怀疑的数学家）、克吕格尔（最先指出可以通过替换第五公设展开新几何的道路）。3创立者：高斯（1813年，非欧几何），波约（1823年，绝对空间几何）和罗巴切夫斯基（1826年，几何原理的概述和平行线定理的严格证明；1829年，论几何原理第一篇非欧几何文献；1840年平行线理论的几何研究，影响最大的专著）。 非欧几何的基本思想：“通过直线外一点，可以引不止