等差数列前n项和公式的教学思考及建议（中学数学教学参考2012（上旬刊）第8期已发表）

1、等差数列前n项和公式的教学思考及建议 本文系重庆市教育科学十二五规划2011年专项课题高中数学课表教材中不同类别知识的教学设计研究研究论文重庆市渝中区教师进修学院王跃辉重庆复旦中学黄益全 重庆求精中学王靖源等差数列和等比数列是数列的两类特殊数列，无论是大纲教材还是课标教材都把它们作为高中学生学习数列知识的两个必修内容其中等差数列的前项和公式是数列求和的两个重要的基本公式之一，不论是它的获取过程，还是它的证明方法的获取过程，以及它的证明过程，都是数学家们发现数学结论和数学方法的思维过程，同时在这些过程中还蕴含了许多重要的数学思想方法如，“特殊与一般”、“归纳和类比”、“抽象与概括”等由此可见，等

2、差数列前项和公式是培养学生的创新意识和创新能力的一个极好素材因此，许多公开课、研究课和优质课都把它作为首选对象，关于它的教学设计和教学实录也经常出现在一些期刊杂志上然而，就笔者所看到和听到的课中，尽管有许多课具有一定的新意，但都存在这样或那样的一些不足为此，笔者在本文中将首先对课标教材（人教版）做一个详细的分析，以帮助广大一线教师深刻理解教材，准确地把握教材最后根据分析，说明应该如何进行教学设计，才能在课堂教学中正确地体现课程理念和思想1 教材编排方式分析1.1等差数列前项和问题的引入教材在等差数列前项和问题的引入时，采取的方式是从一个历史上有名的例子高斯求和出发我们知道，关于高斯算法，学生在

3、小学数学学习过程中就已了解，因此教材这样做的目的之一是把学生将要学习的数学知识与学生已有的知识联系起来，让学生知道所要学习的数学知识是已有知识的延伸和发展，这也正是课标教材体现课程理念和思想之所在我们也知道，高斯算法蕴涵了求等差前项和的一般规律，因此，教材这样做的目的之二是要求教师在教学时要引导学生对高斯算法进行分析，获得等差数列的任意第项与倒数第项的和都等于首末两项的和，从而为求和与求一般等差数列前项和做一个铺垫工作同时我们还知道，高斯在青年时就成为著名的数学家了他不仅在数学方面有很多的研究成果，而且他对古代语言、天文、物理都有研究、发现和发明，他还是一位了不起的天文学家和物理学家他之所以成

4、为了不起的科学家是因为他和许多著名科学家一样，从小就非常注意细心观察周围发生的一切现象，并从这些现象中得到启发，进行认真分析和研究，做出了伟大的贡献因此，教材这样做的目的之三是使学生通过高斯的故事，了解数学家们从小学习数学就勤于思考、善于分析，寻求数学的特点和规律，让学生在学习数学时应向数学家们学习这也是课程理念和思想在课标教材中的又一体现1.2教材内容的编排顺序及意图教材首先给出高斯算法：，然后设置了求的问题，给出“倒序相加法”，在此基础上通过探究栏目把数列求和的本质规律推广到一般的等差数列，获得一般的等差数列求和思路，最后利用等差数列的通项公式的两种不同表示方式写出一般的等差数列的前项和，

5、从而给出等差数列的前项和公式教材这样做的意图是要求教师在教学时，要由简到繁，由浅入深，采取层层递进的方式处理等差数列的前项的求和问题，向学生渗透数学研究中的“特殊与一般”的数学思想方法，让学生学会数学地研究数学问题的思路与方法并通过公式和公式应用的教学，让学生知道，有了这两个公式，在解决有关等差数列的前项和的问题时，我们可以直接运用公式，而不需要逐个求和。2 关于教材中两个词语的分析21如何理解教材中“迅速”二字？教材中“据说，当同学忙于把100个数逐个相加时，10岁的高斯却用下面的方法迅速算出了正确答案”中的“迅速”二字从字面上理解就是速度快，但不是“马上”和“立刻”即，从时间上来说，老师给

6、出问题后，其它同学则是马上或立刻进行逐个相加，而高斯并不是马上或立刻进行计算，隔了一段时间之后才给出其答案，但所给答案要比其他同学快之所以高斯能正确迅速地得出正确答案，是因为他在老师给出问题之后首先对和式进行观察，分析和式的特点，发现其规律因此，教材采取这样表述的意图是要求教师通过高斯的故事让学生了解数学家高斯的学习习惯和方法，让学生知道要学好数学，应学会观察，善于分析，勤于思考22如何理解教材中“启发”二字？教材中“高斯的算法实际上解决了求等差数列前100项的和的问题人们从这个算法中受到启发，用”中的“启发”二字体现了“人们”对和式的一个观察、分析和思考的思维过程根据课程理念，教材这样编写的

7、意图是要求教师在教学时要还原“人们”的这个思维过程第一步：展示高斯的算法第二步：分析和式及算法 和式：是首项为1，公差为1的等差数列前100项的和 算法：分析1：与首末两项等距的两项的和都等于首末两项的和：即都等于；分析2：两两的和共有组，这个恰好是和式中所含个数的一半，即算法的改写：记，则第三步：寻求算法中蕴含的数学方法：即 通过这种对高斯算法的分析,即可获得高斯算法的本质,从而使得“倒序相加法”水到渠成，自然获得3 等差数列前项和公式推导方法的教学思考3. 1教材的推导方法及教学中存在的问题教材首先通过高斯算法，给出用“倒序相加法”求的前项和，然后采用如下三步来完成一般的等差数列的前项和公

8、式的推导：第一步：用两种方式表示第二步：两式相加个第三步：下结论所以教学时，教师不仅要清楚学生现在要学什么知识？还要清楚学生已经学习了哪些知识和将要学什么知识？同时也要清楚现在要学习的知识与已学习的知识和将要学习的知识间有什么关系？只有弄清楚了这些关系，才能知道应该如何教和要求学生掌握到何种程度其中，关于如何教的问题涉及了一个很重要的内容，那就是如何建立学生已有知识经验与所学知识之间的联系从教材的这种处理方式可以看出，它体现了等差数列前项和公式的获得过程，蕴涵了数学家们获得该公式的原有思维过程因此，教材这样做的意图是希望教师在教学过程中让学生经历数学家们获得公式的心理历程，本应提倡但采用该方式

9、处理，只有在学生掌握了和之后才可能完成第一步对于初接触数列的学生来说，由通项公式易得，而要得到其变形后的式子却存在一定的困难另一方面，要让学生把和式分别写成和-更是学生很难想到的这是一种特殊技巧，学生常常会问：老师！你是怎么想到的？老师也常常不知所措因此，按教材的处理方式进行教学，无法让学生自己去获得公式的推导方法，教师只能采用灌输的方式进行传授32 关于能否采用如下两种方式推导公式的回答第一种：个因为，所以本节课很重要的一个内容就是要通过教师的教学让学生获得并理解和掌握求等差数列前项和的一种重要的数学方法倒序相加法尽管这种推导学生很容易理解和掌握，但没有体现“倒序相加法”的获取过程，而是直接

10、告知学生的“课程标准”中要求教师的教学要注意让学生经历方法的提炼与获取过程，因此这种方式是不可取的,但它是我们必须让学生最终获得的 第二种：这里我们只要注意教材中是采用特殊到一般的方法得到的，并未给予证明便可知采用如上方法进行推导是不可取的因此，公式的获得最好还是采用转化的方式进行处理比较好这样便于学生弄清两个公式之间的区别和联系，以及认识两个公式的结构特征4 教学建议教材首先以高斯的故事入手，让学生对高斯的算法进行研究，获得倒序相加法的思想，然后利用特殊到一般的数学思想方法推导出等差数列前项和公式这是一个返朴归真的过程，体现了数学家们的原有思维状态，但对于高一的学生来说，他们还不会数学地研究问题，没有掌握数学研究的基本思路与方法，对数学研究的过程也没有多少体验因此，要让学生像数学家那样去研究数学问题是比较困难的，如果学生问：你怎么会想到对高斯的算法进行研究的呢？那你应该如何回答呢？是回答数学家们就是这样研究的吗？为了解决这个问题，建议大家在教学时，采用如下两步进行：第一步：引导学生对高斯算法的结果进行分析：首先由采用特殊到一般的方法得到，然后再采用特殊到一般的方法得到任意一个等差